圖表語言的解密

圖表也是一種數(shù)學語言.這種語言以圖形和表格的形式傳送信息，它有立意新穎，設計靈活，構思精巧，內涵豐富，解法多樣等特點，因而備受當今命題人的青睞，許多高考創(chuàng)新題型常在圖表上打主意.

解圖表型題目應在讀圖表，識圖表和用圖表上通過觀察找到其中的關鍵點，有效地實現(xiàn)圖表語言到文字語言的轉化，從而在思考上引起質的飛躍，從而達到破題的目的.

例1 如圖，甲、乙兩人分別位于方格中A、B兩處，從某一時刻開始，兩人同時以每分鐘一格的速度向東或西或南或北方向行走，已知甲向東、西行走的概率均為，向南、北行走的概率分別為和p;乙向東、西、南、北行走的概率均為q.

(1)求p和q的值;

(2)試判斷最少幾分鐘，甲、乙兩人可以相遇，并求出最短時間內可以相遇的概率.

分析 同時進行兩個相互獨立事件，因為概率的總和為1，因此有以下解答:(1)甲向四個方向行走是一個必然事件，∴+++p=1， ∴p=.同理4q=1，∴q=.甲、乙二人到底在哪兒相遇沒有定數(shù)，但我們可以看到，甲、乙二人在一個正方形的兩個對角頂點上.他們要在最短時間內相遇，他們必須沿著這個正方形的邊行走.

(2)如解圖，設甲、乙兩人在C、D、E處相遇的概率分別為pC、pD、pE.

從圖形中來，回到圖形中去，在圖上標明這三點，讓我們的思路一目了然，才會有下面的解答.甲、乙兩人最少需要2分鐘可以相遇.

每人朝對方走2步，因為他們的速度相同(每分鐘都是一格).則pC=(×)×(×)=， pD=2(×)×2(×)=，pE=(×)×(×)=，∴pC+pD+pE=++=，即所求的概率為.

啟示 這是一個幾何圖形信息題，具有多樣性、直觀性的特征，充分挖掘圖形內涵，全方位地審視圖形，全面掌握圖形所提供的信息，以形助數(shù)是解決信息題的關鍵.

例2 某資料室在計算機使用中，如下表所示，編碼以一定規(guī)則排列，且從左至右以及從上到下都是無限的. 此表中，求主對角線上數(shù)列1，2，5，10，17，…的通項公式.

分析 這里的主對角線就是一條“閱讀順序”:1、2、5、10、17、26…求這個數(shù)列的通項公式，按我們的習慣，可采用逐差法:從第2項開始，每一項減去前面一項得到一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是1、3、5、7、9、11、…不難發(fā)現(xiàn)這是一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列. 由此求原數(shù)列的通項公式也不是難事，比如設其通項公式是n的二次函數(shù):bn=An2+Bn+C.

用此待定系數(shù)法，分別令n=1、2、3，容易求得A=1，B= -2，C =2，從而得到通項公式為:bn=n2-2n+2， 這個問題的解決，就是在“主對角線”上通過閱讀完成的. 如果換一個角度，或者說換一種順序來“閱讀”這個圖表題，我們將得到問題的另外的解法，當然是同一個結果.

從上向下閱讀這個表格，可以看到從上到下的每一列都是一個等差數(shù)列:

第1列，是一個常數(shù)為1的常數(shù)列;

第2列，是一個以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列(自然數(shù)列);

第3列，是一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列;

……

第m列，是一個以1為首項，以m - 1為公差的等差數(shù)列.

對于第m列的這個數(shù)列，它的通項公式自然有cn=1+(m-1)(n-1).

對于表中主對角線上的這個數(shù)列，自然有m = n，此時通項公式化為:cn=1+(n-1)2=n2-2n+2，這個結果與上面的結果實現(xiàn)了殊途同歸.

如果再換一種“閱讀”順序，從左到右看這個表格，還會再一次殊途同歸，得到同樣一個結果. 對于本題的第(2)問，我們先考慮100這個數(shù)是否在主對角線上.令n2-2n +2=100，得到(n-1)2 = 99，易知 n-1 (從而n) 不是個正整數(shù)，本題無解，即100這個數(shù)不在主對角線上. 以下考慮100這個數(shù)在其他的一般位置上.設100在表格中間的第n行、第m列，則由通項公式得到1+(m-1)(n-1)=100即 (m-1) (n-1)=99 ， 這是一個關于正整數(shù)m和n的不定方程，通過對99的因式分解:99=1×99 = 3×33 = 9×11 = 11×9 =33×3 = 99×1，容易得到方程的解是

m=2，n=100，m=4，n=134，m=10，n=12，m=12，n=10，m=34，n=14，m=100，n=2.

于是，100這個數(shù)在表格中出現(xiàn)6次，其具體位置是:第2列第100行，第4列第34行，第10列第12行，第12列第10行，第34列第4行，第100列第2行.

啟示 解決這類問題的關鍵是要抓住問題中所給出的各行所構成數(shù)列的特征，再根據(jù)所給出的特殊項順利地解決相關問題.

考場練兵 如右下圖所示的根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為和x1，x2…，xn，…，x2010和y1，y2，…，yn，…，y2010.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式xn;

(Ⅱ)求數(shù)列{yn}的通項公式y(tǒng)n;

(Ⅲ)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn(n∈N*，n≤2010).

答案與提示 (Ⅰ)xn=1+

2(n-1)=2n-1(n∈N*，n≤2010);(Ⅱ)yn=3n-1(n∈N*，n≤2010);(Ⅲ)運用錯位相減法，得zn=(n-1)#8226;3 n+1+3-n2(n∈N*，n≤2010).責任編校 徐國堅