運(yùn)用特殊化方法解答數(shù)學(xué)客觀題(之四)

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一，也是高考命題的熱點(diǎn)，往往以客觀題的形式出現(xiàn).對(duì)于這種題型，除了用常規(guī)方法求解，還要善于根據(jù)題目的條件和選擇題“非此即彼”的特點(diǎn)，大膽尋找簡(jiǎn)便方法.本文舉出兩個(gè)運(yùn)用特殊化方法解題的例子，希望為大家解答這一類(lèi)問(wèn)題起到拋磚引玉的作用.

例題 點(diǎn)P(4，-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連續(xù)的中點(diǎn)軌跡方程是( )

A. (x-2)2+(y+1)2=1

B. (x-2)2+(y+1)2=4

C. (x+4)2+(y-2)2=4

D. (x+2)2+(y-1)2=1

解析 此題按照“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡需要較多的計(jì)算步驟.注意到圓上“任一點(diǎn)”中有特殊點(diǎn)，我們看看這些特殊點(diǎn)能不能發(fā)揮作用，因?yàn)檫@些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，我們立即就能求出中點(diǎn)坐標(biāo)，這個(gè)坐標(biāo)無(wú)疑符合軌跡方程，只要檢驗(yàn)即可，運(yùn)氣好的話，檢驗(yàn)一次就夠了，若不行，可再選取別的特殊點(diǎn)檢驗(yàn).取圓與坐標(biāo)軸正半軸的交點(diǎn)(2，0)，記作A1如圖1，則PA的中點(diǎn)M(3，-1)，代入選擇支檢驗(yàn)，只有A符合.

反思 從“任一點(diǎn)”想到特殊點(diǎn)，用特殊點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，簡(jiǎn)單快捷，實(shí)在是上乘之法!在軌跡問(wèn)題中，這種特殊點(diǎn)總是存在的，一般來(lái)說(shuō)，它們是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，或者線段的中點(diǎn)、端點(diǎn)，或者與已知點(diǎn)重合的點(diǎn)，找到它們就能幫助找到正確答案，例如本題，也可選擇圓與坐標(biāo)軸的其它交點(diǎn)檢驗(yàn)，如圖中的A2，A3，A4.

解答本題常見(jiàn)的錯(cuò)誤有:⑴用“相關(guān)點(diǎn)法”的時(shí)候，有些同學(xué)總是設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，即將要求軌跡的點(diǎn)與其相關(guān)點(diǎn)相混淆，而特殊化方法避免了犯這個(gè)錯(cuò)誤;⑵用特殊點(diǎn)驗(yàn)證的時(shí)候，可能會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)答案符合即選定，這是不對(duì)的，因?yàn)槲覀儥z驗(yàn)的時(shí)候，用的是排除法，就是不能因?yàn)橐粋€(gè)點(diǎn)符合就選定，也許別的點(diǎn)這個(gè)答案就不符合了，所以正確的做法是全部檢驗(yàn)，把符合的作為備選答案，再進(jìn)行下一輪檢驗(yàn)，直到選出正確答案.

變式練習(xí):(廣州育才中學(xué)2010屆文科綜合測(cè)試)設(shè)點(diǎn)A為圓(x-1)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|=1，則點(diǎn)P的軌跡方程為( )

A. y2=2xB. (x-1)2+y2=4

C. y2=-2xD. (x-1)2+y2=2

解析 要選擇P點(diǎn)的軌跡方程，只需要有一個(gè)點(diǎn)(或幾個(gè)點(diǎn))檢驗(yàn)即可，從這一思路出發(fā)我們不需思考怎樣求軌跡，而是想辦法找特殊點(diǎn).如圖3，取圓與x軸的交點(diǎn)A，PA是圓的切線，|PA|=1，所以能直接看出P(2，1)，代入選擇支檢驗(yàn)，只有D符合.

反思 1. 本題的巧妙之處在于選擇P點(diǎn)這個(gè)特殊位置作切線，因?yàn)檫@樣，能直接得到 P點(diǎn)坐標(biāo).本題也可以取更加特殊位置，比如，讓A點(diǎn)與原點(diǎn)重合，P(0，1)代入即知是A.或者取與x軸平行的切線，這也可以，只有切線與坐標(biāo)軸平行，才能直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，驗(yàn)證時(shí)要防止犯例題中提到的錯(cuò)誤. 2. 要注意克服解軌跡問(wèn)題中思維定勢(shì)的作用:點(diǎn)P是一個(gè)與A相關(guān)的點(diǎn)，但本題不能用“相關(guān)點(diǎn)法”求解.如圖3，可根據(jù)平面幾何知識(shí)，知|PM|=，所以能直接寫(xiě)出軌跡方程.

小結(jié):德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯對(duì)于特殊化方法有過(guò)精辟的論述，他指出:“在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.”我們用特殊點(diǎn)解上面題目都只需要短短數(shù)秒，這就是特殊化方法的妙處!解題的關(guān)鍵是找合適的特殊點(diǎn)，而軌跡總是有特殊點(diǎn)存在的.

變式訓(xùn)練題:

1. 已知點(diǎn)A(1，0)，直線l:y=2x-4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若=，則點(diǎn)P的軌跡方程為()

A. y=-2xB. y=2x

C. y=2x-8D. l:y=2x-4

2. 從原點(diǎn)O引圓(x-m)2+(y-3)2=m2+4的切線y=kx，當(dāng)m變化時(shí)，切點(diǎn)P的軌跡方程是( )

A. x2+y2=4(x≠0)B. (x-3)2+y2=4(x≠0)

C.(x-1)2+(y-3)2=5(x≠0)D. x2+y2=5(x≠0)

3. 已知圓C與直線x-y=0 及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為()

A. (x+1)2+(y-1)2=2B. (x-1)2+(y+1)2=2

C. (x-1)2+(y-1)2=2D. (x+1)2+(y+1)2=2

簡(jiǎn)答:

1. B.(在上取R(1，-2)，=，看出P(1，2)，將P代入)

2. D.(讓圓在一象限與x軸相切，切點(diǎn)P(，0)代入檢驗(yàn))

3. B.(用圓一與x軸的交點(diǎn)，或與x-y-4=0的切點(diǎn)檢驗(yàn))

責(zé)任編校徐國(guó)堅(jiān)