一道文科立幾題引發(fā)的思考

2010年廣州一模剛剛過去，在文科數(shù)學(xué)中，令師生們感到苦惱的是立體幾何題的得分較低，全區(qū)的平均得分6.5分，得分率不超過一半.人們不禁要問，為什么看起來(lái)不難的題目但“殺傷力”卻這么大呢?下面讓我們先看題目:

如圖1，正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6.

(1)求證:AB⊥平面ADE;

(2)求凸多面體ABCDE的體積.

解析:題目延續(xù)了實(shí)施新課程標(biāo)準(zhǔn)后對(duì)文科立體幾何考查的風(fēng)格——復(fù)雜幾何體.讓我們來(lái)想想題目對(duì)同學(xué)們提出了哪些方面的要求?如何應(yīng)對(duì)?

1. 要有較強(qiáng)的空間想像力.對(duì)平行和垂直的位置關(guān)系能判斷準(zhǔn)確.(因?yàn)椴灰?guī)則幾何體難以建立坐標(biāo)系，運(yùn)用不了向量法)

2. 證明線面垂直.這對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn):第一，部分同學(xué)沒有掌握線面垂直的判定定理，即不懂得或不能正確把線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線垂直. 第二，沒有正確掌握“降維”的思想，只證明了垂直平面內(nèi)的一條直線而不是兩條相交直線.

3. 求幾何體的體積.難點(diǎn)是正確找到幾何體的高，一般有三種可能:第一種可能高在圖中已經(jīng)出現(xiàn)，需要證明;第二種可能高沒在圖中出現(xiàn)，要作出來(lái)再證明;第三種可能是要用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)的方法去找.

下面來(lái)看看同學(xué)們是如何做錯(cuò)的，錯(cuò)的原因又是什么.

對(duì)于第一問，常見的錯(cuò)誤做法有兩種:

① ∵ AB⊥AD，AD平面ADE， ∴ AB⊥平面ADE.

② ∵ AE⊥平面CDE，DE平面CDE，∴ AE⊥DE又∵ AB⊥AD，∴ AB⊥平面ADE.

以上兩種錯(cuò)誤做法的出現(xiàn)是由于沒有掌握好線面垂直的判定定理，而這個(gè)定理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容!正確的做法是: AE⊥平面CDE，CD平面CDE，∴ AE⊥CD. ∵ AB∥CD，∴ AE⊥AB.在正方形ABCD中，AB⊥AD，∵ ADAE=A，∴ AB⊥平面ADE.

對(duì)照錯(cuò)誤做法①，少了AE⊥AB這一步， “只證明了垂直平面內(nèi)的一條直線而不是兩條相交直線.”做法②則是忽略了主角“AB”，線面垂直的判定定理是要證明“AB”垂直平面ADE內(nèi)兩條相交直線而不是在平面內(nèi)任意找兩組垂直關(guān)系.

對(duì)于第二問，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤做法:VABCDE=VE-ABCD=VA-BCDE=SCDE#8226;AE，DE==3，SCDE=#8226;CD#8226;DE=×6×3=9，VA-BCDE=SCDE#8226;AE=×9×=9.

方法一:以上錯(cuò)誤做法的出現(xiàn)是由于把三棱錐的轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)的思想類比地用在四棱錐上，但是求四棱錐的體積是不能轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)的，此時(shí)要作出高EF，如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，∵ AB⊥平面ADE，EF平面ADE，∴ EF⊥AB . ∵ AD∩AB=A，∴ EF⊥平面ABCD. 因此EF為四棱錐VE-ABCD的高，由三角形面積相等可求得EF===，∴ VE-ABCD=SABCD#8226;EF=×36×=18.

方法二:而求四棱錐的體積除了上述直接求出的方法外，常用的有把四棱錐“割”成兩個(gè)三棱錐去求. 連接BD，如圖3，則凸多面體ABCD分割為三棱錐B-CDE和三棱錐B-ADE. 由第一問知， AB為三棱錐B-CDE的高.而求三棱錐B-ADE的高，先要證明AB∥平面CDE:∵ AB∥CD，AB平面CDE，CD平面CDE，∴ AB∥平面CDE， ∴ 點(diǎn)B和A點(diǎn)到平面CDE的距離相等，因此AE的長(zhǎng)度等于三棱錐B-ADE的高.

∴VB-CDE=S△CDE#8226;AE=×9×3=9，VB-ADE=S△ADE#8226;AB=××6=9，∴ VABCDE=VB-CDE+VB-ADE=9+9=18.

方法三:和“割”相對(duì)應(yīng)的是“補(bǔ)”，即把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則的幾何體，本題可把四棱錐補(bǔ)成直三棱柱，如圖4，作出線段EG，BG，CG，容易證明該幾何體為直三棱柱，底面為△ADE，高為AB，

VADE-BCG=SADE#8226;AB=×6=27，

VB-CEG=SCEG#8226;BG=9，

VABCDE=VADE-BCG-VB-CEG=27-9=18.

啟示:

1. 由于文科數(shù)學(xué)對(duì)向量法不作要求，基本上是用幾何法證明平行和垂直等關(guān)系，因此同學(xué)們必須強(qiáng)化對(duì)空間圖形的讀圖，識(shí)圖，辨圖能力，比如在一個(gè)幾何體的圖中，哪些直線是平行的，哪些直線是垂直的，這些感性的判斷認(rèn)知也是很重要的，因?yàn)檫@可以為下一步推理證明提供思路，不然推理證明就會(huì)變得無(wú)從入手，也就是沒有所謂的“靈感”.

2. 提高對(duì)平行和垂直等關(guān)系的推理論證能力.高考中立體幾何第一問一般是要求證明平行或垂直的關(guān)系，因此要對(duì)線面平行，線面垂直，和面面垂直的判定定理做到熟練掌握，不能機(jī)械式地死記硬背，平時(shí)在對(duì)定理進(jìn)行記憶時(shí)要對(duì)定理的內(nèi)容進(jìn)行無(wú)圖聯(lián)想，使之運(yùn)用時(shí)能做到腦中有圖，而不是一堆單調(diào)的文字符號(hào)，否則容易錯(cuò)漏百出.

3. 求幾何體的體積是高考文科立體幾何考查的一個(gè)重點(diǎn)，找高是關(guān)鍵，如何找高，依據(jù)是幾何證明中的線面垂直，因此對(duì)于線面垂直的掌握的好差會(huì)影響到找?guī)缀误w的高的能力，對(duì)于在圖中找出的高，是需要證明其垂直底面的.

4. 割和補(bǔ)是將不容易求體積的復(fù)雜幾何體化為簡(jiǎn)單幾何體的方法，在本題中，補(bǔ)的方法做起來(lái)比割的方法更為簡(jiǎn)單，這是值得引起注意的地方，因?yàn)楦畹乃枷霝榇蠖鄶?shù)同學(xué)所掌握和使用，而補(bǔ)則由于要作較多的輔助線往往會(huì)讓同學(xué)們覺得較煩較難而忽視，建議在以后的練習(xí)當(dāng)中加強(qiáng)補(bǔ)的思想.

責(zé)任編校徐國(guó)堅(jiān)