探索性問題的推理驗證與分類討論

探索性問題是一種具有開放性和發散性的問題，此類題目的條件或結論不完備.要求解答者自己去探索，結合已有條件，進行觀察、分析、比較和概括.它對同學們的數學思想、數學意識及綜合運用數學方法的能力提出了較高的要求.它有利于培養同學們探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力，使同學們經歷一個發現問題、研究問題、解決問題的全過程.

縱觀近幾年全國各地高考數學題的特點，探索性問題一直備受青睞.可以預測探索性問題仍將是2010年高考數學命題的熱點.本文僅以圓錐曲線中的探索性問題為例，窺豹一斑，以期與廣大讀者共同學習、探究.

一、假設存在，推理驗證

例1 已知雙曲線x2-y2=2的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的動直線與雙曲線相交于A，B兩點.在x軸上是否存在定點C，使#8226;為常數?若存在，求出點C的坐標;若不存在，請說明理由.

分析 本題考查向量在圓錐曲線中的運用和存在性問題.用“點差法”和“設而不求”的方法處理中點弦是解這類題的好方法.假設在x軸上存在定點C(m，0)，使#8226;為常數.當AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程是y=k(x-2)(k≠1).代入x2-y2=2有(1-k)x2+4k2x-(4k2+2)=0，則x1，x2是上述方程的兩個實根，所以，x1+x2=，x1x2=，于是#8226;=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2=-+4k2+m2=+m2=2(1-2m)++m2.因為#8226;是與k無關的常數，所以4-4m=0，即m=1，此時#8226;=-1.當A ，B與x軸垂直時，點A ，B的坐標可分別設為(2，)，(2，-)，此時#8226;=(1，)#8226;(1，-)=1.故在x軸上存在定點C(1，0)，使#8226;為常數.

啟示 (1)涉及直線與圓錐曲線相交弦的問題，主要有這樣幾個方面:相交弦的長，有弦長公式|AB|=|x2-x1|;弦所在直線的方程(如中點弦、相交弦等)、弦的中點的軌跡等，這可以利用“設點代點、設而不求”的方法(設交點坐標，將交點坐標代入曲線方程，并不具體求出坐標，而是利用坐標應滿足的關系直接導致問題的解決).

(2)涉及到圓錐曲線焦點弦的問題，還可以利用圓錐曲線的焦半徑公式(即圓錐曲線的第二定義)，應掌握求焦半徑以及利用焦半徑解題的方法.

例2 在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，P)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A，B兩點.是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在，求出C的方程;若不存在，說明理由.

分析 解答這類探索性問題，可先假設“對象”存在，然后根據題設條件探究可能的“對象”，并進行驗證或否定.假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，設AC的中點為O′，l與AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，則O′H⊥PQ，Q′點的坐標為(，).∵|O′P|=|AC|==，|O′H|=|a-|=|2a-y1-p|，∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2=(y21+p2)-(2a-y1-p)2=(a-)y1+a(p-a)，∴|PQ|2=(2|PH|2)=4[(a-)y1+a(p-a)].令a-=0，得a=，此時|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.

啟示 本題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.

二、全面把握，分類討論

例3 設b>O，橢圓方程為+=1，拋物線方程為x2=8(y-b).如圖所示，過點F(0，b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F1.

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;

(2)設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形?若存在，請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標).

分析 對于(2)存在P點，分三種情況:①過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P ， ∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個. 同理②過B作x軸的垂線，∴以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個.③若以∠APB為直角，設P點坐標為(x，x2+1)，A、B兩點的坐標分別為(-，0)和(，0)，#8226; =x2-2+(x2+1)2=x4+x2-1=0.

關于x2的二次方程有一大于零的解，∴x有兩解，即以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個，因此拋物線上存在四個點使得△ABP為直角三角形.

啟示 這類探索性問題解答，求解關鍵對各種情況進行合理全面的分情況或參數討論，這類探索性問題結論存在與否取決于各種情況或參數的取舍.

做好探究性問題研究，有利于數學探究能力和創新能力的培養，是新課標竭力倡導的重要理念.近幾年來的高考數學試卷中都有一些背景新穎、內涵深刻的探索性試題，就是最好的載體.

考場練兵 已知點A(-1，0)，B(1，0)，C(-，0)，D(，0)，動點P(x，y)滿足#8226;=0，動點Q(x，y)滿足||+||= .

⑴求動點P的軌跡方程C0和動點Q的軌跡方程C1;

⑵是否存在與曲線C0外切且與曲線C1內接的平行四邊形，若存在，請求出一個這樣的平行四邊形，若不存在，請說明理由;

⑶固定曲線C0，在⑵的基礎上提出一個一般性問題，使⑵成為⑶的特例，探究能得出相應結論(或加強結論)需滿足的條件，并說明理由.

責任編校 徐國堅