淺析構造法在初等數學中的應用

摘要:什么是構造法?怎樣去構造呢?構造什么呢?構造法是運用數學的基本思想經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型從而使問題得以解決。構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法。其基本的方法是:借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習慣定勢 思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己思維范圍，運用構造法來解題也是培養學生創造意識和創新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助。

關鍵詞:構造 創新 求變

本文主要如何通過運用構造法解題，激發學生的創造思維訓練，使學生在解題過程，選擇最佳的解題方法，開拓學生視野的同時，使學生思維和解題能力得到培養。下面我們通過舉例來說明通過構造法解題訓練學生發散思維，開拓學生的視野，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創新。

1 對偶式構造法

在一些簡單化簡計算題中，如果我們能對其結構進行對稱性分析，將數學的對稱美與題目的條件或結論相結合，就能構建一組相關聯的對偶式，從而確定解題的總體思路或入手方向，其實質是讓美的啟示，美的追求在解題過程中成為客觀指導力量，使題目的解決過程更加簡潔明快。請看:

例1 簡單求和:cos+cos+cos

分析:一般的解題思路，對于此題根本無從下手，為此我們考慮用構造法求解。

解:設M=cos+cos+cos

(構造對偶式) N=sin+sin+sin

MN=sin+sin+sin+sin

+sin+sin

=sin+sin-sin+sin

=(sin+sin+sin)

=(sin+sin+sin)

=N

∴M=

由上例我們可以看出，這種構造對偶式不僅使解題方法簡潔明快，使解題思路更加清晰，使解題過程簡潔巧妙，收到事半功倍之效，同時也揭示了數學美的本質，給人以美的享受，使人回味無窮，令人美不勝收。

2 函數構造法

顧名思義即構造出一個和題目相關聯的函數，然后通過利用函數的某些性質解題。

函數在整個中學數學是占有相當的內容，學生對于函數的性質也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生的函數在我們思維的靈活性，開拓性和創造性。

例2、求證:≤+

分析:此題若運用絕對值不等式的性質去證明，學生一時無從下手。這時，引導學生整體思維，即在思考問題時，把注意力和著眼點放在問題的整體上，全面的收集和獲取信息，對問題作出整體判斷，從高層次上尋找捷徑，化難為易，從而誘發靈感，獲得問題的簡捷解法。

解:構造函數f (x)=，易證f (x)=1-在(-1，+∞)上為增函數。(證明略)

∵│a+b│≤│a│+│b│，

∴≤=+≤+

函數構造法要具體問題具體分析，有時候可以使二次函數，三角函數，指數函數，對數函數等，要因題而異。

3 方程構造法

有些數學題目，經過觀察可以構造出一個方程，從而通過方程使問題得到巧妙解答。

例3、若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求證:x，y，z成等差數列。

證:根據已知條件，聯想到一元二次方程的根的判別式，構造一元二次方程u2+(z-x)u+(x-y)(y-z)=0，[u-(x-y)][u-(y-z)]=0，又因判別式為零，方程有相等實根，故x-y=y-z，即x，y，z成等差數列。

3.1 當q=1時，不妨令a1=1，則①為nx2+2(n+1)x+(n+2)=0， ②即[nx+(n+2)](x+1)=0，可見方程②有二不同實根，即①有二異實根，則(*)成立;

3.2 當q≠1時，方程①即為(1-qn)x2+2(1-qn+1)x+(1-qn+2)=0，

即(x+1)2-qn(x+q)2=0，顯然它也有二異實根，故(*)成立。

綜上，Sn#8226;Sn+2

此二例題利用直覺，誘發靈感。愛因斯坦認為:科學研究真正可貴的因素是直覺思維。同樣地，巧用構造法解題中的靈感的迸發也離不開直覺思維。靈感是直覺的升華，直覺是靈感的源泉。所以，要充分注意利用直覺來誘發靈感。

4 數列構造法

即由題設聯想構造出一個數列，然后通過數列解題。

例4 已知:x，y，z∈R+，且x2+y2=z2，z√x2-r2 =x2

求證:xy=rz。

證:此題用直接證法，一般學生是感到無從下手，引導學生仔細地觀察題設:z√x2-r2 =x2 ，是否聯想到此條件隱含著z2，x2，(x2-r2 )構成等比數列關系。

設z2=，x2-r2 =x2q，再由已知等式x2+y2=z2可得:

y2=x2()=> x2y2= x4()，r2 = x2(1-q)=> r2 z2= x4()，

∴x2y2=r2 z2，故證得 xy=rz。

5 斜率構造法

即利用斜率的定義式是問題巧妙化解。

例5、求函數u=的值域

分析:本例解法較多，介紹完常規解法，為使學生開闊視野，將學過的斜率公式得到鞏固和活化，不妨讓學生仔細觀察已知函數的特征，展開豐富的類比聯想，自然能發現它酷似斜率公式k=，這樣就能將原函數構造為動點P(cosθ，sinθ)與定點A(-3，2)連線的斜率。設過定點A的直線方程y-2=u(x+3)即ux-y+3u+2=0，由圓心到直線的距離不大于半徑得: ，解之得

一般地，求函數y=(a，b∈R)的值域(最值)，可把原函數改寫成:y=，則y可看成是過定點A(-b，-a)與動點 P[g (x)，f (x)]連線的斜率，且點P在曲線=上，再消去x，得 F(u，v)=0，斜率kAP的變化范圍就是原函數的值域(最值)。

通過上述簡單的幾個例子說明了，構造法解題有著在你意想不到的功效，問題很快便可解決。可見構造法解題重在“構造”。它可以構造圖形、方程、函數甚至其它構造，就會促使學生要熟悉幾何、代數、三角等基本知識技能并多方設法加以綜合利用，這對學生的多元思維培養學習興趣的提高以及鉆研獨創精神的發揮十分有利。因此，在解題教學時，若能啟發學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯想則能得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法而且還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力。同時此解題方法還可以開拓學生求異思維能力，是培養學生勇于創新精神的構造一種嘗試，是使學生獲得的能力不斷“內化”到他們認知結構中的過程，使能力成為學生個體的“本能”，而在他們的行為中得到充分的展現。用構造法解題，一個關鍵是如何去構造函數使問題簡化，對我們掌握知識的靈活性是比較高的，“冰凍三尺，非一日之寒。”也就是說還是要靠我們平時的積累。用構造法解題，要細心觀察，廣泛聯想，是至關重要的，這就要求學生在對數學問題進行分析時，既要能清楚條件和結論的關系，又要考慮到各類知識之間的聯系，進行創造性的構想。構造法解題的思維過程具有一定的靈活性和創造性，運用構造法解題需要掌握數學知識之間的互相關系，而且需要較強的思維能力和創新意識，并且能夠激發學生積極探索，創新的欲望和意識。