巧設未知數解應用題

摘要:新課程標準要求學生“能夠根據具體問題中的數量關系列出方程，體會議程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型”。列方程時，恰當地設未知數很重要。

關鍵詞:巧設 未知數

設未知數的方式有:設直接未知數、設間接未知數、少設未知數、多設未知數四種;下面就舉例說明這四種情況。

1 設直接未知數

根據題目的要求，求什么設什么，求幾個設幾個。

例1:(2009 咸寧)某企業開發的一種罐裝飲料，有大、小兩種包裝，3大件4小件共裝120罐，2大件3小件共裝84罐，求每大件與每小件各裝多少罐?

解:設每大件裝x罐，每小件裝y罐

由題意得:

3x+4y=1202x+3y=84

解得x=24y=12

答:每大件裝24罐，每小件裝12罐。

2 設間接未知數

有些問題如果設直接未知數很難列出方程，若我們把既便于列方程又與所求的量有一定的轉換關系的未知量作為未知數設出，再由所設的未知數的值求出所求的量。

例2:(2009 湖州)隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加，據統計，某小區2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車擁有量達到100輛。若該小區2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的平均增長率都相同，求該小區2009年底家庭轎車將達到多少輔輛?

分析:本題若直接設2009年底家庭轎車的擁有量，則無法列出方程。如果我們設2006年底到2008年底家庭轎車的平均增長率為x，則2009年底家庭轎車將達到100(1+x)輛，這樣問題就迎刃而解了。

解:設2006年底到2008年底平均每年增長率為x

由題意得:

64(1+x)2=100

解得:x1=0.25x2=-2.5(不合題意，舍去)

2009年底:100×(1+25%)=125輛

答:該小區2009年底家庭轎車將達到125輛。

3 少設未知數

為了少列方程，好解方程，可將一個未知數用另一個未知數的代數式表示，從而減少設未知數的個數，即所設的未知數少于所求的量的個數。

例3:(2009 益陽)開學初，小芳和小亮去學校商店購買學習用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本;小亮用31元錢買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本。求每支鋼筆和每本筆記本的價格。

分析:本題要求鋼筆單價和筆記本半價這兩個未知量，若設直接未知數則要列兩個方程，由題意知鋼筆的單價與筆記本的單價有一定的關系，因此，只要設出每本筆記本為x元，則每支鋼筆要(18-3x)元

解:設每本筆記本x元，則每支鋼筆(18-3x)元

由題意得:

5x+2(18-3x)=31

-x=-5

x=5

18-3x=18-3×5=3

答:每支鋼筆3元，每個筆記本5元。

4 多設未知數

在有些問題中，雖然所求的量只有一個，但求知的量卻較多，若只設一個未知數，是無法列出方程的，因此，可以從中選出部分未知的量設出，即設輔助未知數，然后在解方程時將所求的量或表示所求量的代數式求出即可。

例4:(2007 保定)已知2個香蕉的重量等于5個橘子的重量，3個橘子的重量等于2個梨子的重量，則3個香蕉的重量等于幾個梨子的重量?

解:設1個香蕉的重量為a千克，1個橘子的重量為b千克，1個梨子的重量為c千克，3個香蕉的重量等于m個梨子的重量

由題意得:

2a=5b ①3b=2c ②3a=mc ③

由①得:a=5/2b④

由②得:c=3/2b⑤

把④、⑤代入③得:

3×(5/2b)=m×(3/2b)

解得m=5

答:3個香蕉的重量等于5個梨子的重量。