OFDM信號循環譜分析及參數估計

摘 要:針對在無線電監測和認知無線電系統中，信號參數估計這一重要問題，證明了OFDM信號具有循環平穩性的必要條件是加循環前綴或有非矩形脈沖成型，并以線性周期時變變換(LPTV)模型為基礎，推導了OFDM信號的循環譜表達式。通過對連續信號和離散信號進行計算機仿真，都得到了相同的OFDM信號循環譜圖，實現了OFDM信號符號周期的估計，結果與理論分析相吻合。

關鍵詞:循環譜;認知無線電;盲信號處理;正交頻分復用

中圖分類號:TN911.3 文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)03-1133-03

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.03.090

Cyclic spectrum analysis and parameters estimation of OFDM signals

JIANG Qing-ping1，2，YANG Shi-zhong1，ZHANG Tian-qi2

(1.College of Communications Engineering， Chongqing University， Chongqing 400030， China;2.School of Communication Information Engineering， Chongqing University of Posts Telecommunications， Chongqing 400065， China)Abstract:To explore the signal parameters estimation in radio monitoring and cognitive radio systems， this paper demonstrated the cyclostationarity of the OFDM signals with cyclic prefix or non-rectangular pulse shape.Furthermore，obtained the cyclic spectrum expressions of OFDM signal based on the model of linear periodically time-variant transformation (LPTV).Computer simulation results of both the continuous signals and discrete signals are the same， and can estimate the symbol time of OFDM signals， results exactly match with the theoretical analysis.

Key words:cyclic spectrum; cognitive radio; blind signal processing; OFDM(orthogonal frequency division multiplexing)

近年來，新的通信技術不斷涌現，正交頻分復用(OFDM)就是其中一種。由于OFDM傳輸系統具有高傳輸速率、高帶寬效率和高頻譜效率等優點，得到了廣泛的應用，如衛星通信、數字音頻廣播(DAB)、數字視頻廣播(DVB)、無線局域網(WLAN)、非對稱數字用戶線路(ADSL)、寬帶無線接入技術WiMAX等。與此同時，OFDM傳輸系統也給無線電監測等非協作通信領域帶來一系列新的盲信號處理課題。

隨著無線通信需求的不斷增長，對無線通信技術支持的數據傳輸速率的要求越來越高。根據香農信息理論，這些通信系統對無線頻譜資源的需求也相應增長，從而導致適用于無線通信的頻譜資源變得日益緊張，成為制約無線通信發展的新瓶頸。另一方面，已經分配給現有很多無線系統的頻譜資源卻在時間和空間上存在不同程度的閑置。因此，人們提出采用認知無線電(CR)技術，通過從時間和空間上充分利用那些空閑的頻譜資源，從而可以有效解決上述難題[1，2]。OFDM傳輸的特點滿足了認知無線電對調制方式的要求[3]，因為:OFDM系統接收端的FFT變換，使認知無線電在頻域上易于實現頻譜檢測;OFDM信號是多個子載波調制信號的疊加，在認知無線電中可方便利用空閑子載波進行波形成型;OFDM系統可在不同的傳輸環境下自適應調整參數，如FFT的長度、子載波間隔、循環前綴長度、子載波調制方式、編碼方式、子載波功率大小等，這滿足了認知無線電對自適應性、可擴展性的要求。

無論是無線電監測系統，還是OFDM認知無線電系統都需要盲檢測OFDM信號的參數，以識別各系統的信號、空頻段檢測、不同級別的用戶識別。循環平穩特性是調制信號的重要特性，利用信號的循環平穩特性可以完成許多信號處理任務，文獻[4，5]討論了單載波信號的循環平穩特性，并利用循環平穩特性對信號進行盲檢測、盲參數估計、信道盲識別等。利用信號的循環平穩特性進行盲信號處理的前提是必須知道信號的循環譜結構，而關于多載波信號的循環譜結構分析的文獻較少，文獻[6]證明了OFDM信號在加有循環前綴或有子載波權值或有非矩形脈沖成型的條件下是循環平穩的，討論了離散OFDM信號的循環譜，但對循環譜結構沒有進行分析和仿真。本文證明了OFDM信號具有循環平穩性的必要條件，并利用線性周期時變變換(LPTV)模型[7，8]，對OFDM信號的循環譜進行了詳細的數學推導，對連續信號和離散信號的循環譜進行了計算機仿真。結果顯示，計算機仿真與理論分析相吻合。

1 循環平穩信號分析

如果復信號x(t)的自相關函數為

Rxx(t，τ)=E[x(t+τ/2)×x*(t-τ/2)](1)

是時間t的周期函數，則稱x(t)是二階循環平穩信號(E表示求期望，τ表示時延)。因而可以展開成傅氏級數:

Rxx(t，τ)=αRαxx(τ)×ej2παt(2)

Rαxx(τ)=limT→∞1T∫T/2-T/2Rxx(t，τ)×e-j2παtdt(3)

其系數Rαxx(τ)稱為x(t)的循環自相關函數，而Rαxx(τ)的傅氏變換Sαxx(f)則稱為x(t)的循環譜密度函數，簡稱循環譜:

Sαxx(f)=∫∞-∞

Rαxx(τ)×e-j2πfτdτ(4)

其中:α稱為循環頻率;f稱為頻譜頻率。當α=0時，R0xx(τ)與S0xx(f)分別是傳統的自相關函數與功率譜密度函數。循環譜密度函數的主要特點是[5]:平穩噪聲和干擾n(t)當α≠0時，其循環譜密度函數等于零;循環譜密度函數包含了與調制信號參數有關的頻率和相位信息;功率譜密度函數相同的不同類型的調制信號，可能有完全不同的循環譜密度函數;不論功率譜是否連續，信號特征在循環譜上是以循環頻率離散分布的，在功率譜上有重疊特征的信號，可能在循環譜上沒有重疊的特征，調制信號的循環頻率一般為載頻、波特率、碼元速率等的整數倍及其和差值。

2 OFDM信號模型及自相關函數周期性證明

OFDM載波調制有如下表達式:

y(t)=Re{x(t)×ej2πfct}(5)

其中:Re表示取實部;fc是載波頻率;x(t)為復基帶OFDM信號，是N個并行子載波調制信號的和。這里僅討論子載波為QAM的調制方式(其他調制方式也可以得到類似的結果)，其連續時間模型可表示如下:

x(t)=N-1k=0xk(t)=lN-1k=0ck，l×q(t-lT)×ej2π×Δf×k(t-lT)(6)

其中:T表示OFDM符號周期，包括循環前綴(CP)間隔Tc;N是子載波數;Δf=1/(T-Tc)為子載波頻率間隔;q(t)是成型脈沖;ck，l是第k個子載波上的第l個調制符號，獨立同分布，其均值為0，方差為σ2c，是非周期的齊次馬爾可夫鏈[9]，滿足條件ck，l∈{cm}Mm=1。I相am=Re(cm)，Re表示取實部，Q相bm=Im(cm)，Im表示取虛部，點(am，bm)是位于QAM矩形星座中的點，E(ck，l)=E(c*k，l)=0，E(ck，ck′l′)=0，E(ck，lc*k′l′)=σ2c×δ[k-k′]δ[l-l′]，δ表示克羅內克函數。

在離散時間模型中，OFDM基帶信號x(t)的采樣間隔一般選擇ts=1/(N×Δf)，采樣時間可表示為t=n×ts=n(T-Tc)/N，延遲可表示為τ=d×ts，d為整數。當d為奇數時，延遲為d/2的樣點無法取到，對離散時間信號可以定義非對稱自相關函數及共軛自相關函數:

Rxx(n，d)=E[x(n)×x*(n-d)](7)

Rxx*(n，d)=E[x(n)×x(n-d)](8)

其中:d表示離散時延，x(n)x(n×ts)。根據采樣間隔ts，OFDM基帶信號x(t)的離散形式的自相關函數可表示為

Rxx(n，d)=σ2c×N-1k=0

ej2πkd/N×lq(n-lP)×q(n-d-lP)(9)

其中:P表示OFDM信號的符號長度且T=Pts，共軛自相關函數Rxx*(n，d)=0。

當q(t)為矩形脈沖時(這里僅討論d取零和正值的情況，d取負值也有相同的結果)，在無循環前綴時，根據N-1k=0ej2πk/N=0得

Rxx(n，d)=N×σ2c d=0

0d≠0(10)

自相關函數在d=0時為常數，在d≠0是為零，所以不具有周期性，x(n)是平穩信號。在加有循環前綴時:

Rxx(n，d)=N×σ2c，d=0

N×σ2c×lq(n-lP)×q(n-N-lP)，d=N

0，d≠0，d≠N(11)

對于σ2c×lq(n-lP)×q(n-N-lP)，n在一符號周期P內，當1≤n≤N時，其值為0;當N+1≤n≤P時，其值為σ2c，所以其周期為P。綜合以上情況，在加有循環前綴時Rxx(n，d)對于時間其周期為P。同樣，當q(t)為非矩形脈沖，如升余弦脈沖時，可以推導無論有無循環前綴時，對于時間n其周期都為P。

綜上所述，OFDM信號在有成型脈沖時具有循環平穩特性或矩形脈沖加循環前綴時也具有循環平穩特性，這與文獻[6]的證明相吻合。

3 OFDM信號循環譜推導

對式(5)，如果復信號x(t)是循環平穩的，則y(t)的循環譜有如下結果:

Sαyy(f)=14[Sαxx(f-fc)+S-αxx(-f-fc)*+

Sα-2fcxx*(f-fc)+S-α-2fcxx*(f+fc)*](12)

由對稱性質[10]Sαxx(-f)=Sαxx(f)，S-αxx(f)=Sαxx(f)*，所以

Sαyy(f)=14[Sαxx(f-fc)+Sαxx(f+fc)+

Sα-2fcxx*(f-fc)+Sα+2fcxx*(f+fc)](13)

其中:Sαxx(f)表示復信號x(t)的循環譜;Sαxx*(f)表示x(t)的共軛循環譜。可以看到，帶通信號y(t)的循環譜由復基帶信號x(t)的循環譜Sαxx(f)、共軛循環譜Sαxx*(f)和載波頻率fc共同決定。其循環頻率由基帶信號的循環頻率和2倍載波頻率共同決定。

OFDM復基帶信號x(t)可以表示成N個統計獨立的子信道QAM調制信號{xk(t)}N-1k=0的和:

x(t)=N-1k=0xk(t)，xk(t)=ej2π×Δf×k×t×v(t)(14)

這里

v(t)=lck，l×q(t-lT) k=0，1，…，N-1(15)

表示QAM星座符號脈沖成型后的復信號。利用定義及傅里葉變換的性質，可以證明QAM調制信號{xk(t)}N-1k=0的自相關函數、循環自相關函數、循環譜函數有如下結論:

Rxkxk(t，τ)=ej2π×Δf×kτ×Rvv(t，τ)(16)

Rαxkxk(τ)=ej2π×Δf×kτ×Rαvv(τ)(17)

Sαxkxk(f)=Sαvv(f-k×Δf)(18)

因為各子載波的QAM調制信號{xk(t)}N-1k=0彼此獨立，所組成的OFDM復基帶信號x(t)的自相關函數、循環自相關函數、循環譜函數有如下結論:

Rxx(t，τ)=N-1k=0Rxkxk(t，τ)=Rvv(t，τ)×N-1k=0ej2π×Δf×kτ(19)

Rαxx(τ)=N-1k=0Rαxkxk(τ)=Rαvv(τ)×N-1k=0ej2π×Δf×kτ(20)

Sαxx(f)=N-1k=0Sαvv(f-k×Δf)(21)

經過上面的推導可以看到，推導OFDM信號循環譜的關鍵是求解QAM信號v(t)的循環譜。

子載波QAM調制信號v(t)循環譜推導，對于如下函數:

v(t)=∞n=-∞anq(t-nT)=

∞n=-∞anδ(t-nT)q(t)=a(t)q(t)(22)

文獻[7，8]根據線性周期時變變換LPTV模型推導其循環譜密度函數為

Sαvv(f)=Q(f+α/2)Q*(f-α/2)Sαaa(f)(23)

其中:Q(f)是q(t)的傅里葉變換;Sαaa(f)是a(t)的循環譜密度函數，且E(an)=0，E(ana*m)=σ2aδ[n-m]，σ2a表示符號a的方差。以下推導Sαaa(f):

Raa(t，τ)=E[a(t+τ/2)a*(t-τ/2)]=∞k=-∞σ2αδ(t-kT)τ=00τ≠0(24)

容易驗證Raa(t，τ)當τ=0時，對于時間t為周期函數，周期為T，從而可以得到傅里葉級數如下:

Rαaa(τ)=1T∫T/2-T/2

Raa(t，0)e-j2παtdt=σ2αTα=m/T且τ=00α≠m/T(25)

其中m取整數，從而

Sαaa(f)=∫∞-∞Rαaa(τ)e-j2πατdτ=σ2αT， f∈(-∞，∞)，α=m/T(26)

把式(26)代入式(23)中得

Sαvv(f)=σ2αTQ

(f+α/2)Q*(f-α/2)α=m/T0α≠m/T(27)

因為在OFDM中，每個符號周期內，每個子載波上的復信號是統計獨立且相互正交的，因而整個信號的循環譜密度函數是各個單載波的循環譜密度函數之和。因此將式(27)代入式(21)得到OFDM基帶信號的循環譜密度函數表達式:

Sαxx(f)=σ2cTN-1k=0Q(f-k×Δf+α2)Q*(f-k×Δf-α2)α=mT

0α≠Tm(28)

因x(t)的共軛自相關函數Rxx*(t，τ)=0，所以共軛循環譜Sαxx*(f)=0，式(13)后兩項為零，把式(28)代入式(13)前兩項得OFDM帶通信號y(t)的循環譜密度函數:

Sαyy(f)=σ2c4TN-1k=0[Q(f-fc-k×Δf+α2)Q*(f-fc-k×Δf-α2)+

Q(f+fc-k×Δf+α2)Q*(f+fc-k×Δf-α2)]，α=mT (29)

其中:Q(f)是q(t)的傅里葉變換，從公式中可以看出，基帶OFDM信號的循環譜和帶通OFDM信號的循環譜都以α=1/T進行切片，每切片的頻率帶寬為N×Δf。

4 數值仿真結果

在MATLAB 7.1環境下進行計算機仿真，采用IEEE 802.11a標準中的參數設置，帶寬f=20 MHz，N=64個子載波，Δf=0.3125 MHz，先用連續時間模型，根據式(28)對OFDM基帶信號的循環譜密度函數進行仿真。圖1是矩形脈沖成型，加循環前綴CP=N/4時的循環譜圖，此時符號周期T=4 μs，頻譜頻率只顯示了-2~2 MHz。可以清晰地看到，在α軸上出現非零的譜線，譜線之間的距離就是OFDM信號的基準循環頻率，其倒數是OFDM信號的循環平穩周期，也是OFDM符號周期T。從圖中可計算出譜線距離為0.25 MHz，其倒數為符號周期4 μs，與設定的T相等。圖2是OFDM信號矩形脈沖成型，無循環前綴即CP=0時的循環譜圖，可以看到在α=0時有強的譜線，在α軸上其他地方僅有微弱的譜線，難以檢測到。圖2說明了OFDM信號矩形脈沖成型無循環前綴時，不具有循環平穩特性，是平穩信號。

按IEEE 802.11a標準，N=64個子載波，循環前綴CP=N/4，符號周期T=4 μs，采樣頻率f=20 MHz，子載波采用64QAM調制，通過IFFT變換，產生100個OFDM符號，在沒有考慮噪聲的條件下用文獻[11]中的數值計算方法，先對離散OFDM基帶信號的自相關函數進行計算;再對其FFT變換，得到循環自相關函數;最后對循環自相關函數進行FFT變換，就實現了循環譜的數值計算，結果如圖3所示。可以看到，其循環譜圖與加循環前綴的連續時間模型相同，在α軸上出現清晰的非零譜線，搜索譜線間的距離約為0.25 MHz，實現了OFDM信號符號周期的估計，其精度與數值實現算法有關，仿真結果驗證了理論推導的正確性。

5 結束語

本文對OFDM信號的自相關函數的周期性進行了分析，證明了OFDM信號具有循環平穩性的必要條件是加循環前綴或有非矩形脈沖成型，并以線性周期時變變換(LPTV)模型為基礎，推導了OFDM信號的循環譜表達式。因為各子載波相互獨立正交，所以OFDM基帶信號的循環譜是各子載波循環譜之和，理論分析表明，OFDM信號的循環譜以α=1/T進行切片。通過對連續信號和離散信號的循環譜進行計算機仿真，都得到了相同的OFDM信號循環譜圖，實現了OFDM信號符號周期的估計，仿真驗證了理論分析的結論。本文的結果可以進一步用于無線電監測系統和OFDM認知無線電系統中。

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