求解多目標(biāo)job-shop生產(chǎn)調(diào)度問題的量子進(jìn)化算法

摘 要:基于量子計(jì)算理論和進(jìn)化理論，提出了用于多目標(biāo)job-shop優(yōu)化的量子進(jìn)化算法(QEA-MOJSP)。QEA-MOJSP采用量子比特來表示工序?qū)庸ろ樞虻膬?yōu)先概率，利用量子疊加和相干機(jī)理，通過更新和交叉操作完成進(jìn)化過程。對(duì)所有機(jī)器上工序?qū)?yōu)先概率進(jìn)行觀測(cè)可得到一個(gè)調(diào)度方案，修補(bǔ)算子被用于不可行調(diào)度方案的修補(bǔ)。設(shè)計(jì)了局部搜索算子用于開采當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體周圍的解空間，以提高算法的收斂速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于測(cè)試算例，QEA-MOJSP的解接近Pareto最優(yōu)解集前沿，并具有很好的多樣性。

關(guān)鍵詞:多目標(biāo)作業(yè)車間調(diào)度; 量子進(jìn)化算法; 局域搜索

中圖分類號(hào):TP18 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-3695(2010)03-0849-04

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.03.011

Quantum-inspired evolutionary algorithm for multi-objective job-shop scheduling

QIN Chao-yong1，2， LIU Xiang1， ZHENG Jian-guo2

(1.School of Mathematics Information Science， Guangxi University， Nanning 530004， China; 2.School of Business Management， Donghua University， Shanghai 200051， China)

Abstract:This paper proposed a quantum-inspired evolutionary algorithm for multi-objective job-shop scheduling problems(QEA-MOJSP). In the QEA-MOJSP， employed a quantum bit to represent processing priority of two operations executed on the same machine. Used updating operator of quantum gate to speed up individuals converge toward the current best solution. Performed conventional crossover as well. Employed quantum computation mechanics to accelerate evolution process.A scheduling solution could be obtained by observing quantum chromosome on all machines. To repair illegal solution， employed harmonization algorithm. At last， designed local search operator to exploit the space around the current best solution. Experiments are conducted on benchmark test problems， the results show that the proposed approach can search for the near-optimal and non dominated solutions by optimizing the makespan and mean flow time.

Key words:multi objective job-shop scheduling; quantum-inspired evolutionary algorithm; local search

多目標(biāo)作業(yè)車間調(diào)度問題(multi-objective job shop scheduling problems，MOJSP)指標(biāo)類型多樣、互不相容，且往往相互矛盾，比單目標(biāo)JSP問題更接近實(shí)際生產(chǎn)調(diào)度情況，計(jì)算量和復(fù)雜性更是急劇增加。相對(duì)于經(jīng)典調(diào)度方法，人工智能調(diào)度方法由于其解決問題的有效性而在多目標(biāo)調(diào)度問題中得到廣泛關(guān)注[1~13]，然而這些研究主要集中于流水車間調(diào)度問題，對(duì)于多目標(biāo)作業(yè)車間調(diào)度問題的研究不多。

量子計(jì)算是利用量子疊加性、糾纏性和相干性實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算的新穎計(jì)算模式，具有經(jīng)典計(jì)算不可比擬的優(yōu)勢(shì)。基于量子計(jì)算和傳統(tǒng)智能計(jì)算基礎(chǔ)上發(fā)展而來的量子智能計(jì)算已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。Narayanan等人[14]首先將遺傳算法與量子理論相結(jié)合，提出了量子遺傳算法(quantum genetic algorithm，QGA)的概念;文獻(xiàn)[15，16]分別提出了遺傳量子算法和并行量子遺傳算法;文獻(xiàn)[17，18]將量子理論與進(jìn)化理論相結(jié)合分別提出了用于組合優(yōu)化的量子進(jìn)化算法(quantum evolutionary algorithm，QEA)和用于函數(shù)優(yōu)化的量子進(jìn)化規(guī)劃(quantum evolutionary programming，QEP);李陽陽等人[19]將量子計(jì)算與克隆原理結(jié)合，提出了量子克隆算法;覃朝勇等人[20]則將量子進(jìn)化學(xué)習(xí)方式與多智能體的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制結(jié)合起來，提出了多智能體量子進(jìn)化算法，更多的研究成果參見文獻(xiàn)[21，22]等。

本文針對(duì)MOJSP問題，引入量子計(jì)算理論和進(jìn)化計(jì)算理論，提出用于多目標(biāo)工作車間優(yōu)化問題的量子進(jìn)化算法(quantum evolution algorithm for multi-objective job shop scheduling problems，QEA-MOJSP)，設(shè)計(jì)了更新、交叉和局域搜索算子來實(shí)現(xiàn)進(jìn)化和尋優(yōu)過程。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明算法具有快速收斂能力。

1 問題描述

多目標(biāo)job-shop問題可描述為:有n項(xiàng)待加工的生產(chǎn)作業(yè)J={1，2，…，n}，需要通過m臺(tái)不同的機(jī)器M={1，2，…，m}進(jìn)行處理。各項(xiàng)作業(yè)在各臺(tái)機(jī)器上加工且僅加工一次，并且各項(xiàng)作業(yè)分別按指定的工藝路線通過所有機(jī)器。作業(yè)j第i道工序?qū)?yīng)的加工時(shí)間為pji。優(yōu)化目標(biāo)是多個(gè)指標(biāo)，如最小化所有作業(yè)完工時(shí)間(makespan)、最小化所有作業(yè)的平均作業(yè)流程時(shí)間(mean flow time)和最小化所有作業(yè)的平均延誤時(shí)間(mean tardiness)等。多目標(biāo)JSP問題模型可描述如下:

min f(x)=(f1(x)， f2(x)，…， fn(x))(1)

subject to x∈X

其中:fi為要優(yōu)化的各個(gè)目標(biāo)函數(shù);x是可行調(diào)度方案;X為調(diào)度解空間。本文取所有作業(yè)完工時(shí)間以及平均作業(yè)流程時(shí)間為要優(yōu)化的目標(biāo)。

makespan f1=Cmax=max[Ci];Ci為作業(yè)i的完成時(shí)間。

mean flow time f2=Cmean=1n ∑ni=1Ci;Ci為作業(yè)i的完成時(shí)間。

2 用于MOJSP的QEA

2.1 編碼

用于JSSP問題的編碼有基于工序的編碼、基于工件的編碼、基于工件對(duì)關(guān)系的編碼、基于優(yōu)先規(guī)則的編碼、基于完成時(shí)間的編碼、隨機(jī)鍵編碼、基于析取圖的編碼及基于機(jī)器的編碼等[23]。 Balas[24]提出了一種基于析取圖模型的枚舉方法。Yamada[25]最先提出了用于JSSP問題的基于二進(jìn)制編碼遺傳算法，但該方法僅對(duì)小規(guī)模調(diào)度問題有效。本文采用基于量子比特編碼的染色體來表示調(diào)度方案，一個(gè)量子比特由一對(duì)復(fù)數(shù)表示:q=[α，β]，且|α|2+|β|2=1。其中:|α|2表示量子比特坍塌到0的概率;|β|2表示量子比特坍塌到1的概率。本文提出的QEA-MOJSP中，一個(gè)量子比特代表同一臺(tái)機(jī)器上一個(gè)工序?qū)庸は群箜樞虻母怕??？紤]兩個(gè)工件i和j的一個(gè)工序?qū)i，j]，以prior(i，j)k=qijk=αijkβijk表示工件i和j在機(jī)器Mk上加工的優(yōu)先順序的概率，如果prior(i，j)k坍塌到1，則表示工件i先于工件j在機(jī)器Mk上加工;否則，工件i后于j在機(jī)器Mk上加工。通過測(cè)量量子染色體，可以得到一串二進(jìn)制編碼。當(dāng)所有工件在所有機(jī)器上的加工優(yōu)先順序確定以后，就可以得到一個(gè)調(diào)度方案。例如，一個(gè)3×3(3個(gè)工件和3臺(tái)機(jī)器)調(diào)度問題的量子比特染色體可以表示為

prior(1，2):α121 α122 α123β121 β122 β123

prior(1，3):α131 α132 α133β131 β132 β133

prior(2，3):α231 α232 α233β231 β232 β233(2)

假設(shè)對(duì)式(2)中染色體進(jìn)行測(cè)量得到二進(jìn)制編碼101、110、010，則工件1 和2在各機(jī)器上加工的優(yōu)先順序?yàn)?工件1先于2在機(jī)器1上加工，工件2先于1在機(jī)器2上加工，工件1先于2在機(jī)器3上加工。利用量子染色體來表示調(diào)度方案，單個(gè)染色體能攜帶多個(gè)方案信息，且傳統(tǒng)進(jìn)化算子如交叉算子等易于實(shí)施。

2.2 更新

更新算子用于調(diào)整改變量子比特的振幅，利用旋轉(zhuǎn)門U來更新[αi，βi]:

α′iβ′i=U(θ)αiβi=cos θi -sin θisin θi cos θiαiβi(3)

其中:旋轉(zhuǎn)角度θi=s(αi，βi)#8226;Δθi可由表1查找。 表1中，besti和xi分別表示最優(yōu)調(diào)度方案的第i個(gè)量子比特及二進(jìn)制編碼， f(x)為個(gè)體x的適應(yīng)度， 旋轉(zhuǎn)角Δθi控制收斂速度，s(αi，βi)為旋轉(zhuǎn)的方向。QEA中利用量子旋轉(zhuǎn)門來進(jìn)行更新操作，以保證當(dāng)前個(gè)體朝最優(yōu)個(gè)體進(jìn)化，從而加快算法收斂速度。

表1 旋轉(zhuǎn)角

xibestif(x)≥f(best)Δθi

s(αi，βi)

αi βi<0αi βi>0αi=0βi=0

00100000

00true00000

01100000

01true0.05π-1+1±10

1010.01π-1+1±0

10true0.015π+1-10±1

1110.01π+1-10±1

11true0.015π+1-10±1

2.3 交叉

采用兩點(diǎn)交叉操作，即隨機(jī)確定兩個(gè)位置，兩個(gè)個(gè)體相應(yīng)部分進(jìn)行交換產(chǎn)生新個(gè)體。假設(shè)有如下兩個(gè)個(gè)體進(jìn)行交叉，隨機(jī)產(chǎn)生的兩個(gè)位置為2和4:

q1=q11|q12q13q14|q15q16

q2=q21|q22q23q24|q25q26

交叉后產(chǎn)生如下兩個(gè)新個(gè)體:

q′1=q11|q22q23q24|q15q16

q′2=q21|q12q13q14|q25q26

其中qij=αijβij。

2.4 修補(bǔ)

一個(gè)調(diào)度方案可以表示為一串二進(jìn)制串，但由量子染色體坍塌而得的一個(gè)任意二進(jìn)制字符串卻不總是能代表一個(gè)可行的調(diào)度方案，經(jīng)過更新和交叉進(jìn)化操作產(chǎn)生的新個(gè)體也并不能保證得到可行的調(diào)度方案。本文采用修補(bǔ)算子對(duì)不可行的調(diào)度方案進(jìn)行修補(bǔ)。首先利用局部修補(bǔ)算子對(duì)每臺(tái)機(jī)器上的工件工序進(jìn)行修補(bǔ)，使得每臺(tái)機(jī)器上各工件的加工順序不出現(xiàn)沖突，再利用全局修補(bǔ)算子對(duì)所有機(jī)器上的工件工序修補(bǔ)，使得機(jī)器間工件工序不出現(xiàn)沖突。若以每個(gè)工件在每臺(tái)機(jī)器上的加工操作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間用有向弧連接，可得到基于析取圖表示的調(diào)度方案[24]。修補(bǔ)算子通過調(diào)整析取圖上的析取弧，使得圖中不存在回路或環(huán)，得到的調(diào)度方案即為可行的調(diào)度方案。

1)局部修補(bǔ) 對(duì)每臺(tái)機(jī)器上的加工操作(對(duì)應(yīng)析取圖中的節(jié)點(diǎn))集合進(jìn)行排序，依次改變?nèi)攵茸罡吖?jié)點(diǎn)中的出弧為入弧，使得該節(jié)點(diǎn)只有入弧而沒有出弧，并從集合中刪除該節(jié)點(diǎn)，重復(fù)該過程直到集合為空。圖1為機(jī)器M1上的工序，實(shí)施局部修補(bǔ)算子，修補(bǔ)結(jié)果得到的加工順序?yàn)镺41→O51→O61→O11→O21→O31。

2)全局修補(bǔ) 單個(gè)機(jī)器上的工序經(jīng)局部修正后不存在沖突，但各機(jī)器之間的工序可能存在沖突。全局修補(bǔ)用于修正機(jī)器之間的工序沖突。若以析取圖表示的調(diào)度方案中存在回路，則表明機(jī)器之間的工序存在沖突，為此，需改變回路中最小弧的方向，使得圖中不存在環(huán)路。

2.5 局部搜索算子

局部搜索算子用于搜索當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體周圍的空間。 在以析取圖表示的編碼中[24]，通過添加兩個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)來表示調(diào)度的開始和結(jié)束。一個(gè)調(diào)度方案可以有向無環(huán)圖來表示。以量子比特表示的工件加工優(yōu)先順序，對(duì)應(yīng)于相應(yīng)析取邊取兩個(gè)方向的概率。對(duì)量子比特進(jìn)行測(cè)量，相當(dāng)于確定工件工序加工的優(yōu)先順序，相當(dāng)于將析取邊轉(zhuǎn)變成有向弧，所有的析取邊都轉(zhuǎn)為有向弧以后，就可以得到一個(gè)初始的調(diào)度方案。對(duì)于表示可行調(diào)度方案的有向圖中，以相應(yīng)優(yōu)化指標(biāo)計(jì)算出的關(guān)鍵路徑?jīng)Q定了該調(diào)度方案的優(yōu)劣和適應(yīng)度，改變關(guān)鍵路徑上任務(wù)有向弧的方向得到新的調(diào)度方案恒為可行調(diào)度方案[25]。受此啟發(fā)，局部搜索算子在表示當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體的有向圖的關(guān)鍵路徑上進(jìn)行開采，以找到更優(yōu)個(gè)體。

局部搜索算子描述如下:

a)初始化局部搜索算子中種群規(guī)模l;

b)找到表示當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體的有向圖的關(guān)鍵路徑P;

c)任意改變關(guān)鍵路徑P上某有向邊的方向，得到一個(gè)新個(gè)體(可行調(diào)度方案);

d)計(jì)算新個(gè)體的關(guān)鍵路徑P′;

e)if length(P)>length(P′)，則以新個(gè)體代替舊個(gè)體;

f)t←t+1，若tl，重復(fù)b)，否則停止。

2.6 用于MOJSP的QEA

用于MOJSP的QEA主要步驟描述如下:

a)初始化種群大小N，初始化量子染色體中量子比特振幅為1/212，t←0;

b)對(duì)Q(t)實(shí)施交叉操作，得到新種群Q′(t);

c)實(shí)施更新操作，得到新種群Q″(t);

d)測(cè)量Q″(t)，得到二進(jìn)制種群P(t);

e)對(duì)P(t)進(jìn)行解碼，并且用修補(bǔ)算子對(duì)不可行個(gè)體進(jìn)行修補(bǔ);

f)評(píng)估P(t);

g)從P(t)中選擇最優(yōu)個(gè)體，實(shí)施局部搜索，并記錄最優(yōu)個(gè)體;

h)t←t+1，重復(fù)b)~g)，直到滿足停止準(zhǔn)則。

步驟d)中對(duì)量子染色體的測(cè)量過程為:產(chǎn)生[0，1]間的隨機(jī)數(shù)，若大于|αi|2，則該位取1;否則該位取0。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 測(cè)試實(shí)例

為驗(yàn)證本文的QEA算法對(duì)于求解多目標(biāo)job-shop問題的有效性，選取OR-library[26]公布的系列算例對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)mt、abz和la系列各選取三個(gè)算例進(jìn)行實(shí)驗(yàn):mt06、mt10、mt20、abz7、abz8、abz9、la21、la25及l(fā)a29。本文將運(yùn)行結(jié)果和NSGAII[27]進(jìn)行了比較。

3.2 參數(shù)設(shè)置及結(jié)果分析

種群大小為50，最大迭代次數(shù)為200。變異概率選擇為1，局域搜索規(guī)模取5。當(dāng)QEA求得的最優(yōu)解在連續(xù)的30代內(nèi)沒有改進(jìn)，則發(fā)生災(zāi)變。對(duì)每個(gè)測(cè)試算例，分別運(yùn)行算法30次，記錄最優(yōu)解及平均解，如表2所示。對(duì)每次運(yùn)行最后一代的結(jié)果所得進(jìn)行快速非支配解(占優(yōu)解)排序，以構(gòu)建最終的最優(yōu)解集(Pareto optimal solutions)[27]。本文取最優(yōu)解及平均解來評(píng)估算法的收斂性能，并以Schott[28]提出的指標(biāo)Spacing(S)來衡量算法的均勻性，S越小，則算法的均勻性越好。

表2 QEA與NSGAII求解結(jié)果比較

instancesmethod

makespanmean flow time

bestaveragebestaveragespacing/s

mt06QEA5559.3814648.8260.206 1

NSGAII5559.2194648.8320.216 9

mt10QEA9301 008.301801841.3820.797 1

NSGAII9301 025.346806843.0861.557 9

mt20QEA1 1811 276.085807871.7040.872 4

NSGAII1 1831 280.425811876.4351.178 4

abz7QEA659713.912598617.7760.842 6

NSGAII667731.294605622.1041.426 2

abz8QEA684729.183599641.3230.657 7

NSGAII686736.894607640.3870.946 4

abz9QEA690720.814575591.4690.613 4

NSGAII690731.258583596.0020.886 7

la21QEA1 0461 088.337885901.11.563

NSGAII1 0461 090.758929043.912 65

la25QEA9771 009.165784809.5551.346 3

NSGAII9771 009.667793800.52.032 14

la29QEA1 1511 206.4951990.50.499 87

NSGAII1 1601 214.11959991.4440.971 82

由表2可見，對(duì)于所測(cè)試的算例，QEA和NSGAII都能取得較好的解。對(duì)于算例mt06、mt10、QEA和NSGAII，解的質(zhì)量相當(dāng)。QEA在其余算例中均優(yōu)于或略優(yōu)于NSGAII。在所有的算例中，QEA的均勻性均好于NSGAII。為了說明算法QEA的收斂性及解的分布情況，對(duì)QEA和 NSGAII運(yùn)行中最后一代的非支配解以圖示方式表示，圖2說明了對(duì)算例mt10、abz7及abz8所求得的非支配解的分布。由圖2可知，對(duì)于所研究的算例，QEA所求得的解比NSGAII具有更好的寬廣性和分布性，QEA更容易求得處于目標(biāo)空間邊界的解?？偟膩碚f，本文提出的求解多目標(biāo)JSP優(yōu)化問題的量子進(jìn)化算法能取得近似最優(yōu)解集，同時(shí)具有較好的多樣性和分布性，算法能求得比NSGAII更多的非支配解。

4 結(jié)束語

本文提出了求解多目標(biāo)job-shop問題的量子進(jìn)化算法，染色體體由量子比特組成，采用量子比特來表示工序?qū)庸ろ樞虻膬?yōu)先概率。量子比特編碼帶來的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是傳統(tǒng)的變異和交叉算子無須修改便可直接應(yīng)用。以量子比特表示的每臺(tái)機(jī)器上的工序?qū)庸ろ樞蛉看_定后，便可得到一個(gè)調(diào)度方案。通過量子比特觀測(cè)而得的調(diào)度方案及經(jīng)過更新和交叉操作后得到的調(diào)度方案不一定可行，為此設(shè)計(jì)了修補(bǔ)算子，將不可行調(diào)度方案修改成可行的調(diào)度方案。局部搜索算子被設(shè)計(jì)用于開采當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體周圍的解空間，以提高QEA的收斂速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的用于求解多目標(biāo)job-shop問題的量子進(jìn)化算法的解接近Pareto 最優(yōu)解集前沿，并具有很好的多樣性。

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