用蟻群算法求解帶交易成本的投資組合模型

[摘要] 證券投資組合優化問題的實質就是有限的資產在具有不同風險收益特征的證券之間的優化配置問題。本文在經典馬科維茨投資組合的均值-方差模型框架下，將蟻群算法引入模型求解，提出考慮交易成本的股票投資組合模型。實證結果表明，蟻群算法是一種解決股票投資組合優化問題的有效算法，不同的參數設置對算法運行結果有顯著影響。

[關鍵詞] 投資組合交易成本蟻群算法

一、引言

由Markowitz(1952)提出的均值-方差(MV)模型在投資組合理論中占有重要的地位， 是投資分析中的一種有效的工具。Markowotz分別用期望收益率和收益率的方差來衡量投資的預期收益水平和不確定性(即風險)，建立了均值-方差投資決策模型。隨后， Markowitz(1959)，Mao (1970)討論了均值-下半方差模型，在收益分布對稱的情況下，下半方差剛好是方差的一半，但均值-下半方差有效前沿與均值-方差模型有效前沿完全一致;Konno(1991)研究了用均值絕對偏差來衡量投資組合的風險，提出了均值-絕對偏差模型(MAD模型)，簡化了投資組合優化的運算;Konno和Suzuki (1995)研究了均值-方差-偏度模型，基于收益不對稱分布的情況，是對MV模型的補充。這些研究使得投資組合模型越來越接近實際，但也越來越難于用傳統的數學規劃方法進行有效地求解模，許多學者把目光轉向應用仿生算法求解投資組合模型，解決模型的實際應用問題。

蟻群算法作為近年來一種新興的仿生算法，具有較強魯棒性、優良的分布式計算機制、易于與其他方法相結合的優點，被成功用來解決如TSP、武器-目標分配問題、頻率分配問題、電力系統故障診斷等問題。近年來也有學者將蟻群算法應用于證券投資組合問題的研究，孫永征，劉亮(2008)將混合行為蟻群算法應用到股票市場投資者行為研究中去，建立了基于混合行為蟻群算法的股票市場投資行為演化模型，研究投資者的五種行為對股票價格及市場穩定性的影響。研究表明，不同投資行為與股票價格及市場穩性之間存在復雜的關系。謝燕蘭(2008)利用經典MV模型和股票技術分析中成交量、收益率等指標，以銀行作為投資避險的工具，構建了一個針對國內股票市場的證券組合投資優化模型。然而，這些研究成果沒有考慮到股票投資過程中必然存在交易成本因素，從而降低了模型的實際應用價值。假設交易成本是線性函數，本文提出考慮交易成本的股票投資組合模型，利用蟻群算法求解所建模型，并且討論了模型參數的設置對投資回報的影響。

二、蟻群算法下的投資組合模型

1.經典的MV投資組合模型

根據投資者均為理性經濟人的假設，Markowitz理論認為投資者在證券投資過程中總是力求在風險一定的條件下，獲得最大的收益;或者在收益一定的條件下，將風險降到最小。則Markowitz模型可表示為以下兩種單目標的模型:

(1)

其中，n為持有資產的數量，xi代表每種資產的持有比例，ri(i=1，…，n)為每種資產的期望收益率，σij表示資產i和資產j(i=1，…，n;j=1，…，n)的協方差。

2.基于蟻群算法的證券投資組合模型

蟻群算法(ants colony algorithm)是由Dorigo等于1990年為了解決組合優化問題而提出的一種模擬蟻群覓食行為新型進化算法。概括而言，就是將蟻群的覓食行為視為一個復雜的路徑優化問題。算法的主要機理可從兩個方面來描述:(1)集體性，算法尋優過程是一種帶有信息交換的并行過程，具有全局搜索的能力;(2)路徑的適值標準，當螞蟻在從巢穴去食物源(或者從食物源返回巢穴)時，會在走過的路上留下一種化學物質(pheromone)，被稱為信息素，這種信息素的強弱與它們所走的路的長度成反比。螞蟻根據信息素的強弱以一定的概率來進行路徑選擇，形成了正反饋搜索過程。以上特征使得蟻群算法成為求解組合優化問題的一種簡單、高效的手段。

在證券投資組合模型中，股票投資收益率相當于螞蟻運動過程中留下的信息素，為了避免算法運算時間過長陷入停滯，Dorigo在蟻群模型中引入了啟發函數加速模型的收斂，對應于證券投資組合模型，啟發函數相當于投資組合的風險，算法運行的結果是使得組合實現最小風險下的最大收益。具體如下:

(1)轉移概率的計算

轉移概率直接關系到蟻群算法的尋優效率和執行結果，由下式得出，在證券投資組合模型中，蟻群通過對風險和收益的均衡確定轉移概率:

(2)

其中，信息素τi(t)按照如下規則更新:

(3)

(4)

(5)

其中，為信息素的變化量，ri為第i個證券的收益率，α、β是模型參數分別反映了螞蟻在運動過程中所積累的信息和啟發信息在螞蟻選擇路徑中的相對重要性，ρ是信息素的揮發系數，通常情況下設置ρ<1來避免路徑上信息量無限累加。

(2)啟發函數的定義

啟發函數用來加速算法收斂，并且避免算法陷入局部最優，本文采用單只股票的標準差衡量其風險，從而構造啟發函數，如下:

ηi=1/ρi(6)

(3)交易成本

交易成本是股票投資的一個重要問題，大多數情況下，投資者都是從已持有的投資組合開始，確定如何在股票市場上進行調整。股票投資倉位的調整必然需要交易費用，交易費用通常是新舊股票組合之差的V型函數:

(7)

其中，ci(t)表示第i只股票第t期的交易費用;

ki≥0，i=1，2，…，n，表示第i只股票的交易費率;

，Mi(t)表示第i只股票第t期投資額，假設初始投資金額M(0)=100萬，各股票初始倉位Mi(0)=25萬。

則n只股票第t期總交易費用為:

(8)

(4)投資回收總額

個股倉位根據上述轉移概率公式(2)結果進行倉位調整，第i只股票在第t期末的投資回報為:

Mi(t)=M(t-1)×xi(t)×[ri(t)+1]-ci(9)

總的投資回收額:

(10)

三、蟻群算法基本流程

設有n只股票m名投資者，股票的收益率為ri為第i個證券的收益率，τi(t)為股票i上的信息素，并設置每只股票的初始信息素。

步驟1:參數初始化。令時間t=0和循環次數NC=0，設置最大循環次數NCmax，將m個螞蟻置于n個元素(股票)上，初始化，令τij=const，(0)=0，其中cinst是常數;

步驟2:設置循環次數NC←NC+1;

步驟3:螞蟻數目K←K+1;

步驟4:將各螞蟻的初始出發點置于當前解集中;對每個螞蟻k(k=1，2，…，m)，按概率狀態轉移Pkij公式(2)移至下一個元素(股票)j;

步驟5:若元素未遍歷完，即k

步驟6:根據公式(3)、(4)、(5)更新每條路徑上的信息素量;

步驟7:若滿足結束條件，即如果循環次數NC≥NCmax，則循環結束并輸出程序計算結果，否則跳轉到步驟2。

四、實證檢驗結果與分析

為了使算法結果具有可比性，本文使用謝燕蘭(2008)文中基本數據作為樣本，以2007年7月6日～2008年1月15日的國內A股證券市場每日交易資料(股價、收益率)作為運行資料，令初始投資資金為100萬，運用MATLAB編程得到各模型2007年7月6日～2008年1月15日的投資回報。由于蟻群算法所需參數較多，需要討論模型參數變化對運算結果的影響。

圖1～2選取了三組六個具有代表性的算法尋優結果，可以觀察到本文模型較謝燕蘭模型(212.6萬元)獲得了更好的投資回報，三個參數α，β，ρ的設置對算法最終尋優結果有著不同的影響。其中α對投資組合回報影響較為顯著，隨著α的增大投資回報顯著增加，α=3時投資回報為356.67萬元，而當α=0.7時，投資收益僅為259.8萬元，也就是說當投資者在第一天在某只股票的投資獲得較高的收益時，第二天繼續增加此只股票投資倉位;β和ρ的變化對投資回報的影響顯著性不強，α和ρ不變，當β=0.3時投資回報為271.56萬元，β=3.5時投資回報為279.27萬元，這是由于國內A股市場交易規則中漲跌停板的限制在一定程度上控制了股票投資的風險，而投資時間間隔越長，對當前投資組合的影響越不明顯，這和股票投資技術分析的結論一致。

五、結論

本文利用基本蟻群算法對投資組合模型進行了優化，主要提出了考慮交易成本的股票投資組合模型并對其進行了有效求解，與此同時討論了模型參數變化對算法尋優結果的影響。實證結果表明蟻群算法能夠在有限的資源條件下，求解傳統的數學方法難以解決的投資組合問題，并且具有整體優化，高效迅速的優勢，具有廣闊的應用前景。

參考文獻:

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[4]Konno H.， Yamazaki H. Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to Tokyo Stock market [J]. Management Science， 1991，37:519～531

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