在新舊教材中找到教學的黃金分割點

《圖上距離與實際距離》選自義務教育課程標準實驗教科書《數學》(蘇科版)八年級下冊第十章《圖形的相似》第1節.本章是繼圖形的全等之后集中研究圖形形狀的內容，是對圖形全等內容的進一步拓廣和發展，本節課為后面圖形的相似打好理論基礎.

一、教學實錄

1.創設問題情境，引入新課

師1:同學們，生活中常常可見形狀相同的圖形，如課本P80兩幅不同比例尺的長城照片，探索相似圖形的特征，使我們更好地認識圖形世界，請大家觀察P82頁的兩幅不同比例尺的江蘇省地圖，分別量出兩幅地圖中南京市與徐州市、南京市與連云港市之間的圖上距離.

生:第一張圖南京市與徐州市、南京市與連云港市之間的圖上距離分別為2.6cm;2.6cm;第二張圖南京市與徐州市、南京市與連云港市之間的圖上距離分別為1.3cm，1.3cm.

師:在這兩幅地圖中的圖上距離的比是多少?南京市與連云港市的圖上距離的比是多少?這兩個比值之間有什么關系?

生1:在兩幅不同比例尺的江蘇省地圖，南京市與徐州市的比約是2∶1，南京市與連云港市的圖上距離的比是2∶1.

生2:(補充)這兩個比值之間相等，與所采用的比例尺無關.

師:以上兩位同學回答得很全面.同學們回憶一下:什么叫兩個數的比?怎樣度量線段的長度?怎樣比較兩條線段的大小?(板書:10.1圖上距離與實際距離)

生1:兩個數相除叫做兩個數的比.

生2:統一長度單位，統一測量工具(甚至有學生提出不能用老師的教學三角板和學生的透明三角板來測量，這可是教材中沒有的).

生3:重合一個頂點，誰長就是大的.(師評:重合法，差值法)

生4:可以用前者除以后者，和1比，大于1就分子大，小于1就分母大.(師評:商值法)

點評: 情境導入的目的是設疑激趣.這里從學生已有的體驗開始，從直觀的和容易引起想象的問題出發，讓數學背景包含在學生熟悉的事物和相關聯的情景之中，學生的課堂表現真的超越于教材，請相信我們的學生遠比我們想象的要聰明得多，我們的課堂一定要多給學生思考的時間和空間.

2.合作交流，探索概念

師:那么大家說什么叫做兩條線段的比?

生齊:如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比AB∶CD=m∶n，或寫成 AB CD = m n ，其中，線段AB、CD分別叫做這兩條線段比的前項和后項.如果把 m n 表示成比值k，則 AB CD =k或AB=k#8226;CD.(師評:學生看書尋找答案)

師:如果概念中少長度兩字行嗎?(板書:線段的比)

生1:(用遲疑的口吻)不行.

師:剛才同學們回答得很好，那么求比時應注意哪些問題?

生1:在量線段時兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，如果單位長度不同，應先化成同一單位，再求它們的比.

生2:兩條線段的比，沒有單位，它與所采用的長度單位無關.

生3:兩條線段的長度都是正數，所以兩條線段的比值總是正數.

生4:注意線段的比的有序性(可以用兩個學生一高一矮做對比，明明是高比矮，可千萬不能寫成矮比高，這樣形象化使學生不容易出錯，初中教學應該盡可能將抽象轉化為形象，將虛擬轉化為實際，再回到準確的數學概念上，讓學生牢固的、有效的掌握).

點評: 問題提出以后，學生踴躍回答.在這里，教師依據學生的心理特點，培養學生的問題意識，不把結論過早地告訴學生，而是引導學生去發現問題、提出問題、解決問題，讓學生做到多問多思，主動參與.

師:大家總結得很全面，如果兩條線段的比等于另外兩條線段的比，這個比可定義為什么?

生:比例.

師:比和比例有何區別?

生:比和比例是既有區別又有聯系的兩個概念，比是用一個數是另一個數的幾倍或幾分之一，表示兩個數之間的關系，它的值叫比值;比例是用“=”連接比值相等的兩個式子，它是一個等式，具有等式的一切性質.(學生通過回憶小學知識，老師加以補充)

師:這就是我們今天要引入的成比例線段.

生齊:如果a與b的比值和c與d的比值相等，那么 a b = c d 或a∶b=c∶d，這時組成比例的四個數a，b，c，d叫做比例的項，兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項，即a、d為外項，c、b為內項.(板書:成比例線段)[實驗班補充比例式的所有變形形式，讓學生發現用等積式來帶動比例式是科學的]

師:如果在 a b = c d 中，若b=c，即 a b = b d 那么b2=ad，這時我們把b叫做a和d的比例中項(比例中項是下節課黃金分割的理論基礎).請同學們回憶一下比例有什么性質?

生1:在比例中，兩個外項的積等于兩個內項的積.用式子表示就是:如果a∶b=c∶d或 a b = c d (b，d都不為0)，那么ad=bc.反之，若ad=bc，則a∶b=c∶d或 a b = b d .(俗稱:交叉相乘)

生2:可以采用剛學過的分式性質，采用去分母，同樣達到效果.

生3:那是分式方程，老師應該檢驗吧?(質疑得很好，加以表揚)

生4:不必要，因為它是幾何線段，首先應存在，而且是單獨字母，不可能為0.(學生真的很優秀)

師:大家總結得很好.如果 a b = c d ，那么 a+b b = c+d d 成立嗎?為什么?

生1:成立.等式兩邊同時加上1即可.

生2:既然有加1就會有減1了.

生3:如果 a b = c d ，那么 a-b b = c-d d 成立.(板書:如果 a b = c d ，那么 a±b b = c±d d 成立)

師:如果 a b = c d = e f ，那么能夠得出什么結論?

生1:如果 a b = c d = e f ，那么 a+b+e b+d+f = a b 成立，我的方法是設k法.

生2:如果 a b = c d =…= m n (b+d+…+n≠0)，那么 a+c+…+m b+d+…+n = a b 成立，同樣是設k法.

(實驗班補充等比性質，平行班不再進行補充，新舊教材的完美銜接)

點評: 學生在合作學習交流過程中，通過相互表達與傾聽，不僅使自己的想法、思路更好地表現出來，而且還可以了解他人對問題的不同理解，使學生的理解逐步加深.

二、課后反思

1.教的轉變 讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，從而更好地理解數學知識的意義，發展應用數學知識的意識與能力，增強了學生學好數學的愿望和信心.教師創造出種種情境和條件，刺激學生產生學習知識的興趣和探索未知世界的愿望，可以被看作燃燒“學生求知的火把”，只有這個時候，教學的“喚醒”和“引出”功能才能得以體現.

2.學的轉變

有效的數學學習過程不能單獨地依賴模仿與記憶，我利用學生熟悉的江蘇省地圖通過比例尺引入線段的比，再過渡到成比例線段，再突破本課的重點和難點——比例的基本性質，通過數的比類比到線段的比，在學生動手操作、合作交流后，自主探索發現結論，鮮明地體現了知識發生、形成和發展過程.首先，要鼓勵學生自主探索與合作交流.或通過新教材的“做”、“想”、“議”，或設置探究性課題，或提供需要學生合作交流來解決問題的活動，使學生經歷多角度認識問題，多種形式研究問題，多種策略解決問題，發展創新意識和實踐能力，使學生在“做”中領悟，在“交流”中提高.其次，充分應用多媒體等現代化信息技術使課堂活動多樣化，趣味化，生動活潑，輕松愉快，同時加大課堂容量，提高學生感性認識，有利于了解知識形成過程，提高教學效益，本節課學生不是停留在學會課本知識的層面上，而是站在研究者的角度深入其境.第三，注意結合本校具體情況，分層次進行備課.

3.總體到分層到個體的轉變 從學生課堂上的反映來看，學生參與意識很強，回答問題踴躍，特別是數學成績偏下的學生發言也很積極，很想表現自己，希望得到教師和同學們的認可.如果平時經常多關心他們，多給他們提供成功的機會，調動他們的學習積極性，那么他們一定會愿意學數學的，并且也一定會學好數學的.從課后反饋情況看，發現有少數較差的學生，利用線段的性質去解決簡單的應用問題還有點困難.因此，教師的備課不僅要著眼于如何教，還要著眼于引導學生如何學，努力尋找教師與學生的契合點，從而真正把教和學結合起來，尋找到教學的多個黃金分割點，使學生充滿興趣，學好數學.

4.理論到實際的轉變 數學是人類生活的工具，對數學的認識不僅要從數學家關于數學本質的觀點去領悟，更要從數學活動的親身實踐中去體驗;數學發展的動力不僅要從歷史的角度來考量，更要從數學與人和現實生活的聯系中去尋找.充分說明了數學來自生活又運用于生活，數學與學生的生活經驗存在著密切的聯系，如何把數學教學生活化，把學生的生活經驗課堂化，化抽象的數學為有趣、生動、易于理解的事物，讓學生感受到數學其實是源于生活且無處不在的，數學的學習就是建立在日常的生活中，學習數學是為了更好地解決生活中存在的問題，更好地體現生活.

5.課堂氛圍的轉變 整節課以“流暢、開放、合作、‘隱’導”為基本特征，教師對學生的思維活動減少干預，教學過程呈現一種比較流暢的特征，整節課學生與學生、學生與教師之間以“對話”、“討論”為出發點，以互助、合作為手段，以解決問題為目的，讓學生在一個較為寬松的環境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發現的價值.

我們在教學中充分貫徹數學3個最顯著的特征:高度的抽象性;體系的嚴謹性;廣泛的應用性.總之，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學.

(責任編輯 黃春香)