函數極限中等價無窮小的應用探討

李 強

（ 銅仁學院 數學系，貴州 銅仁 554300 ）

函數極限中等價無窮小的應用探討

李 強

（ 銅仁學院 數學系，貴州 銅仁 554300 ）

利用等價無窮小量作代換是計算極限的一種常用、方便、有效的方法。圍繞無窮小之比、變上限積分的極限、冪指函數極限和Taylor公式，利用等價無窮小代換思想進行分析應用，以此達到極限求解中化繁為簡、化難為易的目的。

等價無窮小； 函數； 極限； 應用

極限的計算方法是多樣靈活的，也很有技巧性。其中等價無窮小代換是計算未定式極限的常用方法。但許多教材和工具書對其沒有作深入講解，只是一帶而過，致使很多學生對這一概念理解不夠，對其應用頗感茫然，更有人不明就里、胡亂套用。如果恰當選擇用來替換的無窮小，可以使計算簡化，但替換中要嚴格遵守無窮小替換法則，即下述的定理1。

該定理的證明見參考文獻[1]。

定理1說明，無窮小替換只能在商運算中使用。其實不然，下面介紹另外三種用法。

1.無窮小之比

無窮小代換在商式中使用時，必須滿足一定條件，否則就會出現錯誤。比如：究其原因，無窮小代換在商式中使用時，必須滿足一定條件，即定理2。

2.變上限積分的極限

常用的變上限積分的等價無窮小有：

上述等式可以用洛必達法則直接證明，證明中我們可以看到被積函數之間均是等價無窮小，由此可得將被積函數用等價無窮小代換后的變上限積分仍是等價無窮小，即是：

3.冪指函數極限和Taylor公式使用

綜上所述，我們看到等價無窮小的應用非常廣泛，但還是要具體情況具體分析，同時結合洛必達法則，選擇合理恰當的方法進行求解。

[1]同濟大學數學教研室.高等數學（上冊）（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]符世斌.冪指函數極限的一種簡捷求法[J].高等數學研究，1999，2（3）：20-21.

[3]楊春林，張傳芳.變上限積分的等價無窮小[J].高等數學研究，2004（11）.

[4]肖岸純.等價無窮小性質的理解、延拓及應用[J].數理醫藥學雜志，2007，20（5）.

Application of the Equivalent Infinitesimal in Functional Limit

LI Qiang
( Department of Mathematics, Tongren University, Tongren, Guizhou 554300, China )

Using the Equivalent Infinitesimal is a common, convenient and effective method to calculate limits. This paper centers on the ratio between polynomials and infinitesimal, the limit of variable upper limit integral and the limit of power-exponent function, as well as Taylor Formula, adapting three kinds of limits and analyzing their application by using the thought of equivalent infinitesimal replacement so as to simplify the process of calculating the limit.

equivalent infinitesimal; function; limit; application

（責任編輯 王婷婷）

O171

A

1673-9639 (2009) 06-0142-03

2009-09-24

李 強（1977-），男，貴州省銅仁市人，貴州銅仁學院數學系講師。研究方向：數學教育。方程。