區間直覺模糊集的包含度的多目標屬性決策方法

屈 克,湯 磊,黃建寶

(成都理工大學信息管理學院,四川成都 610059)

0 引 言

1986年,Atanassov[1,2]提出了直覺模糊集的概念,隨后又對其進一步的拓展,提出了區間直覺模糊集的概念,并將其運用到多目標屬性決策領域中. 2007年,許澤水[3,4]提出了區間直覺模糊的加權平均算子和加權幾何算子,為區間直覺模糊信息提供了一種新的決策方法,同時,又進一步地研究并提出了區間直覺模糊的有序加權平均算子和混合平均算子.2007年,胡輝等[5]提出了將TOPSIS方法運用于區間直覺模糊集的多目標屬性決策中的方法.本文主要是將文獻[6]中的Vague中的包含度拓展到區間直覺模糊集上,并給出了區間直覺模糊集的包含度公式,為區間直覺模糊的多目標屬性決策提供一種新的思路.

1 預備知識

定義1.1[2]設 X是一個非空集合,則稱,

A={x∈X|([t-A(x),t+A(x)],[f-A(x),f+A(x)])}為區間直覺模糊集.其中,[t-A(x),t+A(x)]、[f-A(x), f+A(x)]?[0,1],分別表示隸屬度和非隸屬度的上下界,x∈X,且 t+A(x)+f+A(x)≤1,?x∈X,特別的,t-A(x)=t+A(x),且f-A(x)=f+A(x),則區間直覺模糊集退化為直覺模糊集.

定義1.2[2]設A、B是X上的區間直覺模糊集(簡寫為 IVIFS(X)),則其運算法則為:

容易驗證,(IVIFS(X),?)為一偏序集.

2 區間直覺模糊集的包含度

定義2.1 若映射 I:IVIFS(X)×IVIFS(X)→[0,1]滿足條件:

則稱I(A,B)為A在B中的包含度,稱映射I為包含度函數.

定義2.2[7]若映射θ:[0,1]2→[0,1],滿足條件:①θ(1,0)=0;②θ(0,0)=θ(0,1)=θ(1,1).則稱θ是模糊正常蘊涵算子,簡稱正常蘊涵.

設區間直覺模糊集合的全體集為D.

定義2.3[3]設(D,≤)是一子序集,即D上的關系“≤”滿足自反性與傳遞性,且(D,“≤”)上有唯一的最小元素([0,0],[1,1])和最大元素([1,1], [0,0]),稱映射D×D→D為T模.若 T滿足:對任意的 a,b,c∈D,①交換律 T(a,b)=T(b,a);②結合律 T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));③單調律b≤c,T(a,b)≤T(a,c);④元律 T(a,([1,1][0,0])= a.

定理2.1 設X是一有限論域,θ為一正常蘊涵.

(1)?u,v∈[0,1],且 u≤v?θ(u,v)=1;

(2)θ(u,v)為關于 u的非增函數,θ(u,v)為關于v的非減函數.

則以下 I1,I2均為 IVIFS(X)集的包含度函數.

其中,T:[0,1]2→[0,1]為一 T模.且(1)式中的λ1+λ2+λ3+λ4=1,(2)式中的λ1+λ2=1,λ3+λ4=1.

證明 下面僅證 I1,類似可證 I2

由于θ(u,·)為關于 u遞減的,θ(·,v)為關于v遞增的,得,

同理即可證:

即,

3 基于區間直覺模糊集的模糊多目標決策

設,A為決策方案集,C為目標集,

假設決策方案Ai在目標集C下的特征用下列區間直覺模糊集來表示:

其中,[t-ij,t+ij]為決策方案Ai滿意屬性Cj的程度區間,[f-ij,f+ij]為不滿意屬性Cj的程度區間,若決策者要在決策方案集A中選擇一個方案使其同時滿足屬性 Cj,Ck,…Cp或滿足Cs,即,Cjand Ck…Cpor Cs.

對該問題現利用區間直覺模糊集的包含度給出目標選擇方法.方法的基本思想是先構造理想目標,然后比較理想目標在目標Ai中的包含度,即最大限度地包含理想目標就是最佳目標.

(1)滿足約束條件 Cj,Ck…Cp的理想目標,

定義3.1 理想目標在目標方案Ai中的包含度D(Ai)定義為,

其中,

對于上述模糊多目標決策問題的具體算法步驟如下:

(1)分別計算出約束條件 Cj,Ck,…,Cp,或 Cs的理想目標G1與 G2;

(2)計算出 Gj在Aij中的包含度I(Gj,Aij);

(3)計算出理想目標在目標方案Ai中的包含度D(Ai),包含度越大則越好.

例 設決策目標集 A={A1,A2,A3,A4,A5},約束條件集C={C1,C2,C3,C4},決策目標Ai(i= 1,2,3,4,5)在約束條件C下的特征由下列區間直覺模糊集表示(見表1).

表1 決策矩陣

若決策者要在目標集中選擇一個同時滿足條件 C1,C2,C3或者 C4的最佳方案,其過程如下:

構造滿足條件 C1,C2,C3以及 C4的理想目標,

包含度函數 I由定理2.1,取λ1=λ2=λ3= λ4,即,

其中,正常蘊涵θ取Lukasiewica蘊涵,aθb=min{1-a+b,1},?a,b∈[0,1],求出 Gj在Aij中的包含度I(Gj,Aij)(見表2、表3).

表2 G1在Ai1中的包含度

表3 G2在Ai2中的包含度

由此可得出理想目標在目標方案Ai中的包含度D(Ai)(見表4).

由表4可得出:A4≥A3≥A5≥A2≥A1.

表4 D(Ai)的值

故,A4為最佳目標.

4 結 語

本文將包含度拓展到區間直覺模糊集中,為區間直覺模糊集的多目標屬性決策提供了一種新的思路和方法.該方法簡潔明了、結構清晰,便于在實際中應用與推廣.

[1]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96.

[2]Atanassov K,Gargov G.Interval-valued Intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3):343-349.

[3]許澤水.區間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應用[J].決策與控制,2007,22(2):215-219.

[4]許澤水,陳 劍.一種基于區間直覺判斷矩陣的群決策方法[J].系統工程理論與實踐,2007,27(4):126-133.

[5]胡 輝,許澤水.基于TOPSIS的區間直覺模糊多屬性決策法[J].模糊數學與系統,2007,21(5):108-111.

[6]劉華文.基于Vague集包含度的模糊多屬性決策[J].中國管理科學,2004,12(4):89-91.

[7]吳望名.模糊推理的原理與方法[M].貴陽:貴州科技出版社,1994.