混沌與拓撲半共軛

王立冬,楊玉娥

（1.大連民族學院理學院,遼寧大連 116605;2.遼寧師范大學數學學院,遼寧大連 116029）

混沌與拓撲半共軛

王立冬1,楊玉娥2

（1.大連民族學院理學院,遼寧大連 116605;2.遼寧師范大學數學學院,遼寧大連 116029）

（X,f）與（Y,g）為拓撲動力系統,f與g是拓撲半共軛的,對基于拓撲半共軛特殊性質擴充的混沌性進行了探討,作為應用,給出了區間映射拓撲熵大于0與幾乎周期點集中有不可數混沌集是等價的一個新的證明。

拓撲半共軛;幾乎周期點;混沌

自Li-Yorke用嚴格的數學定義混沌之后,人們從不同角度對混沌進行深入研究,1994年Schwerizer與Smital提出了分布混沌概念,說明了區間映射的分布混沌與正拓撲熵等價,因此討論正拓撲熵與Li-Yorke混沌關系是十分有意義的。熊金城提出熊混沌[1],并討論了熊混沌與拓撲弱混合的關系。而周作領[2]提出了測度中心的概念,并指出測度中心的極小集是它本身,說明在極小集上討論問題具有重要意義。本文對拓撲半共軛性質的擴充的混沌性進行了討論,其主要結果如下:

定理1令（X,d1）,（Y,d2）為緊度量空間, （X,f）與（Y,g）為拓撲動力系統,Φ:X→Y為f與g的拓撲半共軛,如果g有極小混沌集Γ且存在y0∈Γ滿足#Φ-1（y0）=1,則（X,f）是混沌的。

定理2設（X,f）為拓撲動力系統,Φ:X→∑2為f與σ的拓撲半共軛,如果存在y0∈∑2滿足# Φ-1（y0）=1則f有不可數混沌集Γ?A（f）。

1 基本定義與引理

空間（∑,ρ）是緊的度量空間,稱其為兩個符號的單邊符號空間。

定義σ:∑→∑為對?x=x0x1…∈∑,σ（x0x1…）=x1x2…,則σ是連續的,稱為∑上的移位映射,因此（∑,σ）為緊系統。

定義1稱x是幾乎周期的,如果對任意的ε＞0,存在整數N＞0,使得對任何q≥0,存在整數r,q＜r≤q+N滿足d（fr（x）,x）＜ε。f的全體幾乎周期點的集合記作A（f）。

定義2設（X,f）,（Y,g）都是動力系統,f,g都是連續映射,如果存在滿射h:X→Y使得對任何x∈X,都有h（f（x））=g（h（x））,則稱f與g拓撲半共軛。

定義3設（X,f）為緊致系統,f:X→X是連續映射,Y?X,{pi}是給定的正整數遞增序列,如果對任意連續映射g:Y→X,存在序列{qi}?{pi}使得則稱Y是f相對于序列{pi}而言的一個熊混沌集,稱f為在Y上關于序列{pi}熊混沌的。

定義4設（X,d）是緊致度量空間,f:X→X是連續映射,如果存在集合D?X,使得對?x,y∈D,x≠y有

則稱D是映射f的一個Li-Yorke混沌集;如果存在映射f的一個不可數的Li-Yorke混沌集,則稱映射f是Li-Yorke混沌的,簡稱混沌的。

定義5（X,f）稱為弱混合的,如果f×f:X×X→X×X是傳遞的。

定義6對每個ε＞0,x∈X,都存在n＞0滿足fn（V（X,ε））∩V（x,ε）≠φ,則稱x為X中非游蕩點。所有非游蕩點構成的集合記為Ω（f）。

引理1[3]設f:X→X和g:Y→Y是連續的,其中X和Y是緊度量空間,如果存在一個連續的滿射h:X→Y使得g°h=h°f,則

引理2[4]（∑,ρ）為兩個符號的單邊符號空間,σ為其上的移位映射,存在一個極小集τ?∑滿足σ|τ是弱混合的。

引理3[5]設f:X→X是一連續映射,其中X是至少包含兩個點的局部可分的緊致度量空間,則f是拓撲弱混合的當且僅當存在X的一個c-稠密Fσ型熊混沌子集。

引理4[6]設f:I→I是連續映射,則f在Ω（f）上是混沌的當且僅當ent（f）＞0。

引理5[7]設f:I→I是連續映射且ent（f）＞0,則存在閉集X?I,m＞0滿足fm（X）=X。且fm|X至多2對1的拓撲半共軛到單邊移位映射σ,而且在∑中只有可數多個點有兩個原像,如果有一個原像是周期的,則其他的也是周期的。

2 定理證明

綜上,f有不可數混沌集且其中每個點都是幾乎周期。

3 定理應用

作為兩個定理的應用,證明下面條件是等價的。

令f:I→I連續映射,1）ent（f）＞0;2）A（f）中有不可數混沌集。

證明1）?2）由引理5,存在閉集X?I,m＞0滿足fm（X）=X。fm|X至多2對1的拓撲半共軛到單邊移位映射σ,且在∑中只有可數多個點有兩個原像。所以存在一個連續滿射h:X→∑使得h°fm=σ°h,存在y0∈∑使得#Φ-1（y0）=1。由定理2可知,有fm的一不可數混沌集Γ?A （fm）,進而可知f有不可數混沌集Γ?A（f）。

2）?1）因為A（f）?Ω（f）,所以Ω（f）上存在不可數混沌集,通過引理4可證ent（f）＞0。

[1]XI ONG Jingcheng,YANG Zhongguo.Chaos caused by a topologically mixing map,Indynamical Systems and Related Topics[M].Singapore:World Scientific Press, 1992.

[2]周作領.弱幾乎周期點與測度中心[J].中國科學:A輯,1992,22（6）:572-581.

[3]周作領,何偉弘.軌道結構的層次與拓撲半共軛[J].中國科學:A輯,1995,25（5）:457-464.

[4]WANGLidong,CHEN Zhizhi,LI AO Gongfu.The complexity of amini mal sub-shifton sy mbolic spaces[J].Mathematical Analysis andApplications,2006,317:136-145.

[5]楊潤生.按序列分布混沌和拓撲混合[J].數學學報, 2002,45（4）:753-758.

[6]周作領.紊動與拓撲熵[J].數學學報,1988,31（1）: 83-87.

[7]L I Shihai,W-Chaos and topological entropy[J].Transactions of the American Mathematical Society,1993, 339:243-249.

Chaos and Topological Sem i-conjugacy
WANG L i-dong1,YANG Yu-e2

（1.College of Science,Dalian NationalitiesUniversity,Dalian Liaoning 116605,China; 2.Department ofMathematics,LiaoningNormalUniversity,Dalian Liaoning 116029,China）

Let（X,f）,（Y,g）be topological dynamical systems,wherefandgare topologically semi-conjugate.This paper presents chaoticity as an extension that is based on special properties of topological semi-conjugacy.As an application,it gives a new proof for the fact that the topological entropy of intervalmaps being greater than 0 is equivalent to a set of almost periodic points containing an uncountable chaotic set.

topological semi-conjugacy;almost periodic points;chaos.

O189

A

1009-315X（2010）01-0024-03

2009-09-21

國家民委自然科學基金資助項目（07DL05）;遼寧省教育廳基金資助項目（2009A141）。

王立冬（1955-）,男,吉林德惠人,教授,博士,學校優秀教學帶頭人,碩士生導師,主要從事拓撲動力系統研究。

（責任編輯 鄒永紅）