一類正項級數收斂判斷的推廣

徐國進,徐國安

(1.孝感學院數學與統計學院,湖北孝感432000;2.孝感市孝南區朋興中學,湖北孝感432000)

一類正項級數收斂判斷的推廣

徐國進1,徐國安2

(1.孝感學院數學與統計學院,湖北孝感432000;2.孝感市孝南區朋興中學,湖北孝感432000)

主要利用正項級數的收斂原則以及Cauchy不等式、Holder不等式得出了判斷一類正項級數收斂的方法,并對該方法進行了推廣。

正項級數;收斂;發散

1 引言及引理

正項級數的收斂問題是數學分析課程中的一個重要內容,正項級數的收斂判別方法也多種多樣,本文旨在探討一類正項級數

之間的收斂關系,從中得出一些新的判別方法,對此類正項級數的收斂判斷作一個補充,并給出其應用案例。

為便于討論和證明,先列出本文涉及到的部分引理。

引理1[1,4](部分和有界,正項級數收斂) 正項級數∑un收斂的充要條件是:部分和數列{sn}有界,即存在某正數 M,對一切正整數 n有sn＜M。

引理2[1,4](比較原則) 設 ∑un和 ∑vn是兩個正項級數,如果存在某正數 N,對一切n＞N都有 un≤vn,則1)若級數 ∑vn收斂,則級數∑un也收斂;2)若級數 ∑un發散,則級數 ∑vn也發散。

引理3[3](Cauchy不等式) 設 ai,bi為任意實數(i=1,2,…,n),則

其中等號當且僅當ai與bi成比例時成立。

2 主要結論及其證明

定理1若0＜a1≤a2≤…an≤an+1≤…,則收斂的充要條件為如下級數收斂。

證明1)充分性。

n≥2時,由

2)必要性。

所以,對一切正整數 N,存在某正整數 M,有

(上述證明中,[x]為 x的取整)

定理2若正項級數收斂,那么正項級數收斂。

證明因為收斂,得

所以,任給正數ε,總存在正整數 N,使得當 n＞N時,有即 an＞,將數列{an}按遞增排序,記它為{bn},此時存在正整數 N0,當n＞ N0時,有 bn≤an,從而因重新排序不改變級數的收斂性,故收斂,再由定理1,收斂,又根據引理2比較原則,正項級數收斂,證畢。

定理3設為收斂正項級數,則存在常數k使

證明由引理3Cauchy不等式:

定理4若正項級數收斂,則正項級數收斂。

證明設sn=a1+a2+…+an,s0=0,

問題:把定理4進一步推廣一下,還能不能得到類似的結果呢?

定理5若正項級數是收斂的(其中p為常數,且 p＞1),則正項級數收斂。

證明設sn=a1+a2+…+an,s0=0,則

[1] 華東師范大學數學系.數學分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

[2] 任親謀.數學分析習題解析[M].西安:陜西師范大學出版社,2004.

[3] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].2版.北京:高等教育出版社,2006.

[4] 陳傳璋,金福臨,朱學炎.數學分析[M].2版.北京:高等教育出版社,1983.

[5] 吉米多維奇.數學分析習題集[M].北京:人民教育出版社,1979.

The Extension of Convergence Tests for a Class of Series of Positive Terms

Xu Guojin1,Xu Guoan2
(1.School of Mathematics and Statistics,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China;2.Pengxing Middle School of Xiaonan District,Xiaogan,Hubei 432000,China)

By use of convergence principles,Cauchy inequality and Holder inequality,several methods of finding the convergence of a class of series of positive terms are given in this article.Also,these methods are extended.

series of positive term s;convergence;divergence

O173.1

A

1671-2544(2010)03-0023-03

2010-03-12

湖北省教育科學“十一五”規劃項目(2007B086)

徐國進(1964— ),男,湖北孝感人,孝感學院數學與統計學院講師。徐國安(1961— ),男,湖北孝感人,孝感市孝南區朋興中學教師。

(責任編輯:周 游)