M-P廣義逆矩陣的一些性質

付宏偉

(孝感學院成人教育學院,湖北孝感432000)

M-P廣義逆矩陣的一些性質

付宏偉

(孝感學院成人教育學院,湖北孝感432000)

給出了M-P廣義逆矩陣的一些重要性質。

M-P廣義逆矩陣;共軛轉置陣;滿秩分解

廣義逆矩陣是20世紀20年代初由Moore提出的,但在當時并未引起人們的注意。直到20世紀50年代中期,又由 Penrose提出,情況就發生了根本的變化,廣義逆矩陣成為了矩陣理論中的一個研究熱點[1-3],這主要源于它的廣泛應用。目前,它已在概率統計、數學規劃、數值分析、控制論、博奕論和網絡理論等領域中得到了不同程度的應用。

1 預備知識

對任意一個m×n矩陣A,Penrose(1955)用下面的4個方程定義了A的廣義逆矩陣X:

其中A＊表示A的共軛轉置陣。用Penrose條件的全部或一部分可以定義各種類型的廣義逆矩陣,但本文研究的是滿足以上4個條件的廣義逆矩陣 X,并把這樣的廣義逆矩陣稱為Moo re-Penrose廣義逆矩陣,簡稱M-P廣義逆,記為A+。由以上定義可知,對于一個可逆的方陣 A,其逆矩陣A-1顯然滿足以上4個矩陣方程,由此可知,M-P廣義逆是通常的逆矩陣的概念對于不可逆矩陣的推廣。

符號說明:設 A ∈Cm×n,則 A+∈Cm×n,

1)η(A)表示矩陣A的左右對折陣,τ(A)表示矩陣A的上下對折陣;

2)γx(A)表示矩陣 A上移 x行之后的矩陣,λx(A)表示矩陣 A左移x列之后的矩陣。于是,γ-x(A)就表示矩陣 A下移 x行之后的矩陣,λ-x(A)就表示矩陣A右移x列之后的矩陣,而且,γ-x(A)=γm-x(A),λ-x(A)=λn-x(A);

3)τi,j(A)表示矩陣 A的第i行與第j行交換之后的矩陣,ηi,j(A)表示矩陣A的第i列與第j列交換之后的矩陣,i＜j。

2 主要結果

性質1任何秩為 r的m×n矩陣A,它的M-P廣義逆矩陣存在且唯一。

證明若rank(A)=0,則A為m ×n零矩陣,顯然,n×m零矩陣滿足M-P廣義逆矩陣定義中的條件(1)～(4)。

若rank(A)＞0,對A作滿秩分解:A=GH,其中G與 H分別是數域F上的秩為r的m×r和r×n矩陣,易知 G＊G與 H＊H均是r階非奇異方陣,且(G＊G)-1G＊與 H＊(H H＊)-1分別是G與 H的 M-P 廣 義 逆, 令 B = H＊(HH＊)-1(G＊G)-1G＊,可驗證,B滿足M-P廣義逆矩陣定義中的條件(1)～ (4)。故B是A的M-P廣義逆。

再證唯一性:設 C也是A的M-P廣義逆,則

性質2對任意秩為 r的矩陣A,都有以下結論:

1)若 A可逆,則 A+=A-1;

2)(-A)+=-A+;

3)(A+)+=A;

4)(A＊)+=(A+)＊,(A′)+=(A+)′;

5)A=AA＊(A+)＊=(A+)＊A＊A;

6)A+=A+(A+)＊A＊=A＊(A+)＊A+;

7)(A＊A)+=A+(A+)＊;

8)A+=(A＊A)+A＊=A＊(AA＊)+

以上結論的證明由M-P廣義逆矩陣的定義很容易驗證得到,證明略。

性質3設矩陣A的M-P廣義逆為A+,則η+(A)=τ(A+),τ+(A)= η(A+),并且,Aτ+(A)=η(A)A+,A+τ(A)=η(A+)A。

證明設 A ∈ Cm×n,則 A+∈ Cn×m,令 P=,則η(A)=AP,τ(A)=QA=,τ(A+)=PA+,η(A+)=A+Q, 且PP=In,P＊=P,QQ=Im,Q＊=Q。由于 AA+A=A,A+AA+=A+,(AA+)＊=AA+,(A+A)＊=A+A,則

故η+(A)=τ(A+)。

故τ+(A)η(A+)。

30直接驗證易知 Aτ(A+)=η(A)A+,A+τ(A)=η(A+)A顯然成立。

性質4設矩陣A∈Cm×n,其M-P廣義逆為A+∈Cn×m,則(A)=λx(A+),λ(A)=γy(A+),其中1≤|x|≤m-1,1≤|y|≤n-1,x,y∈Z。

證明令則 γx(A) = PA,λx(A+)=A+Q,λy(A)=AR,γy(A+)=SA+,且QP=Im,Q＊=P,P＊=Q,RS=In,R＊=S,S＊+R 因此,有

性質5設矩陣A∈Cm×n,其M-P廣義逆為A+∈Cn×m,則(A) =ηi,j(A+),η(A) =τi,j(A+),i＜j。

則τi,j(A)=PA,ηi,j(A+)=A+P,ηi,j(A)=AQ,τi,j(A+)=QA+且 PP=Im,OO=In,P＊=P,Q＊=Q。因此,有

該定理實際上是性質3和性質4的一種推廣形式,因為任何一個矩陣的上下、左右對稱陣和上下、左右平移陣均可由該矩陣經過若干次行與行交換、列與列交換而得到。性質5可以用一句簡單的話概括為:已知矩陣的M-P廣義逆為A+,則矩陣A的行與行、列與列作怎樣的對換,其對換之后的矩陣的M-P廣義逆就在A+的基礎上作相應的列與列、行與行對換而得到。

性質6設則

證明由于

推論1設 m×n矩陣A的元素全部由0和k組成,且每行、每列最多只含有一個k,k≠0,則把矩陣A的轉置陣A′中的所有元素k全部改為之后的矩陣即為矩陣的M-P廣義逆矩陣。

證明由于這樣的m×n矩陣A總可以通過若干次行與行交換、列與列交換變成形如的矩陣,因此,再由性質5和性質6即知命題成立。

[1] 彭曉珍.關于廣義逆矩陣的原矩陣的唯一性[J].湖北汽車工業學院學報,2000(2):74-77.

[2] 褚庭有.廣義逆的兩個性質[J].齊齊哈爾大學學報,1997(1):54-56.

[3] 區詩德.Moore-Penrose廣義逆矩陣的一些性質[J].廣西師范學院學報:自然科學版,2001(2):19-22.

Some Properties of M-P Generalized Inverse Matrix

Fu Hongwei
(School of Adult Education,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China)

In this paper,we give some important properties of M-P generalized inverse matrix.

M-P generalized inverse matrix;associate matrix;full rank decomposition

O151.21

A

1671-2544(2010)增-0011-03

2010-03-31

付宏偉(1974— ),男,湖北孝昌人,孝感學院成人教育學院教師。

(責任編輯:鄒禮平)