“牛頓水桶”液面方程的幾種巧解

孫伏優(yōu)

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校 江蘇 南京 211102)

牛頓在1689年構(gòu)思了一個(gè)理想實(shí)驗(yàn)，即著名的“水桶實(shí)驗(yàn)”．在“水桶實(shí)驗(yàn)”中，一個(gè)注水的水桶起初保持靜止．當(dāng)它開(kāi)始發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，水桶中的水最初仍保持靜止，但隨后也會(huì)隨著水桶一起轉(zhuǎn)動(dòng)，于是可以看到水漸漸地脫離其中心而沿桶壁上升形成凹狀，直到最后和水桶的轉(zhuǎn)速一致，水面相對(duì)靜止．辯證力學(xué)的理論預(yù)言是：在地球的引力場(chǎng)內(nèi)，旋轉(zhuǎn)水桶中水面形狀由平變凹，其形狀是拋物線旋轉(zhuǎn)曲面．筆者嘗試從幾種不同角度證明最后穩(wěn)定時(shí)液面的形狀是拋物線旋轉(zhuǎn)曲面．

建模：牛頓水桶實(shí)驗(yàn)可視為切線力等于零的平衡運(yùn)動(dòng)，所以，牛頓水桶可以當(dāng)做剛體．現(xiàn)任取曲面的一個(gè)截面，試證明其為拋物線．

圖1

方法一：從曲線上取一點(diǎn)水P，受法向力N和重力mg，P點(diǎn)的切線與x軸夾角為θ，不難證明N與mg的夾角為(π-θ)，由于水滴P做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以合力指向圓心提供水滴P做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，如圖1所示.由平行四邊形法則可得N與mg的合力F合．

圖2

方法二：從液面上任取一點(diǎn)(x,y)，構(gòu)建如圖2所示的水平小液柱x和豎直小液柱y，那么水平小液柱x做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于豎直小液柱y的壓力．設(shè)液體密度為ρ，小液柱截面為ΔS，得

同理可得液面方程

說(shuō)明：不難證明均勻棒繞其一端做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將其等效為質(zhì)量集中在中點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．

圖3

方法三：從曲線上取一點(diǎn)水P，坐標(biāo)為(x,y)，其受重力mg、法向力N、水平向外慣性力F1=mω2x、豎直向上慣性力F2=mg，如圖3所示．則x方向合力為零，y方向合力沿y正方向大小為mg，那么水滴的運(yùn)動(dòng)可視為平拋運(yùn)動(dòng)．則

x=v0t

(1)

(2)

由(1)、(2)式得

在P處的速度方向?yàn)樵擖c(diǎn)切線方向，而F1與重力mg的合力與N等大反向，則

同理可得液面方程