利用LC濾波器實現延遲混沌及控制的電路實驗

陳菊芳,田小建,單江東

(1.吉林大學電子科學與工程學院,吉林長春130012;2.東北師范大學物理學院,吉林長春130024)

1 引 言

近年來,隨著混沌現象及理論被引入到大學物理教學中,有的院校增設了非線性電路實驗課[1-5].延遲混沌系統因其具有無窮維數且能產生混沌和超混沌信號而受到廣泛關注.有關延遲混沌系統的理論分析和數值計算方面的研究較多[6-9],但實驗方面的報道很少.由于混沌信號具有偽隨機噪聲的特性,如何對混沌信號進行有效延遲是設計延遲混沌電路的難點和關鍵.

本文采用基本的電子元器件來實現延遲混沌電路.利用L C低通濾波器在通帶內具有良好群時延特性來實現對混沌信號的有效延時,并在Logistic延遲混沌系統中加以實現,同時利用簡單的二極管限幅電路實現混沌控制.該延遲混沌及控制電路使用的元件方便易得,成本低,演示現象豐富,宜于引入實驗教學中.

2 混沌電路設計

典型的Logistic延遲方程為[10]

當a=2.6,r=10.4,τ=5時,該系統是混沌的.

實現系統(1)的電路見圖1.設延時時間為τd,運放A1構成積分器,其輸出電壓為u(t),A3構成反向加法器,A2構成同相放大器,放大由延時電路輸出的延時信號,以保證A2的輸出電壓滿足u2(t)=u(t-τd)的要求.

電路的狀態方程為作如下標量變換:

圖1 Logistic延遲混沌電路

則方程(2)變為方程(1).

延時電路如圖2所示.由普通的電感和電容構成,取標稱的電感和電容,L=4.7 mH,2C=0.1μF,Ri=30Ω,Ro=300Ω,電感的直流損耗電阻RL=19.8Ω.為減少電路的損耗,采用電感元件相對較少的π型濾波器,取級數N=28.由于這種濾波器在通帶內具有良好的群時延特性,且在通帶內幅頻特性平坦,只要混沌信號的頻譜在濾波器的通頻帶內,即可實現良好的延時效果.由實驗測得其截止頻率fc=6.12 kHz,通帶內傳遞函數值為|H(ω)|=-9.548 dB,延時時間τd=0.63 ms.通過對系統(1)的動力學特性分析可知,混沌信號的頻譜基本在濾波器的截止頻率內.

圖2 延時電路

為滿足系統(1)對各參量的要求,現選取R0=12.6 kΩ,C0=0.01μF,R1=4.85 kΩ,R2=2.13 kΩ,R3=1 kΩ,R4=10 kΩ,R5=0.96 kΩ,R6=0.48 kΩ.由示波器觀測到的實驗結果如圖3所示.其中圖3(a)為u(t)與u2(t)的時域圖,u2(t)與u(t)的波形形狀和大小基本相同,只是向后延遲了0.63 ms,即滿足u2(t)=u(t-τd).圖3(b)為u(t)與u(t-τd)的相圖,顯然是混沌吸引子,表明所設計的延時電路對混沌信號取得了很好的延時效果.

實驗中,改變電阻R0,電容C0或延時電路中的電感和電容,都可以改變系統(1)中的延時時間τ,本文采用改變電阻R0來獲得倍周期信號輸出.圖4(a)～(c)所示的是當R0取值分別為80 kΩ,57 kΩ,50.5 kΩ(同時R1應調整以保證a=2.6),即相當于系統(1)中的τ分別為0.79,1.10,1.25時,由電路觀測到的1周期(1P)、3周期(3P)、6周期(6P)相圖.

圖3 電路的混沌時域波形和吸引子的實驗結果

圖4 電路的倍周期分岔的實驗結果

3 實現控制的電路

利用二極管的單向導電性來對延時信號進行限幅,最終實現穩定住失穩周期軌道的目的.控制量的具體表達式為

將u′(t-τd)代替方程(2)的u(t-τd),即可實現混沌的控制.

實現控制的電路如圖5所示,將圖1電路中的A和B兩點斷開,分別與圖5電路中的對應點相連接,即可構成控制電路.顯然,Um=UD+U0為閾值電壓,UD=0.6 V為二極管的正向導通電壓,通過調節電源電壓U0可改變Um的大小,即可觀測到電路的運動狀態隨Um的改變出現的各種變化,電阻R7=2 kΩ.

圖5 控制電路

圖6所示為當U0=3.47,3.54,3.59 V,即相當Um=4.07,4.14,4.19 V時被控電路的u(tτd)與u(t)的相圖,電路分別呈現出1周期(1P)、4周期(4P)、8周期(8P)態,繼續增大U0值,還觀測到了6周期甚至更高周期的實驗結果.

圖6 電路被控制到周期的實驗結果

4 結束語

以一階Logistic延遲系統為例介紹了延遲混沌電路的設計方法,將L C低通濾波器用于混沌電路中來實現對混沌信號的延遲,克服了電路中延時電路難以實現的缺點,同時利用二極管的限幅作用來實現混沌控制,得到了多個穩定的周期軌道,說明限幅法不僅適用于控制一般的混沌系統,也適用于控制延遲混沌系統.該電路結構簡單,實驗現象豐富,便于在教學中演示及學生自行制作.

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