基于多尺度MSR法的邊坡體系可靠度分析

謝桂華，張家生，劉榮桂，李繼祥

(1. 江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江，212013；2. 中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長沙，410075；3. 武漢工業(yè)學(xué)院 土木系，湖北 武漢，430023)

基于多尺度MSR法的邊坡體系可靠度分析

謝桂華1,2，張家生2，劉榮桂1，李繼祥3

(1. 江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江，212013；2. 中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長沙，410075；3. 武漢工業(yè)學(xué)院 土木系，湖北 武漢，430023)

為解決常規(guī)的體系可靠度方法難以計(jì)算具有眾多失效模式的復(fù)雜邊坡穩(wěn)定可靠度的問題，研究基于矩陣的體系可靠度法(MSR法)分析邊坡體系的方法；結(jié)合多尺度法，把邊坡體系拆分為多個并行子體系，每個并行子體系作為體系的一個“超構(gòu)件”，以達(dá)到減少優(yōu)化變量個數(shù)、降低系數(shù)矩陣規(guī)模的目的。對礦山邊坡體系進(jìn)行實(shí)例分析。研究結(jié)果表明：MSR法能獲得比常規(guī)界限法更加精確的計(jì)算結(jié)果；將MSR法與多尺度法相結(jié)合，可解決失效模式較多的復(fù)雜邊坡體系可靠度的計(jì)算問題，擴(kuò)大MSR法的應(yīng)用體系范圍；MSR法使邊坡的體系失效概率估計(jì)區(qū)間稍增大，但計(jì)算量呈指數(shù)級減少，且可利用現(xiàn)有優(yōu)化軟件進(jìn)行矩陣運(yùn)算和優(yōu)化計(jì)算，便于實(shí)現(xiàn)邊坡穩(wěn)定性的評估工作。

復(fù)雜邊坡；體系可靠度；MSR法；多尺度

近年來，決策、風(fēng)險(xiǎn)評估和風(fēng)險(xiǎn)管理成為巖土工作者新的研究熱點(diǎn)[1?2]，其中，邊坡失效風(fēng)險(xiǎn)的量化是災(zāi)害評估的前提和重要內(nèi)容。目前，邊坡穩(wěn)定性問題中存在顯著的不確定性這一觀點(diǎn)已經(jīng)成為眾多研究者的共識，關(guān)于邊坡可靠性問題的研究亦取得了豐碩的成果[3?6]。然而，上述成果主要是針對單一失效模式的邊坡可靠性問題。事實(shí)上，邊坡可能發(fā)生不同模式的破壞，每一模式又可能具有多個甚至無限個潛在滑面，故其可靠性問題更適合采用體系可靠度方法來分析。另一方面，由于體系可靠度計(jì)算及邊坡穩(wěn)定性問題本身的復(fù)雜性，迄今，關(guān)于邊坡體系可靠度的研究成果仍很少[7?11]。上述研究成果中，除文獻(xiàn)[9]外，計(jì)算方法均采用Ditlevsen的窄界限公式。窄界限公式只能考慮2個失效模式的相關(guān)性，應(yīng)用時要求所有體系構(gòu)件的單一失效概率和兩兩聯(lián)合失效概率信息必須全部已知，且僅限于失效模式較少、失效概率不大的串聯(lián)體系，計(jì)算過程較復(fù)雜，尤其是在復(fù)雜邊坡中很難應(yīng)用。文獻(xiàn)[9]采用矩陣計(jì)算，通過線性規(guī)劃(LP法)分析巖質(zhì)邊坡的體系失效概率，克服了以上缺點(diǎn)，但由于該法的優(yōu)化變量隨著體系構(gòu)件數(shù)增加而呈指數(shù)級增長，且在應(yīng)用中需要借助計(jì)算軟件完成優(yōu)化過程，故所分析體系的構(gòu)件數(shù)將受到應(yīng)用軟件對計(jì)算量的要求和對計(jì)算機(jī)內(nèi)存的限制；同時，當(dāng)構(gòu)件較多時，該法中構(gòu)件向量很難識別。鑒于以上原因，該法仍難以應(yīng)用于構(gòu)件較多的復(fù)雜體系中。本文作者針對上述方法的不足，進(jìn)一步研究采用基于矩陣的體系可靠度計(jì)算方法，通過計(jì)算機(jī)自動識別體系的構(gòu)件向量，探討將多尺度法與 MSR法結(jié)合運(yùn)用，以解決復(fù)雜邊坡體系可靠度計(jì)算中出現(xiàn)的問題。

1 基于矩陣的體系可靠度(MSR)法

1.1 MSR法的基本原理[12]

式中：c為MECE事件概率的系數(shù)向量，其中的元素表示體系事件發(fā)生時，對應(yīng)MECE事件的狀態(tài)；p為MECE事件的概率向量，可用下式計(jì)算：

其中：“.*”為MATLAB中矩陣元素之間進(jìn)行乘操作的操作符。采用式(3)和(4)可以方便地獲得任意體系事件向量Esys。

根據(jù)以上原理，在邊坡體系可靠度問題中，結(jié)構(gòu)體系和結(jié)構(gòu)構(gòu)件包含2個事件：失效事件和可靠事件，即si＝2(i＝1, 2, …,n)。故由n個構(gòu)件組成體系的樣本空間可分為2n個MECE事件，從而可應(yīng)用式(1)計(jì)算體系失效概率。

1.2 識別構(gòu)件事件向量

當(dāng)構(gòu)件不多時，可根據(jù)圖例直接識別事件向量c[12]，但對于復(fù)雜體系，如構(gòu)件數(shù)目n＞5的體系，難以直接識別。為此，本文采用如下遞推公式，通過計(jì)算機(jī)程序構(gòu)造體系構(gòu)件的事件向量c：

1.3 構(gòu)件統(tǒng)計(jì)相關(guān)的體系失效概率計(jì)算

當(dāng)構(gòu)件統(tǒng)計(jì)相關(guān)時，不能采用式(1)計(jì)算體系的失效概率。Song等[13]提出采用條件概率來確定P。然而，由于邊坡各失效模式之間的相關(guān)性與很多因素有關(guān)，條件概率很難確定，故該法并不適合邊坡體系的可靠性計(jì)算。為此，根據(jù)各失效模式的相關(guān)信息，采用線性規(guī)劃(LP法)[14]獲得體系事件概率的優(yōu)化邊界。

線性規(guī)劃即對線性函數(shù)在規(guī)定約束條件下求最小(最大)值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

通過 MSR法得到的體系概率區(qū)間是在任意給定信息下能獲得的最窄區(qū)間，這已被 Bertsimas等[15]所證明。

2 多尺度方法

應(yīng)用 MSR法時，向量和矩陣隨著構(gòu)件數(shù)的增加和約束條件強(qiáng)化呈指數(shù)級增長，因此，對于具有很多失效模式的邊坡體系而言，其分析過程對計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量和軟件運(yùn)算能力的要求也會相應(yīng)提高，從而限制了 MSR法的應(yīng)用。為此，本文結(jié)合多尺度法[16]，研究MSR在復(fù)雜邊坡中的應(yīng)用方法。

多尺度法將大型體系拆分為多個小型問題，先并行計(jì)算小型子體系的概率，再在此基礎(chǔ)上合并為綜合體系來求得整個體系的概率。主要方法如下：選擇體系中的某些構(gòu)件作為一個子體系，稱之為“超構(gòu)件”，以[i](i=1，2，3，…)表示，其中i為“超構(gòu)件”的編號。“超構(gòu)件”在整個體系中被看做一個體系構(gòu)件。顯然，如果體系中有n個構(gòu)件，1個“超構(gòu)件”[1]，且“超構(gòu)件”中含有k個體系構(gòu)件，則該體系的等效構(gòu)件數(shù)相應(yīng)為n?k+1個，即體系構(gòu)件數(shù)目減少了k?1，從而應(yīng)用MSR法計(jì)算體系時，矩陣的行、列數(shù)從2n變?yōu)?2n?k+1，減少了 2k?1。同樣地，引入“超構(gòu)件”[2]，[3]，…，則整個體系的計(jì)算規(guī)模可以進(jìn)一步降低，直到矩陣規(guī)模滿足計(jì)算要求為止。

對于某些大型體系，僅采用“超構(gòu)件”來拆分體系是不夠的，此時，可借助“超構(gòu)件”的概念，將多個“超構(gòu)件”構(gòu)成“超超構(gòu)件”，“超超超構(gòu)件”等，直到滿足算法對矩陣和向量的要求。

3 工程應(yīng)用

某銅礦經(jīng)多年露天開采，形成了北西向展布的筒狀礦體。露采范圍頂部最大標(biāo)高518 m，封閉標(biāo)高110 m，終了最低標(biāo)高為?220 m，面積約4 km2。剝采由南東向北西推進(jìn)，形成多處人工高邊坡。本文主要研究東南區(qū)邊坡1、邊坡2、邊坡3、邊坡4組成的礦山邊坡體系的穩(wěn)定性。

經(jīng)研究，初步確定該礦山體系中各地段潛在的破壞模式如表1所示，礦區(qū)邊坡體系簡圖如圖1所示。其中：1，2，3，4分別代表上述4個邊坡，gi(i=1，2，…)代表失效模式，即體系構(gòu)件，每個構(gòu)件的物理意義如表1所述。

表1 體系構(gòu)件功能函數(shù)及對應(yīng)的物理意義Table 1 Physical meaning of performance functions for system components

經(jīng)進(jìn)一步分析可知，圖1中陰影部分標(biāo)出的構(gòu)件均含有多個關(guān)鍵滑面：g3存在3個關(guān)鍵圓弧滑面，g5含4個不同雙滑面破壞，g8由3組節(jié)理形成3個楔形破壞模式，g9含2個圓弧破壞模式。故整個礦山邊坡體系中共涉及18個關(guān)鍵滑面，存在18種潛在破壞模式，每一種破壞模式可視為1個體系構(gòu)件，且子體系邊坡1、邊坡2、邊坡3、邊坡4和礦山邊坡體系的構(gòu)件數(shù)分別為2，8，5，3和18，4個邊坡和整個礦區(qū)體系的樣本空間分別被分為4，256，32，8和262 144個MECE事件。

為了得到礦山體系的失效概率，考慮到整個體系的優(yōu)化變量多達(dá)218，僅采用MSR法時計(jì)算量將超出常見優(yōu)化軟件能處理的范圍，故引入多尺度法以減少矩陣的規(guī)模。將g3，g5，g8和g9作為“超構(gòu)件”，則邊坡相應(yīng)地成為“超構(gòu)件”或“超超構(gòu)件”(如圖1中虛線框出的部分)。各邊坡在疏干、飽水2種狀態(tài)下的體系失效概率估計(jì)區(qū)間見表 2，為比較本文方法與常規(guī)的寬界限法、窄界限法的優(yōu)劣，將界限估計(jì)法的分析結(jié)果，同列于表2中。整個礦山邊坡體系在疏干狀態(tài)下的失效概率區(qū)間Pf=[0.259 76, 0.267 45]，對應(yīng)可靠指標(biāo)β=[0.384 9, 0.385 7]；若全部邊坡均處于飽水狀態(tài)，則Pf=[0.802 87, 0.869 49]。

為進(jìn)一步比較各種方法所得結(jié)果的精確性，并考察相關(guān)性對“超構(gòu)件”和體系失效概率的影響，假設(shè)超構(gòu)件中內(nèi)部構(gòu)件的相關(guān)系數(shù)ρ在[0, 1]內(nèi)變化，采用MSR法計(jì)算各“超構(gòu)件”在疏干狀態(tài)下的失效概率曲線如圖2所示。結(jié)合多尺度法，計(jì)算“超構(gòu)件”邊坡1、邊坡3、邊坡4以及“超超構(gòu)件”邊坡2在疏干狀態(tài)下的體系失效概率變化曲線如圖3所示。

為說明多尺度MSR法的優(yōu)劣，將失效模式g3，g5和g8作為“超構(gòu)件”，采用多尺度法計(jì)算邊坡2與邊坡3的體系失效概率，各種處理方法得出的結(jié)果如圖4所示。

圖4(a)中：“MSR法1”為將邊坡2的3個圓弧破壞(g3)和4個雙滑面破壞(g5)作為2個超構(gòu)件時的計(jì)算結(jié)果；“MSR法 2”為將其 3個圓弧破壞模式作為 1個“超構(gòu)件”時的結(jié)果；“MSR法3”為將4個雙滑面破壞模式作為1個超構(gòu)件時的結(jié)果；“MSR法4”為不引入超構(gòu)件時的結(jié)果。圖4(b)中：“MSR法5”為將邊坡3的3個圓弧破壞模式作為“超構(gòu)件”時的計(jì)算結(jié)果；“MSR法6”為不引入超構(gòu)件時的結(jié)果。

圖1 礦山邊坡體系計(jì)算簡圖Fig.1 Calculation sketch of slope system

表2 邊坡子體系的失效概率Table 2 Failure probabilities of slopes

圖2 “超構(gòu)件”的失效概率區(qū)間Fig.2 Failure probabilities bounds of super-components

圖3 邊坡的體系失效概率估計(jì)區(qū)間Fig.3 System failure probabilities of slopes

圖4 多尺度MSR法的邊坡子體系失效概率比較Fig.4 Sub-system failure probability calculated by multi-scale method and MSR method

4 討論

從表2和圖2、圖3的失效概率區(qū)間對比情況可知：寬界限法的區(qū)間比其他2種方法的大，其計(jì)算精度難以滿足工程實(shí)際要求。比較剩余兩者方法，當(dāng)失效模式較少時，MSR法與窄界限法的區(qū)間均很窄，可較精確地確定體系的失效概率；當(dāng)失效模式較多時，窄界限法的區(qū)間明顯拉大，甚至出現(xiàn)不可能概率(如邊坡2在飽水狀態(tài)下的體系失效概率區(qū)間已超越邊坡1的失效概率區(qū)間)，說明窄界限不適合構(gòu)件較多或構(gòu)件失效概率較大的體系可靠性評估；MSR法在上述情況下仍能獲得符合工程要求的失效概率區(qū)間，表明MSR法在應(yīng)用上不受概率和構(gòu)件數(shù)量的限制。

比較圖4中(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)：多尺度法導(dǎo)致了概率區(qū)間有所增大，即結(jié)果精度稍降低。原因是：采用多尺度法過程中，丟失了部分構(gòu)件的概率信息，即優(yōu)化求解中的約束條件減少，使求解范圍變大，故所得結(jié)果的區(qū)間可能會增大，這也正是圖 3(c)中在相關(guān)性較小時采用本文方法比窄界限法的區(qū)間稍大的原因。然而，通過引入“超構(gòu)件”，將邊坡 2的體系構(gòu)件由28個降低到23個，邊坡3的體系構(gòu)件由25個降到23個，大大降低了優(yōu)化過程中的計(jì)算量，提高了計(jì)算效率。若不采用多尺度法時，整個工程體系的優(yōu)化變量數(shù)為218個，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了MATLAB中LP工具所能處理的范圍，故多尺度法成為了采用 MSR法計(jì)算該邊坡失效概率的必然選擇。

5 結(jié)論

(1) MSR法可以考慮2個或多個失效模式之間的相關(guān)性，且采用優(yōu)化方法計(jì)算失效概率的邊界，所得界限是在給定信息下能確定的最窄邊界，故其結(jié)果比常規(guī)體系可靠度計(jì)算方法的結(jié)果更精確。

(2) 采用MSR法計(jì)算具有相關(guān)性的體系失效概率時，計(jì)算結(jié)果的精度會受到失效模式的影響。在構(gòu)件概率信息一致時，隨著失效模式增多，體系的失效概率估計(jì)區(qū)間將逐漸增大。

(3) 將多尺度方法與MSR法相結(jié)合可能會使體系概率區(qū)間稍有增大，但大大降低了 MSR法在優(yōu)化計(jì)算中的工作量，擴(kuò)大了 MSR法的應(yīng)用范圍，為解決復(fù)雜邊坡體系可靠度計(jì)算的難題提供了新的途徑。

[1]Einstein H H. Risk and risk analysis in rock engineering[J].Tunneling and Underground Space Technology, 1996, 11(2):141?155.

[2]Pind R J, Roberds W J. A risk-based approach for the design of rock slopes subject to multiple failure modes-illustrated by a case study in Hong Kong[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2005, 42(2): 261?275.

[3]Duzgun H S B, Yucemen M S, Karpuz C. A methodology for reliability-based design of rock slopes[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering, 2003, 36(2): 95?120.

[4]Mukshed A, Robert E M. Gradient and parameter sensitivity estimation for systems evaluated using Monte Carlo analysis[J].Reliability Engineering and System Safety, 2006, 91(5):594?601.

[5]Sung E C. Effect of spatial variability of soil properties on slope stability[J]. Engineering Geology, 2007, 92(3/4): 97?109.

[6]Bhattacharya G, Jana D, Ojha S, et al. Direct search for minimum reliability index of earth slopes[J]. Computers and Geotechnics, 2003, 30(6): 455?462.

[7]Oka Y, Wu T H. System reliability of slope stability[J].Geotechnical Engineering, ASCE, 1990, 116(8): 1185?1189.

[8]Chowdhury R N, Xu D W. Geotechnical system reliability of slopes[J]. Reliability Engineering and System Safety, 1995,47(3): 141?151.

[9]Jimenez R R, Sitar N, Chacón J. System reliability approach to rock slope stability[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2006, 43(6): 847?859.

[10]譚曉慧. 多滑面邊坡的可靠性分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2001, 20(6): 822?825.

TAN Xiao-hui. Reliability analysis on a slope with several slips surfaces[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2001, 20(6): 822?825.

[11]吳震宇, 陳建康, 許唯臨, 等. 巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定的體系可靠度分析及工程應(yīng)用[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 40(2): 32?37.

WU Zhen-yu, CHEN Jian-kang, XU Wei-lin, et al. System atic reliability analysis of rock slope stability and its engineering application[J]. Journal of Sichuan University: Engineering Science Edition, 2008, 40(2): 32?37.

[12]Kang W H, Song J, Paolo G.. Matrix-based system reliability method and applications to bridge networks[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2008, 93(11): 1584?1593.

[13]Song J, Kang W H. System reliability and sensitivity under statistical dependence by matrix-based system reliability method[J]. Structure Safety, 2008, 31(2): 148?156.

[14]Song J, Der A K. Bounds on system reliability by linear programming[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2003,129(6): 627?636.

[15]Bertsimas D, Tsitsiklis J N. Introduction to linear optimization[M]. Nashua: Athena Scientific, 1997: 18?87.

[16]Armen D K, Song J. Multi-scale reliability and updating of complex systems by use of linear programming[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2008, 93(2): 288?297.

(編輯 趙俊)

System reliability analysis of slopes based on multi-scale MSR method

XIE Gui-hua1,2, ZHANG Jia-sheng2, LIU Rong-gui1, LI Ji-xiang3

(1. Faculty of Science, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China;2. School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;3. Department of Civil Engineering, Wuhan Polytechnic University, Wuhan 430023, China)

In order to solve the problem that general system reliability methods can hardly be applied to calculate the stable reliability of complex slopes with multiple failure modes, the matrix-based system reliability method (MSR method) was studied. With multi-scale method, the slope system was decomposed into many parallel sub-systems which were regarded as “super-components” so as to decrease optimal variables and reduce the scale of matrixes. A project case of a mine slope system was analyzed. The results show that the results by the MSR method are more accurate than that by general system reliability methods; that combining with the multi-scale method, reliability analysis of complex slopes with multi-failure mode can be well carried out and the scope of systems analyzed by MSR method is expanded; and that the system probabilistic intervals are enlarged slightly by the proposed method while the calculation load is alleviated exponentially. Furthermore, such tasks as matrix operation and optimization calculation can be performed by means of existing calculation software, making the slope reliability assessment more convenient.

complex slope; system reliability; MSR method; multi-scale

TU457

A

1672?7207(2010)06?2400?07

2009?09?13；

2009?12?03

湖北省教育廳重大項(xiàng)目(Z200618001)；江蘇大學(xué)校級基金資助項(xiàng)目(10JDG097)

謝桂華(1976?)，女，湖南雙峰人，博士后，講師，從事巖土工程可靠性研究；電話：13862441310；E-mail: jg97xieguihua@163.com