低承臺小群樁共同作用誘發變形特征

陳樂求，楊恒山

(湖南理工學院 土木建筑工程學院，湖南 岳陽，414006)

樁基礎是應用廣泛的一種基礎形式[1]，隨著現代化城市向著平面和空間迅速發展，城市土地日益緊張，基礎選型往往存在一定局限，此時，樁基礎就顯示出其優于其他基礎形式的特性[2]。近年來，隨著工業建設的發展，在我國的大中型城市建設中涌現出一大批多層(4～9層)大柱距、大開間的工業廠房和倉儲超市商業網點，單柱荷載非常大(常為5～10 MN)，若要設計為整板基礎，則底板厚度非常大，柱間、板內局部彎矩和局部剪力也很大，其造價相對于整個建筑的造價來說太大，因此，通常設計為柱下擴展基礎。當承載力不夠時，柱下常設計為低承臺小群樁的群臺基礎。低承臺小群樁可充分發揮地基土的承載能力，滿足荷載及變形條件，降低工程造價[3-7]。目前，在設計時往往只考慮群樁的承載力問題，而較少考慮臺與臺之間的變形差問題，忽視了臺間不均勻沉降對結構物應力的影響，一旦結構梁出現開裂，不了解不均勻沉降的影響程度[8]。由于低承臺群樁基礎的承載力非常大，無法通過原型載荷試驗來研究和確定承載能力和相應沉降，因此，采用數值模擬分析方法研究群樁基礎的工作性能具有重要的理論意義和實際意義[9]。在此，本文作者采用古典彈性理論計算法，對樁、土位移方程進行部分改進，使其計算精度提高，并用 Digital Visual Fortran語言編制計算程序，研究低承臺小群樁在考慮樁-土-承臺共同作用下荷載與變形的關系，以便為該類建筑物的設計與施工提供參考。

1 計算方法

對基于彈性理論法的樁、土位移方程進行改進，通過推導極限積分公式，采用辛普森梯形積分法進行數值積分，所得計算結果精度比以往采用矩形積分法所得精度更高。

1.1 單樁計算公式

1.1.1 土的位移方程

對于均質半無限空間中長度為L的樁，將樁均勻劃分成n個單元，所有單元上作用的剪應力p及樁底均布壓力pb在計算點產生的位移之和為：

式中：pj為任意單元 j上作用的均布剪應力；pb為樁底均布壓力；Iij為單元j上的剪應力在i單元中點樁土界面處產生的垂直位移因子，用彈性半空間的Mindlin解計算[10]；d為樁徑；ES為土的彈性模量；Iib為樁底均布壓力在i單元中點樁土界面處產生的鉛直位移因子。

對樁底也可寫出類似的方程。因此，樁側土總的位移方程為：

式中：}{Sρ為土的位移列陣，n+l階；{p}為樁周及樁底荷載列陣，n+1階； ][SI 為(n+1)×(n+1)階土的位移系數方陣。

[IS]中的元素由Mindlin方程積分求取。

1.1.2 樁的位移方程

式中：}{Pρ為n+l階樁位移列陣；[IP]為(n+1)×(n+1)階樁的位移矩陣；EP為樁彈性模量；RA為樁面積與樁周邊界的面積比；nL/=δ為單元長度。

其中：L為樁長；P為荷載。

1.1.3 樁-土位移相容性

1.2 低承臺小群樁計算公式

對于低承臺，承臺與地面有效接觸，除了樁間土分擔一定的荷載之外，承臺壓力會增加鉛直向應力，進而增加極限樁側摩阻力和極限樁端阻力，即所謂“增強效應”。由于承臺限制了淺層樁、土相對位移，因此減小了部分極限樁側摩阻力，即存在“削弱效應”。對于這些“效應”，采用如下處理方法：承臺壓力在某樁的某一單元產生的位移因子，采用地面荷載面積積分的方法，用矩形面積上的積分減去各樁圓面積上的積分。樁頂圓面積上的均布荷載在i樁某一單元上的位移因子為[11]：

式中：iρ仍為Mindlin方程，其對半徑r的積分為

r的積分范圍為0～d/2，θ的積分范圍為0～π2。對θ的積分不能寫成顯式，仍需用數值積分。積分后，數值要除以樁徑 d，以便成為無量剛單位用于土的位移方程。

對于低承臺小群樁，考慮承臺影響的樁側土位移方程為：

圖1 低承臺小群樁荷載-沉降計算程序框圖Fig.1 Flow chart of load-settlement calculating procedure of low-cap group piles

2 程序設計

基于上述計算公式，用Digital Visual Fortran語言編寫了計算低承臺小群樁沉降曲線的程序，其程序框圖如圖1所示。由于承臺底壓力與承臺沉降相關，均勻分布的承臺底壓力只能對應相同的樁頂沉降，因此，計算中采用“各樁樁頂沉降相同”的計算模式。

在每一級荷載下，首先計算不考慮承臺作用且各樁沉降相同條件下群樁的沉降及各樁的沿樁長接觸應力的分布；將樁頂沉降代入承臺底基床系數即可計算得到承臺底壓力；得出各樁沿樁長接觸應力和承臺底壓力后，用考慮承臺底壓力的土位移方程計算樁側土各單元的位移，與該情況下樁的各單元位移(在考慮臺底壓力使樁側摩阻力與樁端阻力增大的情況下)進行比較。若第1單元土位移大于樁位移，則說明承臺底土壓力大(樁承擔荷載比例小)，因此，需減小承臺底基床系數直到樁土位移協調為止；若樁位移大于土位移，則說明樁土已發生滑動，樁土位移不再協調，因此，只需考慮承臺底壓力所起的分擔荷載、增加極限側摩阻力與極限樁端阻力的作用。

圖2 不同樁距基樁荷載-沉降曲線比較Fig.2 Comparison of pile load-settlement curves for different pile spacings

圖3 不同樁距的承臺荷載分擔比變化情況Fig.3 Development process of cap load sharing ratio for different pile spacings

3 共同作用誘發變形特征

3.1 樁和土的參數取值

根據有關工程經驗，鋼筋混凝土樁的彈性模量取值為：EP=2.3×104MPa。土的彈性模量根據土質不同，可以在5.5～62.5 MPa之間，本次計算取ES= 9 MPa。

研究表明：樁的荷載-沉降關系對樁的泊松比μ不敏感[12]，因此，計算中取中密土的經驗值，即35.0=μ。

3.2 不同樁距對荷載-沉降曲線的影響

為了比較樁徑、樁長、樁距、承臺底基床系數對低承臺小群樁荷載-沉降關系的影響，仍以 9樁小群樁為主要研究對象，分析樁徑分別為0.4，0.6和0.8 m，樁距分別為2倍樁徑、3倍樁徑、4倍樁徑、5倍樁徑，樁長分別為5，10，20和30 m，承臺底基床系數分別為0.75，1.50，3.00和4.50 MPa/m時的荷載-沉降關系及承臺荷載分擔比隨總荷載增長的變化，結果分別見圖2～3。分析樁數對荷載-沉降關系影響時，采用2根樁、3根樁、4根樁的情況。

圖2所示為樁徑0.8 m、樁長20 m、承臺底基床系數為1.5 MPa/m，不同樁距時低承臺基樁的荷載-沉降曲線，對應的承臺荷載分擔比變化見圖3。圖2中同時繪制了高承臺、樁距為 3倍樁徑時的基樁荷載-沉降曲線和單樁的荷載-沉降曲線。由圖 2可知：低承臺小群樁(基樁)的荷載-沉降曲線與單樁及高承臺群樁(基樁)的荷載-沉降曲線均有較大差別。

3.2.1 基樁的平均承載力受樁-土-承臺共載影響特征

由圖2可知：當高承臺小群樁中樁距為3倍樁徑時，基樁平均臨塑承載力比單樁的平均臨塑承載力小約30%；而承臺底基床系數為1.5 MPa/m的低承臺樁基，在樁距為2倍樁徑時，群樁中基樁的臨塑承載力已超過單樁的極限承載力；隨著樁距的增加，基樁的承載力達到單樁極限承載力的2倍以上，而承臺荷載分擔比不到總荷載的30%(見圖3)；當樁距為5倍樁徑時，雖然承臺荷載分擔比由穩定段的36%發展到后期的47%，但對應的基樁承載力達到單樁極限承載力的3倍，即由于臺底壓力的作用，不僅承臺分擔了部分荷載，樁本身所能承擔的荷載也大大提高。

3.2.2 總體沉降受樁-土-承臺共載影響特征

由圖 2可知：與高承臺小群樁的荷載-沉降曲線相比，低承臺小群樁荷載-沉降曲線前部直線段沉降減少主要是承臺分擔荷載作用產生的，增大的樁側摩阻力和樁端阻力還未起作用，因而沉降相差不大；在荷載作用后期，當高承臺樁基的沉降量急劇增大時，荷載接近并超過臨塑荷載，低承臺樁基的荷載-沉降曲線剛剛處于緩變階段；其后，低承臺群樁的承載能力可能增大，而高承臺群樁樁周與樁底均發生剪切破壞。

3.2.3 樁-土-承臺共同作用下承載力提高對總體沉降的影響

由圖2可知：樁-土-承臺共同作用使群樁中的基樁承載力遠遠大于單樁承載力，但其對應的群樁樁臺沉降比單樁的臨塑荷載對應的沉降要大得多，即使在5倍樁徑樁距時，同樣荷載對應的沉降量比小樁距時的沉降量小很多，但在基樁受荷量與單樁臨塑荷載相同時，對應的沉降量比單根樁臨塑荷載作用下的沉降量大1倍。因此，要發揮樁-土-承臺共同作用增大的承載力是有前提條件的，即上部結構要允許有較大的沉降量[13]。

3.3 不同承臺底基床系數對荷載-沉降曲線的影響

圖4所示是樁徑為0.6 m、樁距為3倍樁徑，樁長為20 m時不同承臺底基床系數對應的小群樁荷載-沉降曲線，與其對應的承臺荷載分擔比變化見圖 5。由圖4可知：當承臺底基床系數增加時，群樁的承載力增加(相應的基樁承載力也增加)，且群樁的荷載-沉降曲線轉折減緩。至承臺底基床系數增加至3.0 MPa/m時，荷載-沉降曲線幾乎變為1條直線。由圖5可知：隨著承臺底基床系數增加，承臺的荷載分擔比也相應增加，且承臺荷載分擔比有所變化；當臺底基床系數較小時，承臺荷載分擔比在一個穩定段后有一個急升段，與群樁荷載-沉降曲線轉折后的沉降快速增長段相對應；而當臺底基床系數較大時，承臺荷載分擔比曲線轉折減小，且穩定增長段延長。

3.4 不同樁長對荷載-沉降曲線的影響

不同樁長時基樁荷載-沉降曲線見圖6，與其對應的承臺荷載分擔比見圖7。由圖6可知：當樁距、承臺底基床系數相同時，樁長增加，群樁中基樁承載力增加，荷載-沉降曲線趨緩。由圖 7可知：承臺荷載分擔比變化規律也有所不同，當樁長較短時，荷載分擔比穩定段較短，且分擔比增長段斜率很大；而當樁長較長時，荷載分擔比穩定段較長，且分擔比增長段很平緩(斜率很小)。

圖4 不同承臺底基床系數的荷載-沉降曲線比較Fig.4 Relationship between load and settlement for different coefficients of subgrade reactions

圖5 不同承臺底基床系數的承臺荷載分擔比Fig.5 Development process of cap load sharing ratio for different coefficients of subgrade reactions

圖6 不同樁長時基樁荷載-沉降曲線比較Fig.6 Comparison of pile load-settlement curve for different pile lengths

圖7 不同樁長時的承臺荷載分擔比的變化情況Fig.7 Development process of cap load sharing ratio for different pile lengths

3.5 不同樁徑對荷載-沉降曲線的影響

圖8 所示是9根樁、樁距為2.4 m、樁長為20 m、承臺底基床系數為1.5 MPa/m時，樁徑分別為0.6 m與0.8 m的群樁總荷載-沉降曲線的比較結果，2種情況下的承臺面積相當。由圖8可知：在樁臺面積、承臺底基床系數相同時，樁徑增加，群樁承載力提高，基樁承載力相應提高，荷載-沉降曲線變緩，即樁徑增加，承載力提高[14]，但同時對應沉降也較大。

圖8 不同樁徑荷載-沉降曲線比較Fig.8 Relationship between load and settlement for different pile diameters

3.6 不同樁數對荷載-沉降曲線的影響

圖9 所示是樁徑為0.4 m、樁距為1.2 m(即3倍樁直徑)、樁長為20 m、承臺底基床系數為1.5 MPa/m、樁數不同時總荷載-沉降曲線的比較結果。2根樁并排排列，承臺為矩形；三根樁呈正三角形排列，承臺為三角形；四樁呈正方形排列，承臺為方形。為進一步分析，將群樁荷載除以樁數，換算成基樁荷載-沉降曲線，見圖10，與兩圖對應的承臺荷載分擔比見圖11。由圖10和圖11可知：在低承臺情況下，當各樁對應承臺面積不變時，樁數增加，不僅群樁承載力增加，群樁中基樁的承載力也有所增加，這與通常的“群樁中單樁發揮作用要折減”的觀點是相反的。其原因是：在同樣荷載下，基樁(群樁)的沉降有所增加，這樣，不僅承臺分擔荷載增加(見圖 11)，增加的臺底壓力使樁側極限摩阻力與樁端阻力也有所增加，因而基樁的承載力增加。由圖11可知：當樁數不同時，承臺荷載分擔比曲線形態相似，樁數較多的群樁其承臺荷載分擔比也較大。

由圖10可知：當樁群總體受荷相同時，樁數較多的群樁其沉降較小，但在基樁受荷相同時，樁數較多的群樁其沉降量增加。若以單樁載荷試驗測得的沉降量(如10 mm)來控制，則各樁的承載力遠遠不夠。因此，當結構物不同部位產生的荷載不同時，提高樁的數量雖能提高承載力，但沉降量不一定滿足設計要求。

圖9 不同樁數的群樁荷載-沉降曲線比較Fig.9 Comparison of group pile load-settlement curves for different pile numbers

圖10 不同樁數基樁荷載-沉降曲線比較Fig.10 Relationship between load and settlement for different pile numbers

圖11 不同樁數承臺荷分擔比的變化情況Fig.11 Development process of cap load sharing ratio for different pile numbers

綜上所述，低承臺小群樁的荷載-沉降曲線基本上呈緩變狀態。在達到極限荷載之前，荷載-沉降曲線只有很小的轉折，若荷載增量稍大，則顯示不出轉折部分，但荷載并不是可以無限增加的[15-16]。低承臺小群樁的受荷變形受樁距、樁徑、樁長、樁數、承臺尺寸、承臺底基床系數等多種因素的影響。

4 結論

(1) 基于彈性理論法對樁、土位移方程進行了改進。通過推導極限積分公式，采用辛普森梯形積分法進行數值積分，比以往的矩形積分法所得結果精度更高。

(2) 用Digital Visual Fortran語言編寫了分析低承臺小群樁變形特征的程序，并得到了不同條件下低承臺小群樁的荷載-沉降曲線，為低承臺小群樁的進一步研究提供了思路。

(3) 低承臺小群樁的荷載-沉降關系呈緩變特征。基樁承載力及沉降均比單樁的大，隨著樁長、樁徑、承臺底基床系數的提高，群樁承載力及基樁承載力相應提高，但同時沉降也較大，樁端阻力在總承載力中所占比例較小，因而，低承臺小群樁的臨塑荷載與極限荷載相差很小。樁數增加，群樁承載力及基樁承載力相應增加，當樁群總體受荷相同時，樁數較多，則其群樁的沉降較小；在基樁受荷相同時，樁數較多，則其群樁的沉降增加。

(4) 低承臺小群樁的受荷變形特征與單樁及高承臺群樁的受荷變形特征明顯不同。低承臺小群樁的受荷變形受樁距、樁徑、樁長、樁數、承臺尺寸、承臺底基床系數等多種因素的影響，進行工程設計時，要綜合考慮這些因素，以達到最佳效果。

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