密實和松散顆粒材料等吸力三軸剪切試驗離散元數值模擬

蔣明鏡，胡海軍

(1. 同濟大學 地下建筑與工程系，上海，200092；2. 同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海，200092)

密實和松散顆粒材料等吸力三軸剪切試驗離散元數值模擬

蔣明鏡1,2，胡海軍1,2

(1. 同濟大學 地下建筑與工程系，上海，200092；2. 同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海，200092)

從宏微觀角度應用離散元研究吸力對密實和松散顆粒材料強度的影響。應用分層欠壓法生成固定孔隙比的密實和松散長方體試樣(長：寬：高=1：1：2)，在不同圍壓下固結，基于作者提出的相似理論，將吸力接觸模型植入PFC3D中，計算吸力引起的顆粒間作用力。在等圍壓和等吸力下，對長方體試樣進行三軸剪切試驗，測得在剪切過程中軸向應力、軸向應變等宏觀量和平均配位數、接觸組構等微觀量。研究結果表明：吸力能提高土的抗剪強度，提高試樣的平均配位數；隨著豎向應力增大，顆粒間接觸主方向向豎直方向偏轉；在相同吸力下，圍壓越大，接觸點數越多，由吸力引起的抗剪強度越大。

非飽和土；離散元；吸力；抗剪強度；組構；配位數

路堤、堤壩、高于地下水的地表土等均是非飽和土，在涉及這類土的邊坡穩定性計算分析時，均需要確定其抗剪強度。Bishop等[1?2]分別提出了非飽和土的抗剪強度f表達式：

式中：(σ?ua)為凈應力；(ua?uw)為基質吸力；c′為有效內凝聚力； ′為有效內摩擦角；χ為飽和度的函數，在0～1之間變化，為非常量；?b為隨基質吸力而強度增加的內摩擦角，為非常量，隨著飽和度或基質吸力而變化。離散元法[3]已經成功應用于砂土剪切試驗[4?5]、結構性土壓縮試驗[6]、靜力觸探[7]和管涌現象[8]等分析中，用來從微觀角度解釋宏觀現象。有研究表明：非飽和土強度隨著吸力呈非線性增長且強度與級配密切相關，如Jiang等[9]應用二維離散元法研究了非飽和土的抗剪強度并提出了2個能夠考慮大吸力范圍和顆粒級配影響的抗剪強度函數。在此基礎上，本文作者應用三維離散元法，將土顆粒等效為剛性球，允許剛性球之間有重疊以考慮實際顆粒彈性變形，將毛細水作用考慮入顆粒間作用力，從宏微觀角度對等吸力下非飽和密實和松散顆粒材料進行三軸剪切試驗分析。

1 毛細水作用在離散元分析中的實現

1.1 顆粒接觸處毛細水引起的粒間作用力理論公式

為了簡化，假設試樣中的含水量僅由毛細水組成，并且忽略接觸角。它的彎液面的形狀如圖 1(a)所示。毛細水引起的粒間作用力如圖 1(b)所示。盡管Fisher等[9?11]指出表面張力對顆粒間作用力有貢獻，但沿周長分布的表面張力在計算顆粒間作用力時常被忽略。根據圖1(b)所示含毛細水顆粒間作用力，由力的平衡原理可得毛細水引起的顆粒間作用力FI：

式中：T為孔隙水的表面張力，15 ℃時為0.073 5 N/m。R1和R2可以用下式表示：

式中：r為顆粒半徑；θ為持水角。吸力可以表示為：

圖1 毛細水模型示意圖Fig.1 Schematic representation of capillary water model

將式(4a)，(4b)和(5)代入式(3)，可得：

由式(4)，(5)和(7)可得到吸力和顆粒間作用力的關系。以2個等直徑球體(半徑為3.90 μm)為例，計算中模型顆粒半徑為3.90 μm，n=1 000，由式(4)和(5)得到由吸力表示的θ，再代入式(7)可得吸力與顆粒間作用力的關系，如圖2所示。原型顆粒間作用力為圖2所示顆粒間作用力除以 106。從應力概念上，原型和模型是相等的。

從圖2可以看出：隨著吸力增加，粒間作用力呈非線性增加，假定顆粒間摩擦因數不隨吸力變化而變化，在剪切過程中，吸力引起的抗剪強度為其引起的粒間作用力與摩擦因數的乘積，則毛細水引起的抗剪強度并非隨著吸力線性增加，反映在式(1)和式(2)，χ和b?并非常數。這從微觀解釋了抗剪強度宏觀表達式中吸力項參數并非常量。

圖2 顆粒間作用力與吸力的關系Fig.2 Relationship between interparticle force and suction

當吸力為 0時，持水角為 53.13°，小于 60°。不同排列形式下最大持水角如圖3所示。2個等直徑顆粒之間水膜持水角最大可為60°，證明持水角為53.13°水膜形式是存在的，此時顆粒間作用力不為 0，這表明當水壓力和氣壓力相等時，顆粒間作用力仍然存在，是由水膜的表面張力引起。另外，對于砂土而言，由濕潤狀態變為干燥狀態，對常規大吸力情況下即可變為干砂，其粒間作用力應為 0，即顆粒間作用力隨著吸力變化存在1個峰值，而在Fisher公式中沒有得到反映；對于粉土和黏土由濕潤狀態變為干燥狀態需要很大的吸力，因此，在常規吸力下，顆粒間作用力隨著吸力增加而增加是符合粉土和黏土特性的。盡管有以上問題存在，本文仍以Fisher的公式計算。要更精確地考慮范德華力、電子力、化學膠結力等顆粒間作用力的公式，還有待進一步研究。

圖3 不同排列形式下最大持水角Fig.3 Maximum water-retention angles under different arrangement forms

1.2 離散元分析中的毛細水模型

分析中采用的毛細水模型見文獻[9]，本文將該模型擴展至三維空間中。

圖4 離散元分析中提出的毛細水接觸模型[9]Fig.4 Simplistic contact model proposed for capillary water in DEM[9]

假設土體的每個顆粒都是1個剛性圓球，這些顆粒都有自己的質量m，慣性矩為Io。每個粒子的移動(轉動)速度xi(iθ)由牛頓第二定律計算(i代表x，y和z方向)。xi(iθ)用于計算速度從而求得位移。對于半徑為r的每個顆粒，運動中法向和切向接觸力分別用Tn,m和Ts,m來表示，它們可以分解成接觸力Ti,m和關于物體中心的力矩M。然后，將p個相接觸的顆粒對其作用力求和：

式中：Tn為通過顆粒間的重疊部分求得的法向接觸力，在壓縮接觸中為正值；Tcw(＞0)為毛細水的黏結力，等于通過式(6)計算得到的毛細水引起的粒間作用力。(Tn－Tcw)為荷載導致的法向接觸力；Dn為法向阻尼力，當顆粒分離時，Tn＝0，Dn＝0，Tcw＝0；Ts為切向接觸力；則Ds為切向阻尼力。若Ts增大到接觸模型的抗剪強度峰值，則Ds＝0。抗剪強度峰值為：其中：tanμ為粒間摩擦因數。若2個顆粒分離，則Ts＝0，Ds＝0。由動力學公式可知：離散元分析中的阻尼和動摩擦是用來消耗能量的。

在離散元分析中，廣義有效應力ij(GES)[9]用下式表示：

由吸力引起的廣義有效應力[9](GESS)也可由式(12)表示，粒間作用力僅包括毛細水引起的力。

1.3 三軸剪切過程中毛細水作用的研究

對2個半徑為r1和r2的不等徑球體，采用等徑球體處理：

當基質吸力較小時，則可能相鄰毛細水相互接觸，如圖3(b)所示。當持水角大于45°時，則連成一氣泡，如圖3(c)所示，當持水角大于30°時，則連成一氣泡。根據Fredlund的研究[9?12]，這種孔隙將迅速被水充滿。由式(5)可得：顆粒直徑越小，持水角 30°所對應的吸力越大。對本文中的試驗，采用高吸力可避免相鄰顆粒毛細水連通形成氣泡而造成數值計算繁瑣的問題。

在PFC3d中編制fish語句，每當有新的顆粒接觸時，將新產生的接觸模型變為毛細水模型。這一實現過程在計算機中實現，比實際試驗要快得多。

2 毛細水接觸模型合理性的驗證

2.1 吸力作用下2個顆粒拉伸試驗和剪切試驗

圖5所示為吸力作用下2個顆粒拉伸試驗和剪切試驗結果，球的直徑為3×10?6m，吸力為100 kPa。應用相似理論，顆粒的直徑為3×10?3m，n=1 000。由式(5)可得持水角θ=33.13°，從式(7)可得由毛細水引起的顆粒間作用力理論值為1.092 N。

圖5 2個含水與不含水顆粒試驗示意圖Fig.5 Sketch for tests on two grains with or without water

將吸力模型植入PFC3d中，對2個接觸球進行拉伸和剪切試驗。表1給出了試驗中的材料參數。拉伸試驗步驟如下：第1步，讓2個球稍微接觸(1×10?10m)，然后，在接觸處施加1個吸力黏結；第2步，釋放2個球體達到平衡狀態；第3步，固定左邊球體，將右邊球體以固定速度(1×10?6m/s)朝離開方向移動。剪切試驗(b)和(c)(見圖 5)試驗步驟如下：第 1和第 2步與拉伸試驗的相同；第3步，固定左邊球，在右邊球上施加1個恒定2 N的法向力，當2個球再次達到平衡時，將右邊球以恒定速度沿接觸點切線方向移動。對于剪切試驗(d)，試驗步驟如下：第1和第2步與拉伸試驗的相同；第3步，固定左邊球，將右邊球以恒定速度沿接觸點切線方向移動。注意上述試驗過程中均不允許顆粒有轉動。

圖6給出了拉伸和剪切試驗中不平衡力和相對位移的關系。如圖 6(a)所示，毛細水能夠抵抗 1.092的拉伸力，這與理論值相等。如圖6(b)所示，毛細水能夠提高抗剪強度。圖5(b)中的剪切強度由2個部分組成：一個是外力引起的剪切強度，另一個是毛細水引起的剪切強度，即：1.546 N(抗剪強度)=1.092 N(毛細水引起的顆粒間作用力)×0.5(摩擦因數)+2 N(外荷載)×0.5(摩擦因數)。

2.2 吸力作用下正方性規則排布試樣水力試驗

試樣由8 000個半徑為3.90 μm的球按規則正方形排布而成，選取的半徑為3.90 μm和后面試驗試樣d50相等。分析中采用的顆粒半徑為3.90 μm，n=1 000，起始時每相鄰球之間有微小的接觸(1×10?10m)，然后，在接觸處施加吸力黏結；接著，所有球體達到平衡狀態，用應力球測試廣義應力。

表1 離散元分析中的材料參數Table 1 Material parameters used in DEM analyse

圖6 拉伸試驗和剪切試驗結果Fig.6 Results of tension test and shear test

理論上，由于吸力引起的廣義有效應力eq可用下式表示：

式中：AI為FI所作用的面積。當彎液面接觸時，這個簡單立方體中所有接觸點處的臨界角為 45°。當持水角θ＞θc時，Sr為100%。根據前者提到的滲透過程，所有孔隙都同樣充滿水。當θ＜θc時，在簡單立方體中，考慮到每個球都與其他球有4個接觸點，Sr的理論計算公式如下；

圖7所示為吸力和GESS的關系，還有由理論方法推導得到的土水特征曲線。由圖7可知：DEM結果與理論值完全一致，證明了相似理論的正確性與接觸模型的正確性和合理性。當吸力減小、Sr增大時，GESS減小。當吸力低于13.327 kPa時，GESS突然減小至0 kPa，而飽和度增至100%。

圖7 不同吸力作用下試樣的廣義應力、飽和度與吸力的關系Fig.7 Relations of suctions with generalized effective stress and degree of saturation

3 密實和松散顆粒材料等吸力三軸剪切試驗離散元數值模擬

3.1 試樣顆粒級配

本文研究原型試樣的顆粒級配如圖8所示。按此級配屬于粉粒土。試樣最大顆粒直徑為10.50 μm，最小直徑為 6.60 μm，d50=7.75 μm。不均勻系數為Cu=d60/d10=1.2。密實顆粒試樣孔隙比為0.5，松散顆粒試樣孔隙比為0.82。試樣中總顆粒數目為10 000。離散元分析中采用相似系數為n=1 000，即顆粒放大1 000倍。各直徑的顆粒數目由Jiang等[13]提出的公式計算：

式中：Nj為j顆粒的顆粒數；wj為j顆粒(半徑為rj)的質量分數；n為顆粒直徑種類數；N為總顆粒數，此處等于10 000。

圖8 原型試樣的顆粒分布Fig.8 Grain-size distribution of prototype

3.2 試樣制備

試樣首先應用由 Jiang等[13]提出的分層欠壓法生成，共分5層。分層欠壓的目的是克服等厚度分層制樣造成下層密實上層松散的問題。該法在分層壓縮試樣時，第1到第n層平均孔隙比比目標孔隙比e大，直到壓縮到最后一層等于目標孔隙比e。密實試樣采用的欠壓法則為：=0.528,=0.527,=0.521,=0.512,=0.500；松散試樣采用的欠壓法則為：=0.930,=0.914,=0.895,=0.870,=0.820。 顆粒法向剛度為 1.5×106N/m，切向剛度為1.0×106N/m。墻的法向剛度為1.5×105N/m。密實試樣生成時，壓縮過程中球和墻的摩擦因數設置為 0；松散試樣生成時，壓縮過程中球的摩擦因數設置為1，墻的摩擦因素設置為0。密實試樣在50 kPa下固結，這一過程之后將球之間的摩擦因數設置為0.5，然后試樣分別在100和200 kPa下固結；松散顆粒材料在成樣后，將球之間的摩擦因數改為0.5，然后，側墻固定，在豎直方向施加12.5 kPa的應力，使試樣中的顆粒充分接觸，在50，100和200 kPa下固結。對非飽和狀態，不同固結壓力下的試樣施加100和200 kPa的吸力作用。對于所用試樣，顆粒最小直徑為 6.60 μm。最密實狀態排布如圖3(c)所示，最大持水角為30°對應的吸力為91.276 kPa。對于本次試驗，吸力為100和200 kPa，對不同粒徑持水角均小于30°，因此，不會出現彎液面連通形成氣泡的情況。

3.3 剪切試驗離散元分析

對無吸力試樣，吸力為100和200 kPa的試樣分別在各恒定圍壓(50，100和200 kPa)下，按恒定1%/s應變速率(該速率經過對比調試得到，更小的速率雖然更加逼近準靜態過程，但會消耗更多的計算機時間，用該速率得到的強度與更小應變速率得到的強度相差不大)進行豎向壓縮，試驗過程中保證吸力恒定。墻和顆粒間的摩擦因數設置為 0，以消除顆粒與墻的邊界效應。在剪切試驗中，記錄軸向應力、軸向應變、側向應變等宏觀參數和平均配位數、接觸組構等微觀參數以研究宏微觀變量之間的關系。

4 吸力對密實和松散顆粒材料剪切試驗宏微觀參數變化的影響

4.1 應力與應變關系及強度特性

圖9所示為無吸力密實試樣剪切過程的應力與應變的關系。由圖9可見：該試樣呈應變軟化特性，反映了密實土的特性。圖10所示為恒吸力為100 kPa時密實試樣剪切過程的應力與應變關系。從圖9和圖10可以看出：由于吸力的存在，使得試樣軟化更明顯。

圖9 密實干樣在不同圍壓下應力與應變的關系Fig.9 Relationships between deviatoric stress (σ1?σ3) and axial strain of dry dense samples under different confining pressures

圖10 密實試樣在吸力為100 kPa時不同圍壓下應力與應變的關系Fig.10 Relationships between deviatoric stress (σ1?σ3) and axial strain of dense samples under different confining pressures with Su=100 kPa

圖 11所示為無吸力松散試樣剪切過程的應力與應變的關系。該試樣呈應變硬化特性，反映了松散土的特性。圖12所示為恒吸力100 kPa下松散試樣剪切過程的應力與應變的關系。從圖11和12可以看出：由于吸力的存在，使得試樣由應變硬化向應變軟化發展。

表2所示為無吸力、吸力分別為100和200 kPa時密實和松散試樣剪切過程最大剪應力。由表2可見：吸力可提高剪切過程中的抗剪強度。

圖11 松散干樣在無吸力時不同圍壓下應力與應變的關系Fig.11 Relationships between deviatoric stress (σ1?σ3) and axial strain of dry loose samples under different confining pressures without suction

圖12 松散試樣在吸力為100 kPa時不同圍壓下應力與應變的關系Fig.12 Relationships between deviatoric stress (σ1?σ3) and axial strain of loose samples under different confining pressures with Su=100 kPa

表2 試樣三軸剪切試驗中最大剪應力Table 2 Maximum shear stress (σ1?σ3)/2 during shearing kPa

表3所示為毛細水對剪切過程最大剪應力的提高值。結果表明：隨著圍壓的提高，提高值增大，特別對于松散樣，這種情況更為明顯。這是因為在高圍壓下，有更多顆粒接觸點即毛細水結合點，由吸力引起的抗剪強度越大。

4.2 接觸組構

每個接觸點有2個接觸方向，使n和?n為單位接觸方向矢量。如圖11所示，可以用φ和θ定義n。

二階接觸組構張量定義如下[14]：

表3 由于毛細水引起的最大剪應力的提高值Table 3 Increase of maximum shear stress of unsaturated soil due to capillary water kPa

圖13 n向量的表示Fig.13 Polar coordinates φ and θ to define n

當主對角線的F11，F22和F33相等時，代表接觸方向在空間分布各向同性；某一值大，表示接觸方向傾向于該方向分布。

表4列出了圍壓為200 kPa時密實樣剪切過程中接觸組構值變化。由表4可以看出：F33增大，表明接觸方向向x3方向(豎直方向)偏轉，說明在接觸點向豎直方向偏轉。另外，在有吸力和無吸力同一軸向應變下，接觸組構值很接近，說明主要是外荷載對其組構產生影響，即吸力對試樣的作用為近似各向同性。圖14給出了圍壓為200 kPa時剪切前與破壞后接觸方向在空間的密度分布。從圖14可以看出：豎向應力的增加會使顆粒間接觸方向朝向豎直方向偏轉。

4.3 配位數

配位數定義如下：K＝2M/N(式中：M為顆粒與顆粒間的接觸點個數；N為顆粒的個數)。K與強度密切相關。

圖15所示為密實樣平均配位數(K)在剪切過程中的變化。表明平均配位數隨著軸向應變增加而減少，說明試樣密實度降低，這與應變軟化相對應。圖15(a)和(b)表明：在給定吸力下，K隨著固結應力增加而增加，說明隨著固結壓力的增加，密實度增加，這與傳統土力學原理相符；在固定圍壓下，K隨著吸力而增大，說明吸力的增加不僅會使由毛細水引起的顆粒間作用力增大，還有可能使試樣在剪切過程中K增大。

表4 圍壓為200 kPa時密實樣在剪切過程中接觸組構值變化Table 4 Contact fabric of dense sample during shear test under confining stress 200 kPa

圖14 圍壓為200 kPa時密實樣接觸方向在空間上的密度分布Fig.14 Distributions of contact orientation density of dense samples in space under σ3=200 kPa

圖16所示為松散樣平均配位數(K)在剪切過程中的變化。由圖16可知：平均配位數隨著軸向應變增加先增加后保持穩定波動，說明試樣密實度先增加，這與應變硬化相對應。對比圖16(a)和(b)可知：隨著吸力的增加，平均配位數增加。

圖15 密實樣在不同圍壓下剪切過程中平均配位數與軸向應變的關系Fig.15 Relationships between average coordination number and axial strain of dense sample during shearing under different confining stresses

圖16 松散樣在不同圍壓下剪切過程中平均配位數與軸向應變的關系Fig.16 Relationships between average coordination number and axial strain of loose sample during shearing under different confining stresses

5 結論

(1) 非飽和土顆粒間抗剪強度由 2個部分組成：一部分是外荷載，另一部分是由吸力引起的顆粒間作用力，強度與顆粒間作用力成正比；吸力是通過增加顆粒間作用力來提高強度的，其顆粒間作用力并非隨著吸力增加而呈線性增加。這從微觀上解釋了宏觀表達式中吸力項強度并非隨吸力增加線性增加。

(2) 密實和松散干顆粒材料在剪切過程中分別呈應變軟化和應變硬化現象，這與傳統土力學相符；本研究顆粒級配松散顆粒材料在吸力為100和200 kPa、圍壓為50，100和200 kPa條件下均呈應變軟化，說明吸力可以改變應力?應變特性。

(3) 在剪切過程中，主要是外荷載引起接觸組構變化，吸力影響很小，說明吸力的作用近似各向同性。

(4) 在相同吸力下，圍壓越大，接觸點數目越多，毛細水對抗剪強度的貢獻越大。

(5) 實際中的顆粒材料并非球形，顆粒之間存在咬合作用，下一步是要將考慮顆粒之間抗轉動能力的模型引入三維離散元非飽和顆粒材料的分析。

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(編輯 陳愛華)

Numerical simulation of triaxial shear test of dense and loose granulates under constant suction by discrete element method

JIANG Ming-jing1,2，HU Hai-jun1,2

(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education,Tongji University, Shanghai 200092, China)

The effect of suction on the strength of unsaturated dense and loose granulates from macro and micro view was investigated by three-dimensional discrete element method (DEM). The samples were generated by multi-layer with undercompaction method and then consolidated under different confining pressures. Based on the similarity theorem, the suction contact model was implemented into a three-dimensional DEM software to calculate interparticle force due to capillary water. Triaxial shear tests were performed on the cubic unsaturated samples to study shear strength of samples.Macroscopic variables (e.g., axial stress, axial strain) and microscopic variables (e.g., average coordination number,contact fabric) during shear test under different consolidation stresses with different suctions were measured. The results show that suction leads to higher shear strength and average coordination number of granulates than dry granulates. When the vertical load increases, the main contact orientation moves towards the vertical direction. Under the same suction, the numbers of contact points and shear resistance due to capillary water increase with the confining pressure.

unsaturated soil; discrete element method; suction; shear strength; fabric; coordination number

TU441.32

A

1672?7207(2010)06?2350?10

2009?10?15；

2009?12?21

國家自然科學基金資助項目(10972158)；國家杰出青年基金資助項目(51025932)

蔣明鏡(1965?)，男，江蘇如皋人，教授，博士生導師，從事天然結構性黏土、砂土、太空土、深海能源土、非飽和土的宏觀和微觀試驗、本構模型和數值分析研究以及土體逐漸破壞分析研究；電話：13761404246；E-mail: mingjing.jiang@tongji.edu.cn