《數學分析》課程內容與教學方法的研究

郝 彥

(浙江海洋學院數理與信息學院，浙江舟山 316004)

《數學分析》課程是高等院校數學與應用數學專業和信息與計算科學專業最重要的基礎課程之一，其內容經典、體系完整、理論嚴密、應用廣泛。這門課程在大學1-2年級開設，教學時數最多、學分值最高，對后續的微分方程、復變函數、實變函數、泛函分析、概率統計、微分幾何等的教學有直接影響，是數學專業研究生必考科目。《數學分析》學得好壞也常作為衡量學生基礎是否扎實的一個重要標志，正因如此，其教學與課程建設在許多學校都受到高度重視，該校這門課程在2003年被確立為校級重點建設課程，2007年被確立為校級精品課程。

《數學分析》的教學方式在許多學校幾乎與50年前的教學方式一樣，數學學科的發展與數學教學之間并未起到相互促進作用。面對20世紀下半葉，高等教育從“精英教育”到“大眾教育”的轉變，《數學分析》教學方法的研究也越來越引起人們的重視[1-5]，筆者在《數學分析》的課程內容和教學方法上也做了一些研究，經過幾年的教學實踐，取得了一定的效果，下面把筆者的做法作一總結，供同行們參考。

1 “分層次”教學方法的應用

提起分層次教學方法，現今各高校普遍使用的是根據成績而劃分的“快慢班”式的教學方式，這種做法在高等數學課程教學上還是比較適用的，但是對于《數學分析》使用這種教學方法的高校還是很少的。柴俊[2]對試行過“快慢班”式分層次教學的華東師大99級數學專業的學生進行過問卷調查，調查結果顯示對這種做法持贊成態度的學生比例不足20%，也就是說這種分快慢班式的教學方法學生是不贊成的，學生們不贊成分快慢班的一個重要原因是這種考核標準的特點是對學生的短處進行處罰，要求學生在任何一個方面均不能落后，而對學生的長處則鼓勵不夠。這或多或少在學生的心中留下了陰影，使許多學生因此對分“快慢班”的做法持反對態度。

筆者的“分層次”教學方法不是根據學生的成績對學生分層次，而是就數學分析的教學內容進行分層次，這種分層次方法的原因和具體做法如下：

筆者學校從2006級學生開始，為了培養學生多方面的知識能力，增加了選修課的學時，專業基礎課和專業課的教學時數都進行了一定量的壓縮。數學分析的教學時數由原來的288學時降為256學時，為了保證數學分析的教學質量，采取了如下分層教學法：

在《數學分析》前3個學期的教學任務完成后，第4學期開設了選修課《數學分析續論(1)》，以補充加深前3個學期沒有講完的內容，《數學分析續論(1)》的教學時數是48學時。把《數學分析》課程內容中理論性很難、相對獨立的內容，同時對第四學期的后續課程學習沒有影響的內容，如實數的完備性、可積理論補充、傅立葉級數收斂定理的證明等安排在《數學分析續論(1)》中講解。當然《數學分析續論(1)》還包括在前3個學期沒有補充深入講解的內容，如求極限的各種方法，包括前3個學期沒有講過的Stolz定理，黎曼引理，上、下極限等方法。

在第5學期開設了選修課《數學分析續論(2)》，教學時數48學時，是為部分考研學生開設的考研專項輔導訓練課。

這種“分層次”的教學思想，經過2年多的教學實踐，較好地滿足了各種層次的學生要求，學生反映效果很好。

2 加強對《數學分析》的課程內容和教學重點的研究

由于《數學分析續論(1)》和《數學分析續論(2)》都是選修課，勢必有一些學生不選這兩門課程。為此，學校非常重視《數學分析》前3個學期的教學內容的。在《數學分析》前3個學期的教學過程中，對《數學分析》的課程內容和教學重點進行了認真細致的研究。

1)高度重視《數學分析》課程內容的設計

數學分析是歷史悠久的經典課程，所涉及的內容具有很強的抽象性，根據學校數學與應用數學專業的專業方向的發展規劃及課程教學特點，“分層次”教學方法使用以來筆者對課程內容的設計就給予了高度重視。

數學分析的課程內容共包括3大塊：一元函數微積分、多元函數微積分、級數理論。

一元函數微積分部分是課程教學的最主要部分，是課程教學的重點部分。使學生首先建立極限的思想和運算，依此為工具來研究函數的變化率問題—導數問題，通過對導數與微分的運算的掌握，研究導數的逆運算問題—不定積分問題，通過牛頓—萊布尼茨公式來解決定積分的計算問題等。這是整個教學的關鍵，其教學成敗直接影響到整個數學分析課程教學的成敗。

多元函數微積分部分是課程教學的難點部分，要求學生在空間中建立微積分思想。它要以學生前面掌握的極限思想為工具，研究多元函數的極限與連續問題，多元函數的變化率問題—導數問題，多元函數的改變量問題—微分問題，多元函數的積分問題，其中多元函數積分問題的教學是這一部分難點的難點。

級數理論部分從形式上看是數學分析課程相對獨立的一部分內容，實際上是用極限思想研究數學問題的繼續，是高等數學的有機組成部分。它包括數項級數、函數項級數、函數的級數展開問題(函數的冪級數展開、函數的三角級數展開—傅立葉級數)等。這些問題在其他后續課程中有廣泛的應用。

2)抓住《數學分析》課程的教學重點

《數學分析》盡管內容繁多，但在教學過程中只要抓住教學重點，繁多的內容還是可以簡單明了的。

在教學過程中首先是緊緊抓住“極限”這一線索，可以說極限思想貫穿整個數學分析的始終，極限理論是整個數學分析的基礎：導數是一類結構特殊的函數的極限；定積分、重積分、曲線積分、曲面積分都是某類特殊和式的極限；級數可以歸結為數列的極限。“逼近”的思想也要讓學生深刻地體會到：用割線代替切線；用很短時間間隔的平均速度代替瞬時速度；用若干個小矩形面積之和代替所求曲邊梯形面積；用折線段的長度代替所求曲線的長度；用多項式代替連續函數等.當然在教學中還要強調學生熟練深刻的掌握極限、導數和積分的各種求法。

其次是正確處理一元和多元的關系，一元函數的理論教學是基礎，通過一元函數的理論教學使學生明確《數學分析》的研究對象，扎實掌握所研究問題的思想、理論與方法。研究多元時要充分考慮一元函數的理論、思想與方法在多元函數研究中的遷移和滲透。

3 多媒體課件的合理使用

多媒體課堂計算機輔助教學目前正在各個高等院校蓬勃展開，但在數學課堂上是否適合使用多媒體教學一直以來還是一個備受爭議的問題，反對在數學課堂上利用多媒體的人認為：數學課的思維靈活、推理嚴密，單純的利用多媒體課件不能把一個問題的多種思考角度都體現出來，相應的一個問題的多種解法也不能體現出來，因為多媒體課件是事先做好的，討論時不如黑板教學靈活。再者一些定理證明的推導過程、題目的演算過程如果學生只是看多媒體上的屏幕的顯示過程，走馬觀花，效果肯定是不如用板書在黑板上一步一步地推導演算，事實上，教師在一筆一筆的板書的過程中，學生會緊緊地跟著教師的思路往下思考，這樣學生才能更好的體會和掌握做題的思路和步驟。筆者在《數學分析》教學中采用的方法是“粉筆+黑板”再加上“鼠標+屏幕”，將傳統教學方法與現代化教學手段相結合，以達到最好的教學效果。

《數學分析》課堂上在采用傳統教學方法的基礎上，結合使用多媒體課件，具有以下兩點優勢：

1)效率高、信息量大

利用多媒體課件主要是把問題的背景、定義、定理、例題以及圖形等直觀地展示給學生，而定理證明的推導過程、題目的演算過程以及學習中需要注意的地方由教師在黑板上板書，兩種方法相結合就節約了教師許多背對學生板書或畫圖的時間，這樣教師就有更多的時間用于講授新知識，從而提高了效率、加大了課堂的信息量。

2)效果好、印象深

多媒體教學不同于傳統的教學，它比較直觀生動、圖文并茂，可以把抽象的數學教學變得直觀生動。在傳統的黑板課堂教學中，學生難以想象出三維空間的一些圖形，比如旋轉曲面、馬鞍面等一系列圖形，通過多媒體的演示，學生對這些圖形的印象就非常深刻，從而可以幫助學生提高空間想象能力。再如在引進定積分和二重積分的概念時，我們要先求曲邊梯形的面積和曲頂柱體的體積，用一系列動感的畫面來演示分割、近似替代、作和、求極限的過程，從而學生就能清楚地理解定積分和二重積分的概念。這種生動的視覺效果能增加學生對一些抽象數學概念和方法的理解與掌握。

幾年的教學實踐證明，在數學分析的課堂教學中，將傳統的教學模式與現代的多媒體教學合理有效地結合起來，既提高了課堂教學的效率，又加強了課堂教學的效果，從而在有限的課堂教學時間里，最大限度的發揮傳統教學方式與多媒體課件在提高教學質量方面的作用。

[1]黃 貴.高師《數學分析》教學改革嘗試[J].赤峰學院學報:自然科學版,2005,21(5)：10-12.

[2]柴 俊.數學專業多模式分層次教學實證研究[J].高等師范教育研究,2003,15(5)：59-64.

[3]劉 瀏.淺談數學分析課程的教學[J].達縣師范高等專科學校學報:自然科學版,2005,15(2)：72-74.

[4]劉仁義.數學分析的教學創新研究與實踐[J].高等理科教育,2004(3)：61-64.

[5]馬新文.《數學分析》課程教學探析[J].瓊州學院學報,2009,16(5)：75-77.

[6]王美娟.高等數學習題課CAI的思考[J].上海理工大學學報:社會科學版,2004,26(1)：35-37.