數學學習材料的主要類型及內涵

張衛星

數學學習過程實質上是人腦對學習材料感知、理解、分析和整合的過程。學習材料是學生解決數學問題、獲得數學知識、提高數學能力的載體，是學生感受數學與生活的密切聯系，體驗數學價值，形成正確數學觀的重要資源。學習材料主要包括教材中的課程資源與教材外拓展的課程資源，如主題情境圖、數學問題、數學習題、教與學的操作材料等。教學中，組織不同的學習材料或對相同材料的不同組織，學生經歷學習的過程截然不同，學習材料的選擇和使用決定著學生對數學學習的興趣、對數學知識的理解以及學習過程的生動性。而合理選擇和使用學習材料的前提是對學習材料本身有一個深刻的認識。下面，筆者從學習材料之間的相互關系這一視角切入，與大家一起探討數學學習材料的主要類型及內涵；

一、邏輯性材料——讓學生理解數學規律

數學區別于其他學科最本質的東西是什么?那就是它的邏輯性。一個有邏輯性的學習材料不僅能使學生在學習過程中體驗到數學邏輯的特性，更為重要的是它符合學生的認知發展規律。邏輯性學習材料，即學習材料之間存在一定的內在層次性和關聯性，學習材料之間的素材基本相同，但同時又具有一定的遞進性。邏輯性學習材料有助于促進學生對數學知識和數學規律的理解。

例如，一位教師在教學《搭配中的數學問題》時，先讓學生充分探究“2件衣服，3條褲子的搭配方法”，之后并不急于概括搭配的一般方法，而是順勢改變例題的條件，為學生提供如下一組學習材料：

1如果有2件衣服，4條褲子，有幾種搭配方法?

2如果有3件衣服，5條褲子，有幾種搭配方法?

這組學習材料的設計，注重數學材料內在的層次性和邏輯性，利于學生自主探究、發現規律。當提供這組材料時，教師可以引導學生自主探索、積極思考，發現數學規律。由“2件衣服，3條褲子”的搭配到“2件衣服，4條褲子”以及“3件衣服，5條褲子”的搭配，這樣拓展的目的不僅僅是為了讓學生通過不完全歸納發現規律：衣服的件數×褲子的條數=搭配的總數，更為重要的是讓學生較好地實現由具體問題向相應“數學模型”的過渡。

二、結構性材料——讓學生認識數學本質

“結構”指的是相互關聯的方式。數學教學中材料的“結構”是指材料在被使用時能揭示數學知識的本質。通俗地說，所謂結構性材料，指的就是教師經過精心設計的典型教學材料的組合，這些材料所呈現的問題情境可能不同，但問題的內部表征是一樣的，主要是讓學生在經歷問題探究的過程中理解數學情境的本質結構。數學材料沒有結構性，探究活動就無法典型、深刻和精致，教學目標特別是知識目標就僅是“點到”而非“達到”。因而，教師精心設計、選擇、提供的結構性材料是探究活動得以開展的根本，是學生參與實踐、自行探究的前提，對于實現有效探究與意義建構的統一具有樞紐性的作用，是促進學生形成數學素養的關鍵。

例如，一位教師在教學《100以內數的認識》時，經歷了如下的教學片斷：

師：我們班有幾位小朋友，誰能領著大家數一數。(邊點邊數，數到47。)

師：剛才數人數時數到了47，還能接著數嗎?(叫了幾位學生接著往下數。最后全體學生一起往下數，數到100。)

師：請看一下你桌上的小棒或小豆子，你能估計出大約有多少嗎?(同桌兩人，一人是小棒，一人是豆子。)

生：100、23、88、50。(四名學生分剮回答。)

師：小朋友到底估得準不準，怎么辦呢?

生：數一數。

師：用你喜歡的方式來數一數。(學生數數。)

師：你數出來的數與你估計的數接近嗎?接近的請舉手。

師：請每位小朋友想一想，怎么樣能使別人一下子就能數出來?可以利用桌上的小袋子或牛皮筋。(學生操作活動。時間較長，有的學生10粒10粒一包，有的學生10根10根1捆，有的學生5粒5粒一包，還有學生4根4根一捆。)

教師展示部分學生作品：一位學生10粒10粒一包。一住學生是10根10根一捆，一位學生是3根3根一捆。還有一位學生是5粒、6粒、13粒、3粒，亂的。你覺得哪種方法數起來最方便?

生1：第一位同學10粒10粒一包，4包是40粒，還有3粒，是43粒。

生2：第二位同學10根10根一捆。3捆是30根，還有6根，是36根。

師：你們喜歡這兩種方法嗎?用這樣的方法試一試。

教師通過大屏幕呈現一位學生的作品：52粒豆子，5個10和2個1舍起來是多少?

生：52。

教師用小棒呈現4個10和2個1，合起來是多少?

生：42

上述教學從數學生人數開始，初步感知100；再通過數小棒、數豆子等操作活動，來理解100以內各數是由幾個“十”和幾個“一”組成的。體會“滿十進一”的進位制和數位的意義，在估數、數數活動中培養學生的數感。上述教學中，學生人數、小棒根數、豆子粒數都是學習材料，這些材料從表面上看好象沒有聯系，但這些材料的內在特征都是一樣的，都是由幾個“十”和幾個“一”組成，通過操作活動可以使學生較好地理解學生人數、小棒根數、豆子粒數所蘊含的本質結構，從而培養學生的思維遷移能力。

三、系統性材料——讓學生建構系統數學

數學是一門系統性很強的學科，各部分知識之間的縱橫聯系十分緊密。因此，能否根據知識的發生、發展規律構建系統性學習材料就成為數學教師的一種教學智慧。所謂系統性學習材料，就是根據數學知識的內在結構組織的學習材料，各學習材料之間聯系緊密，所有學習材料圍繞課題構成一個相對完整的知識系統。學生經過學習，能獲得相對完整的數學知識及結構。從某種意義上說，系統性學習材料的實質也是一種結構性材料，但它的范圍更深廣，內涵更豐富。

例如，《工程問題》包含以下知識點：求合作完成整項工程的時間；求合作完成整項工程的幾分之幾；求合作完成部分工程后還乘下幾分之幾；求合作完成部分工程的時間。這四個知識點中最重要的是第一個知識點，即工程問題的基本模型1÷(1/a+1/b)，教學時就要圍繞這一基本模型展開，其余知識點則在完成基本模型的建構后以變式的形式呈現。為此，筆者組織了以下學習材料：

1一條公路全長2400米，由甲工程隊單獨施工，需8天完成；由乙工程隊單獨施工，需12天完成。兩隊同時施工，需多少天完成?

2把“一條公路全長2400米”變成“一條公路全長600米”。

3把“一條公路全長600米”變成“一條公路全長200米”。

4把“一條公路全長200米”變成“一條公路全長12米”。

5把“一條公路全長12米”變成“一條公路全長a米”。

6把“一條公路全長a米”變成“一條公路”。

7把“需多少天完成?”變成“一起做3天完成這條公路的幾分之幾?”

8把“需多少天完成?”變成“舍做完成3天后，還剩下這條公路的幾分之幾?”

9把“需多少天完成?”變成“幾天完成這項工程的3/5?”

10把“兩隊同時施工，需多少天完成?”變成“甲隊先做3天，剩下的由乙隊來完成，還需要多少天?”

上述10個學習材料都在同一情境中順次展開，內在聯系非常緊密。當學生完成這10個學習材料的學習后，對工程問題就有了一個比較系統的認識。

四、比較性材料——讓學生厘清數學知識

著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”小學生學習數學知識，需要通過對數學材料的比較、分析來認識知識的形成過程，把握知識的來源，理解知識的內在聯系與區別。因此，在小學數學教學過程中根據教材的特點恰當運用比較性學習材料，可以使學生順利接受新知識，提高辨別能力，從而扎實地厘清并掌握數學知識，獲得規律性認識。

例如，在教學《圓錐的體積》時，筆者經歷了如下的教學片斷：

師：請各小組從實驗器材(兩個圓柱容器和兩個圓錐容器)中選一個圓柱容器和一個圓錐容器，利用圓柱容器、圓錐容器、水進行實驗，共同探究圓柱體積與圓錐體積之間的關系。

6個小組展開合作實驗：有的用圓錐裝滿水往圓柱里倒，有的用圓柱裝滿水再倒入圓錐，有的觀察水的高度，有的記錄實驗數據。必須說明的是，其中三個小組使用的圓柱和圓錐分別是等底等高的。另外三個小組使用的分別是等底不等高、等高不等底、或底高均不相等的。

師：通過實驗，你們有何發現?

組1：我們實驗時，用圓錐三次裝滿水連續倒在圓柱里，圓柱正好裝滿。這說明圓錐的體積是圓柱體積的1/3。

組2：我們用圓柱裝滿水往圓錐里倒，等到圓錐第三次裝滿水，圓柱里的水也正好倒完。這說明圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

組3：我們組實驗的結果與前面兩組基本一致。

組4：我們用圓錐三次裝滿水連續往圓柱里倒，圓柱并沒有裝滿，所以，我們認為圓錐的體積不是圓柱體積的1/3。

組5：我們組實驗時，用圓錐裝滿水往圓柱里倒，倒完第二次后圓柱就滿了。

組6：我們還要快，圓錐第一次裝滿水倒入圓柱后。圓柱就滿了。

師：根據這些實驗組的匯報，我們可以把結論分成兩大類：1、圓錐的體積是圓柱的三分之一；2、圓錐體積不是圓柱的的三分之一。這是怎么回事呢?同樣的實驗為什么會得到不同的結果呢?

學生陷入了沉思。開始對整個實驗過程進行回顧。

生：是不是我們實驗所用的圓柱和圓錐有什么差剮呢?

“一語驚醒夢中人”，學生開始用各種方式比較各組所用的圓柱和圓錐，也有的拿起尺子開始測量圓柱和圓錐的底和高……

上述教學中，學生使用的學習材料就是比較性學習材料。通過對這些比較性學習材料的操作與思考，學生可以真正厘清圓柱體積和圓錐體積之間的內在聯系，從而真正理解圓錐體積公式的內涵。

五、整體性材料——讓學生領悟數學內涵

教材是由一個個知識點組成的，其呈現方式是按照一定的知識序列逐一呈現的，但其蘊涵著極強的結構性。如果我們在使用教材時仍然按照教材中的知識序列對知識點一個個孤立地進行教學，那么具體的知識與抽象的結構性知識就無法有機結合，零星的知識就無法納入完整的知識體系中。因此，教師在教學中要突破教材的束縛，學會從整體結構的高度分析和組織教材。所謂整體性材料，就是指從局部看學習材料之間好像沒有什么聯系。但是把這些材料整合在一起，通過一定的相互作用就可能形成一個整體并產生1+1>2的整體效應。

例如，在教學《三角形三邊關系》時，一位教師經歷了如下的教學片斷：

師：如果用小棒來圍三角形，要用幾根?

生：3根。

師：請用你們手中的小棒擺一擺，看看能不能圍成一個三角彤?(每捆小棒5根，分別由2厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的小棒組成。)

師(出示合作要求)：

1從所給的小棒中任意選擇三根，共有幾種選法?在紙上記錄下來。

2判斷所選擇的三根小棒能夠圍成一個三角形嗎?

3討論能夠圍成三角形的三根小棒具有什么特點?

學生開始合作，教師巡視指導。

師：誰來匯報第一個問題?(生匯報，教師板書記錄。)

師：上述選法中，哪些選法的結果不能圍成三角形?

生1：選2厘米、2厘米、4厘米這三根小棒圍不成。

生2：選2厘米、2厘米、5厘米這三根小棒圍不成。

生3：選2厘米、3厘米、5厘米這三根小棒圍不成。

師：現在，你們有什么話要說?

生：不能圍成三角形的結果有兩種，一種是兩根小棒的長度之和與第三根小棒相等，另一種是兩根小棒的長度之和比第三根小棒短。

師：那么，能圍成三角形的三根小棒之間又有什么關系呢?

生：能圍成三角形的三根小棒，任意兩根小棒的長度之和大于第三根小棒。

師：你為什么要加上一個任意?能舉例說說嗎?

生：比如第一組小棒：2厘米+2厘米>3厘米；2厘米+3厘米>2厘米。因此，我認為能圍成三角形的三根小棒，任意兩根小棒的長度之和都大于第三根小棒。

師：你們聽明白了嗎?誰還能像他這樣來說說能圍成三角形的三根小棒之間的關系?(生回答。)

師：誰能用你所學過的知識來解釋這一現象呢?

師：兩點之間直線距離最短。

上述教學中的學習材料是一組小棒，這組小棒的長度分別是2厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米。這些小棒從表面上看好像沒有什么聯系，但通過操作活動卻產生了整體效應：兩根小棒長度之和小于第三根小棒不能圍成三角形；兩根小棒長度之和等于第三根小棒不能圍成三角形；兩根小棒長度之和大于第三根小棒才能圍成三角形。在此基礎上，讓學生概括三角形的三邊關系也就水到渠成了。可見，整體性學習材料必須要通過一定的整合與使用才能產生整體效能。

在異彩紛呈的學習材料中，我們應努力認清材料的本質，思考和挖掘每一個學習材料的數學價值，盡量將各種材料進行有機整合，發揮它們的最大價值，從而盡可能多地引導學生經歷數學知識的發生、發展過程，使數學課堂充滿生命活力。

責任編輯：陳國慶