習題解答重在價值挖掘

張秋爽

習題在很大程度上承載著評價的任務：知識點是否清楚，數學思想方法是否掌握，是否會應用和拓展，能否遷移到新情景等等。下面這道習題我用列表給學生講了很多年，自己倒是輕車熟路，但這樣的重復對于學生和自身發展有益嗎?仍舊在老路上行走、徘徊的滋味時時侵蝕著我。如何對習題進行恰當的引導，并不斷變換新情景，對題目進行合理的創造，既讓學生經歷過程、體驗方法，又領悟思想?如何找到學生舊知識中的生長點，將其延伸到其他的領域，讓學生體會到舉一反三的數學學習的價值?下面是我對這道習題處理的三次嘗試和思考。

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[習題]兩個數的和是10，這兩個數的積最大是多少?

[第一次嘗試]

三年級的學生拿到這個題目，有些學生覺得無從下手，有的學生經過一段時間嘗試后能夠得出：這兩個數的積最大是25。

如何呈現學生的思考過程，讓所有學生都明白呢?

師：兩個數的和是10，這兩個數分別是幾?

生1：這兩個數不確定，有很多的可能性。

師：可能是什么?

生2：可能是3和7，可能是2和8，可能是4和6，可能是1和9，還可能是5和5。

師：這么多的可能性，也記不住呀!誰能讓大家記住這些可能性?

生3：這兩個數可能是1和9，可能是2和8，可能是3和7，可能是4和6，還可能是5和5。

師：這樣的有序表達能讓大家記住，其實這就是有序思考的價值。

生4：這就是我們很小的時候學習的10的分解與組合。

師：你真會聯系!數學就需要這種聯系的方法來解決問題。那我們怎樣寫出來更清楚呢?

生5：我們列表吧，可以把這些答案一一呈現在眼前。

這樣的題目，從學生已有的知識出發，讓學生體會到數學知識之間是有聯系的，舊知識是新知識學習的基礎。在數學學習過程中，要學會有序思考，這樣才能不遺漏、不重復；學會了思考還遠遠不夠，更要學會表達，讓別人看清楚自己思考的過程。嘗試列表是一種非常重要的數學方法，為提升學生解決問題的能力提供了新的思路

[第二次嘗試]

上面的解答讓我欣喜過，在解題過程有學生對“有序思考”的詮釋，有對舊知識的關注。難道這樣的解答就能讓所有的學生明白嗎?學生的已有認知中只有“10的分解與組合”支撐他們對這道題的學習嗎?

于是，我進行了第二次嘗試，在學生理解題意的基礎上。找出兩個加數的可能性，讓學生列表寫出思考過程，找出了最大的積是25后，我又給學生呈現了《乘法口訣表》進行教學：

師：請你找出符合此題答案的乘法算式，說說這些算式有什么特點?

生1：這些算式有1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24和5×5=25。

生2：這些算式的積越來越大。

生3：一個因數越來越大，另一個越來越小，它們相加得10。

師：同樣是相加得10的兩個數，乘積有大有小。你們能判斷出什么時候乘積比較大，什么時候乘積比較小嗎?

總結：和一定，差小積大。

下面大家先看一個圖，你看到了什么?

生4：我看到一個長方形的長是9，寬是1，面積是9；還看到一個正方形邊長是5，面積是25。

師：你是從面積的角度來觀察的。

生5：我看到長方形和正方形的周長相等，都是20，但是正方形的面積大。

師：所以“兩個數的和是10，這兩個數的積最大是多少?”這道題隨著新知識的學習，又可以換成“兩個周長相等的長方形和正方形，哪個圖形的面積比較大?”其實，我們今天的這道題還可以轉化為“周長都是20的長方形和正方形，哪個圖形的面積比較大?”

在學生完成題目的解答之后，教師并沒有停留在答案本身，而是從學生已有的知識中進行合理的建構——把學生倒背如流的乘法口訣進一步進行開掘，作為學生對這個結論理解的另一扇窗戶，這樣不僅溝通了知識間的內在聯系，而且讓學生覺得許多知識萬變不離其宗。除此之外，學生思維的憑借有三種：一種是基于形象的思維，一種是基于動作的思維，一種是基于符號和邏輯的思維。這里考慮了學生思維的特點，運用數形結合的思想幫助學生對所學知識的理解，符合學生的認知特點。最令人欣喜的是教師能夠挑出數論中的習題，和空間與圖形領域巧妙結合，在變中求不變，從而幫助學生建立模型。

[第三次嘗試]

學生會列表了，也能從原有認知中找到乘法口訣這個舊知識點作為進一步學習的支撐，在此基礎上還運用了數形結合的思想讓學生遷移到另一類有關周長一定、面積大小比較的問題。這些都是在教師引導下完成的。能不能讓學生自己探究此類習題呢?

首先讓學生獨立思考，嘗試用舊知識解決新問題，接著在小組內討論。最后在全班交流。

有的學生真能想到用乘法口訣作為例證，說明“和一定，差小積大”；有的學生能列表枚舉出所有的答案，還有的學生能用數形結合的方法畫圖來說明：當兩個加數差最小時，積最大，當兩個加數差最大時，積最小。

我們既然可以用二維(面積圖)來詮釋“和一定，差小積大”，能不能用一維的數直線來表示呢?

數直線雖然是一維，沒有數形結合的形象直觀，但是，數直線中這種對稱的美讓學生感受到也是不易的。沒有這樣的工具，學生根本體會不到。數學的本質是對數學美的追求，其中對稱是數學美的核心。由此看來，這三次嘗試，每次都有價值，每次都有拓展和新的視角，這對于學生來說是必要的。

做完題后：我們并沒有滿足學生會做這一道題，而是向這一類習題擴展和遷移。這是學數學的價值所在。于是我進行了又一次延伸的嘗試：

師：“和一定，差小積大”這個規律只適用于表內乘法嗎?你還能找出這樣的一個算式來說明這個規律嗎?

生1：11×9和12×8，這兩個算式中因數的和都是20，因為11-9=2，12-8=4根據“和一定，差小積大”的規律，所以11×9>12×8。

師：這個例子舉得好!會舉例說明規律是理解規律或概念最重要的方法。我們的規律真的適合較大數相乘的大小比較嗎?

生2：老師，肯定適合。這兩個算式，我都口算過，11×9=99，12×8=96，和我們的規律是吻合的。我還能舉出更大的數，如113×7和114×6。這兩個算式中因數的和都是120，而113-7=106，114-6=108，所以113×7>114×6

生3：我還舉了兩位數乘兩位數的例子。如23×57和24×56，這兩個算式中因數的和相等，都是80，因為57-23=34，56--24=22根據“和一定。差小積大”的規律，所以23×57<24×56。

通過復習乘法口訣表，對筆算乘法進行了梳理溝通，并在乘法口訣表中發現新問題，提煉新方法，提升學生從不同的角度看問題的意識。由此可見，不斷地嘗試和探索，讓教師不在習慣中行走，每一天都有新的想法，每種做法都有其獨特的價值。

責任編輯：陳國慶