線性代數課程基本概念的常見教學法*

趙偉舟

第二炮兵工程學院數學室 西安 710025

作者：趙偉舟，第二炮兵工程學院基礎部數學教研室，講師，碩士。

線性代數課程是工科院校開設的一門數學基礎課，其內容是研究線性空間的重要基礎，為解決線性問題提供了重要工具。線性代數課程對于培養學員線性問題的求解能力和線性空間的思維能力具有重要意義。

1 線性代數的課程特點

基本概念通常是數學課程的教學重點和教學難點，深入理解基本概念是數學課程學習的前提，基本概念的教學方法將直接影響數學課程的教學效果。線性代數課程包含較多的基本概念，這些概念通常缺少必要的實際背景。此外，線性代數課程的自身特點也容易導致教學中的諸多問題。以第二炮兵工程學院開設的線性代數課程為例，該門課程在學時安排和內容講解上具有2個特點。

1.1 學時緊張

線性代數課程教學時間一般分配為30～38學時，在這一時間內完成線性代數課程的詳細講解幾乎是不可能的。為提高教學效率，即使教學實施期間嚴格區分了重點內容和難點內容，仍因教學時間的嚴重不足，導致線性代數課程的講授無法深入進行，教學測試結果普遍反映出學員對線性空間的理解較為膚淺，知識掌握僅停留應用簡單的方法進行相關計算，缺少完整的理論體系和求解線性問題的實際能力。

1.2 案例缺乏

線性代數課程主要討論線性問題，主要是線性方程組的解法。雖然許多問題的求解都可歸結為線性方程組求解，但以具體實例作為授課內容的案例組織課堂教學并非易事。究其原因，由線性方程組研究解的情況容易，而借助特定的方程組難以還原生活中的具體實例。教學過程缺乏實際案例，課堂教學容易陷入基本概念＋性質＋定理的教學模式，難以從建模角度培養學員分析問題和解決問題的數學能力，課堂氛圍易顯枯燥和乏味，難以調動學員線性代數課程學習的積極性。

2 線性代數課程基本概念的特點

線性代數的課程內容決定了基本概念具有不同于其他數學課程基本概念的特點，主要體現在3個方面。

2.1 概念多

線性代數課程包括行列式、矩陣、向量組和二次型，各章節自成體系，從不同角度進行線性問題的研究。各章節具有自成體系的概念、性質和定理，過多的基本概念增加了線性代數課程的理論教學內容，也弱化了線性代數課程的工具課特質，使得課程教學容易陷入理論教學授課模式。

2.2 概念抽象

抽象的概念幾乎是所有數學課程研究的出發點，但是與其他數學課程不同的是，線性代數課程的基本概念幾乎無法在實際問題中找到相應的原型，多數概念的提出是在求解過程中按照某種條件或需要給出的某種定義。

2.3 定義方式多樣

線性代數課程的某些基本概念具有多種定義方式，這些定義從不同角度闡述同一概念，不少概念的定義方式相當靈活（常見于某些教材和教輔資料），學習過程容易混淆概念。

3 線性代數基本概念的教學方法

鑒于線性代數的課程特點和概念特點——缺乏生活實例和數學原型，因此通常的“開門見山式”給出概念顯得內容承接不夠自然，學員對概念的形成過程難以與以往知識形成必然聯系。筆者認為，線性代數課程的基本概念教學可采用下面幾種方法，以解決或緩解概念教學過程中出現的諸多問題。

3.1 設問式

設問式教學主要是通過合理設問，促使學員積極思考，引出章節內容，給出基本概念。該方法適用于章節內容易從某個數學問題引入的情形，合理的設問可以體現在內容回顧和問題分析上，不疑不思。通過開課前的設問，可以培養學員積極動腦的學習習慣，盡快融入課堂教學過程。線性代數課程教學基于學員的知識水平進行恰如其分的設問，學員依據問題進行必要的思考和回答，不但可以及時反映學員的知識接受情況，而且可以師生互動活躍課堂氣氛，最終促進學員對基本概念的深入理解。

3.2 啟發式

啟發式教學可以避免開門見山給出數學概念的突然性，避免教學過程中內容的銜接不當。教學過程中不斷啟發學員，使之緊跟教學進程。根據教學內容啟發學員充分理解基本概念的內容和意義，啟發學員自行發現概念所具備的顯而易見的結論（性質），通過分析，啟發學員發現可能存在的一般結論（定理）。運用啟發式進行線性代數基本概念的教學，重在啟發學員根據實際問題構造所需的數學概念。然而，啟發過程應盡可能地圍繞基本概念進行環環相扣的詳盡分析，幫助學員深刻理解其本質，而不僅僅停留在基本概念的內容識記上。

3.3 案例式

案例式教學主要適用于講授內容可歸結為解決某一類實際問題的情況，課堂設計以案例作為主線，從理論到方法組織教學，從案例抽象出數學概念，詳細分析概念所具有的性質，最后再回到具體案例，進行相關具體方法的討論。這一方法引出概念較為自然，講授過程易于結合實例將抽象問題具體化，活躍課堂氛圍。案例教學可以培養學員的建模思想，提高學員的數學應用能力，學員能從案例求解中逐步體會“學以致用”的特點。值得注意的是，案例式教學仍應以基本概念教學為主，而不僅僅只是為解決案例中的具體問題。案例式教學需要幫助學員認識到建立線性代數基本概念的實用性，但不能過分強調案例求解的具體過程，否則會影響線性代數課程的基本工具特性，學員會形成某一概念或方法只能解決這一具體實例的錯覺。

3.4 類比式

線性代數課程的某些基本概念，是高等數學或其他數學學科中某些概念的推廣；還有一些概念名稱相同，卻在不同問題的研究中經常出現；更有一些概念雖名稱不同，卻具有相同實質。將類比法應用于聯系緊密的基本概念教學，不但可以避免新概念的生硬引入，又可以在課堂教學中積極引導學員復習已有的概念或知識。在舊有概念和嶄新概念之間形成類比，有助于學員對相近概念進行必要的區分和聯系，深入理解基本概念并改善教學效果。

3.5 其他

隨著計算機逐步進入課堂，線性代數課程的某些基本概念，同樣可以借助多媒體教學深入講解。多媒體教學改善線性代數以及其他數學課程的教學效果是有目共睹的，但是絕不能完全代替板書推導，尤其是線性代數這類以計算為基礎的數學學科。

4 結語

線性代數課程的基本概念是理解線性空間理論的基礎，忽視基本概念教學法的研究和使用，將直接影響學員對基本概念的深入理解，無法從更深層面理解線性代數課程作為工具課的特性。此外，應用教學法應注意兩個問題：一是教學法在講授線性代數課程的基本概念時不是一成不變的，不是說某一基本概念只能用某種教學法，教學法應當是根據課堂教學的實際情況，不斷調整教學的基本方法；二是教學法也不是孤立的，對某些重要概念可以借助多種教學法進行講解，以促進學員從不同角度真正理解概念的內涵和具體應用。

[1]同濟大學數學教研室.線性代數[M].北京:高等教育出版社,1986

[2]教育部人事司.高等教育心理學[M].北京:高等教育出版社,1999

[3]李克東,謝幼如.多媒體組合教學設計[M].北京:科學出版社,1992

[4]教育部高教司.高等教學改革研究報告（非數學專業）[M].北京:高等教育出版社,2000