環肋圓柱殼應力計算的新方法探索

王小明 陳節貴

1中國艦船研究設計中心，湖北 武漢 430064

2中國艦船研究院，北京 100192

環肋圓柱殼應力計算的新方法探索

王小明1陳節貴2

1中國艦船研究設計中心，湖北 武漢 430064

2中國艦船研究院，北京 100192

基于對目前環肋圓柱殼應力計算方法缺陷的認識，文中引入了加強棱柱殼體法，推導出環肋圓柱殼靜力微分方程，通過將位移以傅立葉級數的形式展開，求出了環肋圓柱殼的位移解，進而得到環肋圓柱殼的應力解。通過算例計算表明，除環肋圓柱殼內表面縱向應力和肋骨周向應力外，用該方法的計算結果與傳統方法的計算結果和有限元法結果都相接近，并且縱向應力與周向應力由外到里的變化規律與傳統方法也相同。

環肋圓柱殼；應力計算；加強棱柱殼體法

1 引言

柱形殼體結構強度好，耗材省，易于加工，結構簡單，且具有良好的水動力學性能，因而廣泛應用于水工和船舶結構物上。潛艇耐壓殼是環肋圓柱殼，是非常典型的柱形殼體結構之一。對于環肋圓柱殼的應力計算，傳統的方法是將其處理成一維彈性基礎梁［1-2］，這種方法實質上是假定環肋的形心與殼板重合，環肋的全部面積都集中在殼板的中面上，所以無論是內肋骨還是外肋骨，無論肋骨腹板的高與低，只要肋骨面積相同，其結果都一樣，這種不考慮肋骨形心的偏離影響及內外肋骨差異的結構分析方法顯然是不合理的［3］。在計算機技術高速發展的今天，有限元數值計算已經成為結構分析的有力工具，幾乎可以用于計算任何的結構，但是它也存在一定的缺點：其一，數據準備困難，對于大型的復雜結構，建立有限元模型需要耗費大量的人力，且一旦結構設計需要修改，有限元模型修改就很困難，又需要重新建立模型，非常繁瑣；其二，精度與時間的矛盾，有限元法原則上是單元離散得越小，計算精度越高，計算耗時也就會成比例增加。

基于對現存環肋圓柱殼應力計算方法各種缺陷的認識，本文引入一種名為“加強棱柱殼體法”的計算方法［4-6］，推導其在兩端簡支環肋圓柱殼應力計算中的計算公式，用于計算一算例，并與傳統計算方法和有限元法比較。

2 基本假設和定義坐標系

加強棱柱殼體法的推導基于以下基本假設：

1）薄殼假設，厚度與殼半徑a相比是小量，t／a＜＜1／20；

2）小變形假設，殼體位移與其厚度相比是一小量；

3）直線法假設，薄殼變形前垂直于中面的直線變形后仍為直線，且垂直于中面，z向的應變εz＝ 0；

4）中面法線方向上的應力與其他方向上的應力相比可以忽略，即σz＝0；

5）殼體材料是彈性的，各向同性；

6）采用唐納爾（Donell）假設，忽略中面位移u、v對殼體曲率的改變及扭轉改變的影響。在殼體中面內力平衡方程中（x向，y向），忽略中面外橫向剪力 Qx、Qφ的影響。

對柱殼建立如圖1所示坐標系。x軸沿殼體中面母線方向，y軸沿殼體中面的子線方向，y軸也可以用角度來度量，y=a φ，z軸沿殼體中面徑向，以背離圓心為正。

3 柱形薄殼的靜力微分方程

由于殼體的中面在變形前就存在曲率，因此殼體內的位移、應變、曲率的改變和內力等基本量之間的關系是比較復雜的［7］。

取殼體微元adφdx為研究對象，薄殼中應力的合力和合力矩是內力，內力是單位長度上的力。內力包括軸向力N和周向力Nφ、周向剪力Nxφ和Nφx、彎矩 Mx，Mφ以及扭矩 Mxφ，Mφx。 圖 2 和圖 3 所示為殼中內力，圖中所示方向皆為各力的正向。

由內力與位移關系表達式［5］和內力平衡條件，得到以位移形式表示的的柱形薄殼靜力微分方程式。

4 環肋圓柱殼的靜力微分方程

環肋圓柱殼的縱剖面如圖4所示，ξφ表示橫向肋骨加強材的間距，dφ表示肋骨橫截面的最大寬度，eφ表示肋骨橫截面寬度、是高度z的函數。

設橫向肋骨加強材有nr個，則

函數f（x）如圖5所示。假設加強材與殼體固結，即加強材與殼體內部變形規律相同，由此建立環肋圓柱殼的平衡微分方程式。

對于等間距密集分布的肋骨，當它們尺寸較小時，Huber建議肋骨的加強作用可以近似地認為均勻分布在兩相鄰肋骨之間的殼板上，這樣引起的誤差很?。?-9］。 所以

5 環肋圓柱殼靜力微分方程的解

5.1 齊次微分方程的解

方程式（11）～式（13）對應的齊次方程組中，中面位移是x和φ的函數。因此，可以將位移設成傅里葉級數形式，進行變量分離，從而將偏微分方程化成常微分方程。

式中，A，B，C 為待定系數；λ＝nπ／l，l是殼長。u，ν，w 的形式已經滿足了殼兩端（x＝0，x＝l）簡支的邊界條件。

將式（11）～式（13）對應的齊次方程消元化簡，然后分別得到u，v，w的8階常微分方程，可以求得這3個微分方程的特征值相同，令其為mj（j＝1 ～8），并設積分常數 Anj＝αnjCnj，Bnj＝βnjCnj，將含有 αnj，βnj形式的解代回原方程就可以確定 αnj，βnj。所以，齊次方程的解為：

式中，Cnj（j＝1～8）是 8 個待定未知數，用于滿足直邊的8個邊界條件。

5.2 微分方程的基本解

微分方程的齊次解是傅里葉級數形式表達的，因此外載也按傅里葉級數展開，即

由于實際潛艇環肋圓柱殼上受到力矩作用工況較少，所以本文不討論在外力矩作用下的基本解。外載F（x，φ）在x向被展開成了傅里葉級數形式，φ向的變化情況依外載沿φ向的分布不同而不同。先將外載分別取作沿x，φ，z向的3個單位點力，引進格林函數，求出單位載荷作用下殼體的位移，這就是基本解。然后就各種不同的外載對基本解沿φ向積分，積分的結果即為真實外力下的位移解。

殼體中面任意一點（x0，φ0）僅作用x向單位點力Fx為：

同樣將式（24）、式（25）分別代入式（11）～式（13），按照上面x方向單位點力的求解過程求解，亦可以求出與式（19）～式（21）相類似的解。

5.3 微分方程的特解

對于在深水中的耐壓潛艇圓柱殼的情況，圓柱殼在z方向受到均布壓力p（負數）的作用，在x方向受到縱向壓縮力T1的作用，作用在殼兩端（x＝0，x＝l）殼中面上。 由平衡條件可以求得：

將X1，X2，Z分別展開成傅里葉級數后代入x向和z向僅作用單位點力的基本解中，沿φ向積分。求出X1，X2和Z作用下，殼體的位移為：

根據微分方程解的結構，通解加特解即為當前受力狀態下圓柱殼的位移解。

5.4 邊界條件

由環肋圓柱殼的形狀和受力狀態可以確定邊界條件為：

6 算例

下面對一個環肋圓柱殼的實例，分別應用本文的方法與傳統的計算方法和有限元法計算其應力。環肋圓柱殼的計算參數如下：圓柱殼半徑a＝1 m，圓柱殼長度 l＝4 m，殼板厚度 t＝16 mm，殼板彈性模量 E＝2.1×1011Pa，泊松比 μ＝0.3。 肋骨采用角鋼 L80×50×6，間距 ξφ＝0.4 m，肋骨彈性模量和泊松比與殼板相同。圓柱殼受均布外壓力，p＝－8×106Pa，兩端簡支。除此之外，為了模擬潛艇耐壓殼在深水中的受力狀態，環肋圓柱殼兩端（x＝0，x＝l）還受到縱向壓縮力作用，該力為一線分布力，單位長度上的大小為－pa／2＝4×106N／m。

將加強棱柱殼體法的計算理論編寫成計算機程序，代入上面的計算參數計算，計算結果如表1所示 （計算結果只計算到傅里葉級數的前3項）。傳統計算方法和有限元法的計算結果也一并列在表1中。

表1 環肋圓柱殼應力計算結果

7 結束語

加強棱柱殼體法在薄殼理論中引入階躍函數，考慮了每一個加強材的具體位置和加強材的實際形狀，建立起環肋圓柱殼的靜力微分方程式，通過傅里葉級數，求出了微分方程的解析解。傳統方法中沒有考慮肋骨形狀對殼體的影響，在計算結果中只能給出肋骨的平均應力，肋骨不同位置的應力則無法計算，加強棱柱殼體法則可以計算環肋圓柱殼任何位置的應力。

從表1可以看到，除環肋圓柱殼內表面縱向應力和肋骨周向應力外與傳統計算方法計算結果相差較大外，其余應力和位移均與傳統計算方法計算結果和有限元法計算結果相接近。對于內表面的縱向應力，本文方法的計算結果與有限元法結果相接近，但與傳統方法計算結果相比，兩者誤差都較大；肋骨周向應力的有限元法結果與傳統法結果較接近，本文計算方法誤差較大，誤差達18.5%。由外表面到內表面，環肋圓柱殼縱向應力和周向應力大小依次的遞減規律也與傳統的梁帶理論觀點相吻合。各應力的計算結果中，本文方法的計算結果普遍偏大，在最危險的位置，本文方法的計算結果比有限元法的結果僅相差0.06%，而比傳統方法計算結果大7.2%。因此，在重要的結構中，計算環肋圓柱殼的應力時，建議用本文方法作輔助校核。

［1］許輯平.潛艇強度［M］.北京：國防工業出版社，1980.

［2］王曉天，許輯平.環肋圓柱殼應力計算中某些問題的研究［J］.應用科技，1990，8（1）：1－7.

［3］朱邦俊，萬正權.環肋圓柱殼應力分析的一種新方法［J］.船舶力學，2004（4）：61－67.

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［9］MUKHOPADHYAY M.Stiffened plate in bending ［J］.Computer＆ Structure，1994，50（4）.

New Method for Stress Calculation of Ring－Stiffened Cylindrical Shell

Wang Xiao－ming1Chen Jie-gui2
1 China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China
2 China Ship Research and Development Academy，Beijing 100192，China

Due to the limitation inherent to the traditional method， the stiffened prismatic shell method was incorporated into ring－stiffened cylindrical shell stress calculation.Using this method， a set of static force differential equations was established.Firstly，the ring－stiffened cylindrical shell displacement was dealt with the Fourier series and then the displacement solution was derived， further， the stress of ringstiffened cylindrical shell was obtained.Example calculations show that the stresses gotten by the new method are approximated to that by the traditional method and the Finite Element Method except the longitudinal stress inside the inner surface of ring－stiffened cylindrical shell and circumferential stress of ring， additionally， the longitudinal stress and the circumferential stress varying from outside to inside is the same as the traditional methods＇.

ring-stiffened cylindrical shell； stress calculation； stiffened prismatic shell method

U663.5

A

1673－3185（2010）05－49－05

10.3969/j.issn.1673-3185.2010.05.010

2009－10-09

王小明（1981－），男，碩士，助理工程師。研究方向：艦船結構設計與研究。E-mail：wangxiaoming2001＠126.com