基于三維各向異性擴散的圖像平滑及三維重構效果分析

蔣先剛，許倫倫，趙 瑩

(華東交通大學1.信息工程學院;2.基礎科學學院，江西南昌330013)

三維重構技術是由物體的一組二維切片重構出該物體的三維形體的過程。由于切片在采集的過程中不可避免地要受到噪聲的影響，所以在三維重構之前對切片集進行平滑等預理就顯得非常必要。各向異性擴散做為一種圖像預處理技術，不僅能有效的去除噪聲，還能保護邊緣信息，所以得到了廣泛的應用。但現有的各向異性擴散技術都是在二維平面進行的，這樣處理后的三維重構物體在水平方向往往具有良好的平滑效果，而在垂直方向的平滑效果則較差，器官組織在垂直方向的斷離現象比較明顯，因此需將通常的該方法拓展到三維空間去進行分析[1，2]。

本文驗證和實現了三維各向異性擴散的平滑方法，進而獲得了比較滿意的三維重構效果。程序運行環境為Windows Vista操作系統、Delphi 7軟件開發平臺，主機為1.73GHz，內存為2.0G，重構方法采用Marching Cubes和基于三維紋理的直接體繪制，重構的切片維數為256×256×136。

1 各向異性擴散模型機理

在圖像的平滑處理過程中，保持圖像特征與去除噪聲往往存在著矛盾。基于偏微分方程的圖像平滑技術，特別是Perona和Malik[2]在1990年提出的各向異性擴散方程，能較好地解決這一問題。各向異性擴散方程是從物理學中的擴散現象引申過來的，利用熱傳導系數來調控空間各點的擴散量，使擴散主要發生在圖像非邊緣區域，如此，隨著擴散的進行，低對比度的區域變得越來越平滑而高對比度的區域(如邊緣)則得到保持，從而實現了在平滑噪聲的同時能夠保留甚至增強圖像的邊緣特征。

各向異性擴散的方程如下[3]:

對于一幅灰度圖像而言，在梯度值較小的內部區域，灰度值變化比較緩慢，▽u較小，擴散系數c(|▽u|)較大，擴散強度較強;在梯度值較大的邊界處，▽u較小，使得擴散較少。經過多次迭代后，圖像內部區域非常光滑，而邊緣仍然得到保持，不會產生模糊效果。

2 二維空間圖像各向異性擴散平滑算法設計

考慮上下左右4個方向的梯度的二維擴散算法步驟如下[3-5]。

第一步:計算第n次迭代時，上下左右四個點的梯度，由于是二維各向異性擴散，所以只考慮單幅圖像，這里假設目標點是第z張切片ViewPicture[z]上的點fn(x，y)，其中，點fn(x，y)的梯度計算公式為

第二步:計算第n次迭代時，上下左右四個點的擴散系數，其中，點fn(x，y)的擴散系數為

第三步:計算第n次迭代擴散后，目標點fn+1(x，y)的灰度值。

其中:Δt是迭代步長，un(x，y)是第n步迭代時，點fn(x，y)的灰度值。

第四步:判斷是否迭代完畢，如果是則退出;否則繼續轉向第一步。

隨著迭代次數的增加，各向異性擴散在同質區域內的平滑效果將更好。考慮到運算效率問題并結合實際經驗，這里迭代次數取25，k取0.08，Δt取0.16。

3 三維空間圖像各向異性擴散平滑算法設計

考慮上下左右前后六個方向的梯度的三維擴散算法步驟如下。

第一步:計算第n次迭代時上下左右前后六個點的梯度。設目標點為第z張切片ViewPicture[z]上的點記為fn(x，y，z)，由于是三維各向異性擴散，所以要同時考慮第z-1張切片ViewPicture[z-1]上的點fn(x，y，z-1)和第z+1張切片ViewPicture[z+1]上的點。

第二步:計算第n次迭代時，上下左右前后六個點的擴散系數，其中，點fn(x，y，z)的擴散系數為

第三步:計算第n次迭代后，目標點fn+1(x，y，z)的灰度值。

第四步:判斷n是否大于約定的最大迭代次數，如果是則退出;否則繼續轉向第一步進行擴散。

4 實驗與分析

本文的實驗素材的是人體腦部的一組圖片，分別采用三維中值濾波、二維各向異性擴散、三維各向異性擴散對切片集進行了平滑處理，并用Marching Cubes和基于三維紋理的直接體繪制方法對經多種預處理方法處理后的切片進行重構效果比較。

圖1 原切片

圖2 經三維中值濾波處理后的切片

圖3 經二維各向異性擴散處理后的切片

圖4 經三維各向異性擴散處理后的切片

圖5 未經預處理的三維重構圖(MC)

圖6 經三維中值濾波處理后的三維重構圖(MC)

圖7 經二維各向異性擴散處理后的三維重構圖(MC)

圖8 經三維各向異性擴散處理后的三維重構圖(MC)

圖9 經三維中值濾波處理后的三維重構圖(DV)

圖10 經三維各向異性擴散處理后的三維重構圖(DV)

上圖中MC表示Marching Cubes重構算法，DV表示直接體繪制重構算法。通過實驗的圖5到圖10可以看出，二維各向異性擴散、三維各向異性擴散以及三維中值濾波都有較好的平滑圖像、去除噪聲的功能，但從圖7和圖8的對比看出，三維各向異性擴散由于考慮了像素的空間各向的相關性，平滑效果更好，空間各方向的連續性更強，比二維各向異性擴散的重構(圖7)在Z向的連續性更好;從圖8、圖10中可以看出，三維各向異性擴散具有較強的保持圖像局部特征的特性，中值濾波雖然是一種應用比較廣泛且容易實現的降噪方法，但它的低通濾波特性使它對圖像頻譜中的高頻部分不加區別的一律消減，從圖6、圖9中可以看出，中值濾波處理后的重構出現較明顯的特征模糊現象，嚴重降低了物體間的層次性，很多包含重要信息的像素都丟失了。

表1 各種預處理方法及重構效率對照表

由表1可以看出，三維各向異性擴散的算法由于采用的是迭代算法，所以與三維中值濾波算法相比而言運算效率要低些，但是它對圖像的各向平滑處理效果較好，而且具有保持甚至加強圖像特征的特點，這就是其自身的價值所在。而三維中值濾波雖然預處理效率要高些，但它使圖像局部特征丟失嚴重，重構效果差強人意。

5 結束語

綜上分析，在進行三維重構時應考慮體素在空間Z向的拓撲性和幾何特性，這樣重構出的形體才具有更好的空間各向的層次性和連貫性。二維各向異性擴散技術推廣到三維空間后使重構出的物體平滑效果更佳并且更好地保持了邊界特征，體現出了比二維各向異性擴散更好的分割效果。各向異性擴散在不同方向上雖然采用不同的擴散系數，但由于擴散強度系數cn(x，y)=1/(1+k?|▽un(x，y)|2)恒不為0，這就是說局部特性仍會受到周圍像素的影響，進而被加以平滑處理，隨著迭代次數的增加，邊緣被模糊的現象將更為明顯，為了更好地解決邊緣問題，可以考慮用設定閾值的方法，對于閾值范圍內的像素不做平滑處理，也即令其擴散系數為0，這樣才能更好地保護其邊緣。

[1] 章毓晉.圖像工程:上冊[M].北京:清華大學出版社，2006:101.

[2] PERONA P，MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].Transactions on Pattern Analysis andMachine Intelligence，IEEE，1990，12(7):629-639.

[3] 袁澤劍，鄭南寧，張元林，等.一種非線性擴散濾波器的設計方法及其應用[J].計算機學報，2002，25(10):1 072-1 076.

[4] 張元林，等.一種改進的圖像自適應非線性濾波方法[J].西安交通大學學報，2004，38(2):162-166.

[5] 姜東煥，等.基于非線性小波閾值的各向異性擴散方程[J].電子學報，2006，34(1):169-172.