局部對稱共形平坦Lorentz流形中2-調和類空超曲面

汪興上

(安徽師范大學數學計算機科學學院，安徽蕪湖241000)

本文研究了局部對稱共形平坦Lorentz流形中2-調和類空超曲面，得到

定理1 設Mn是局部對稱共形平坦Lorentz流形中2-調和緊致類空超曲面，且具有常平均曲率，以S代表其第二基本形式模長的平方，K表示的數量曲率的Ricci曲率滿足r≤εAKAA≤R，則成立如下的積分不等式

其中H為Mn的平均曲率。

1 準備工作

本文約定各類指標的取值范圍如下

{ωA}為聯絡1-形式，將這些形式限制在Mn上，有

其中Rijkl表示Mn的曲率張量R的分量，hij為其第二基本形式h的分量，其共變導數hijk，hijkl定義如下:

則Codazzi方程和Ricci恒等式分別為

其中:εi=1，εn+1=-1。

限制在Mn上有

又Mn上Kn+1ijk的共變導數為Kn+1ijkl，即

從而

引理1[4]Mn是中2-調和類空超曲面，則

2 定理1的證明

由(10)和(11)得

利用(16)經簡單計算，得

下面估計(22)式中的各項，由(17)得

令hij=λiδij，則選取適當的基使得hij=λiδij

(26)式證明如下

最后，利用引理1和(10)，將引理1的第一式改寫為

將此式兩端關于指標i求共變導數，并關于i求和，得

調整指標，結合引理1的第二式，可得

其中ω定義在Mn上的1-形式

因為Mn具有常平均曲率，得

由(17)式，得

從而有(22)-(32)，有

由于Mn是緊致的，將(33)兩端積分，利用Green散度定理，即得定理1的證明。

[1] EELLS J，LEMAIRE L.Selected Topics in Harmonic Maps[M].CBMS 50，AMS，1983.

[2] 姜國英.Riemann流形間的2-調和映照及其第一，第二變分公式[J].數學年刊，1986，7A(4):389-402.

[3] 姜國英.Riemann流形間的2-調和等距浸入[J].數學年刊，1986，7A(2):130-144.

[4] 歐陽崇珍.偽黎曼空間型的2-調和類空子流形[J].數學年刊，2000，21A(6):649-654.

[5] 宋衛東.關于局部對稱空間中2-調和子流形[J].應用數學，2002，12(1):25-29.

[6] 宋衛東.關于局部對稱偽黎曼流形中的2-調和類空子流形[J].系統科學與數學，2007，27(2):170-176.