強奇異積分算子及其交換子在Hardy型空間上的有界性

刁俊東，葉曉峰，陳躍輝

(華東交通大學基礎科學學院，江西南昌330013)

對于強奇異Calderón-Zygmund算子T來說，它是Calderón-Zygmund奇異積分算子的推廣，其核函數在原處具有更強的奇性。它的模型是一類乘子算子Tα，β，其定義為其中0＜α＜1和β＞0。Fefferman和Stein在文獻[1]中把乘子算子擴充到一類卷子算子上，從而得到它的弱(1，1)和相關空間的有界性，Hirschman[2]，Wainger[3]得到了它在Lq(1＜q＜∞)上的有界性。Alvarez[4]又進一步的研究了非卷積型奇異積分算子，使奇性核更強，從而廣泛的應用到數學的眾多分支和相關領域，并取得了大量的成果，這篇文章是進一步拓展了它在特殊空間的有界性。

1 定義及主要結果

定義1 T:S→S′是有界的線性算子，稱T是Calderón-Zygmund型強奇異積分算子，是指T滿足以下3個條件:

(1)T可以連續擴張為L2→L2上的有界算子;

(2)存在一個在{(x，y):x≠y}上的連續函數K(x，y)，當2時，滿足

其中:0＜δ≤1，0＜α＜1，且還滿足

(3)對某一β，n(1-α)/2≤β＜n/2，T和它的共軛算子T*可以連續擴充為Lq到L2上的有界算子，其中:1/q=1/2+β/n。

Alvarez[4]等證明了強奇異Calderón-Zygmund算子T的(L∞，BMO)的有界性和弱(L1，L1)有界性;并且由插值定理可以得到T是Lp(Rn)有界的，1＜p＜∞。Lin Yan[5]得到強奇異Calderón-Zygmund算子與Lipschitz函數b生成的交換子[b，T]在morrey空間是有界的;Li Jun feng[6]得到了強奇異Calderón-Zygmund算子與Lipschitz函數b生成的交換子[b，T]從Lp(Rn)到Lq(Rn)上的有界性。這里涉及到Lipschitz函數b，它是一類特殊函數，能夠和算子結合構成交換子，擴大了算子的作用。

定義2 當0＜β0＜1時，Lipschitz空間是滿足下列條件的函數組成的空間

定義3 b∈Lipβ(Rn)(0＜β＜1)，m∈N和0＜p≤1，1≤r≤∞，1＜s＜∞，一個函數a(x)被稱作(p，s;bm)原子，如果它滿足以下條件:

根據以上結論，想到它在Hardy型空間上是否有界呢?其次文獻[3]得到了強奇異Calderón-Zygmund算子與Lipschitz函數b生成的交換子[b，T]從Lp(Rn)到Lq(Rn)上的有界性，那么它在Hardy型空間上是否有界呢?本文將得到。

定理1 T是一個Calderón-Zygmund型強奇異積分算子，n≥2，α，β，δ如定義1所述

定理2 T是一個Calderón-Zygmund型強奇異積分算子，n≥2，α，β，δ，β0如定義1和定義4所述

其中:

2 定理的證明

定理1的證明

證明 設aj是一個緊支集在B=B(x0，r)上的a(p，s;bm)原子，根據題意知，證明定理1只需要證明‖Ta(x)‖q≤C，因為

現在來估計當0＜r≤1時的情況

由以上兩種情況討論可知

定理2的證明

證明 設aj是一個緊支集在B=B(x0，r)上的a(p，s;bm)原子，根據題意，證明定理2只需要證明‖[b，T]a(x)‖q≤C‖b‖，這是因為

首先來估計II，在這里由于q＞1，根據T是Lp(Rn)有界的，當1＜p＜∞時，所以可以得到T在Lq(Rn)是有界的。再結合H?lder不等式和1/p=1/q+β0/n可得

對于I，下面分情況討論。

當r＞1時

因為r＞1，所以當x∈(2B)c，y∈B時，有

由a的消失性和Minkowski不等式以及定義1中條件(2)，得到I2的估計

現在來估計當0＜r≤1時的情形

由以上兩種情況討論可知

[1] HIRSCHMAN I I.Onmultiplier transformations[J].DukeMath，1957(26):221-242.

[2] WAING S.Special trigonometric series in k-dimensions[J].Mem AmerMath Soc，1965(59):1-102.

[3] FEFFERMAN C.STEIN EM.HPspace of several variables[J].ActaMath，1972(129):137-193.

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