時域卷積信號的交替最小二乘盲分離算法

張 華 馮大政 龐繼勇

①(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)②(上海貝爾股份有限公司研究與創新中心 上海 201206)

1 引言

近二十年來，盲源分離在語音[1]、圖像[2]、通信信號[3]處理等各個領域得到了廣泛應用，成為信號處理領域的研究熱點。其中，聯合塊對角化方法[4,5](Joint Block-Diagonalization, JBD)是解決卷積盲分離的有效途徑。文獻[4]改進并歸納了基于類雅克比旋轉的正交JBD算法(記作Jacobi-JBD)。正交JBD算法需要對目標矩陣進行預白化處理以保證混疊矩陣為(酉)正交矩陣，這要求至少存在一個目標矩陣為正定矩陣，且噪聲是獨立同分布的。并且，正交JBD方法不能修正因白化處理而引入的額外誤差。于是，文獻[5]通過改進JZD算法[6]提出一種非正交JBD方法(記為ZJBD)，不再需要白化處理。然而，該類算法每次迭代只估計待定矩陣的一個子塊，容易使得不同的子塊落到同一個信號子空間里，從而產生奇異解。

針對以上問題，本文提出一種基于交替最小二乘的三因子分解算法(記作ALS-JBD)，聯合估計待定矩陣的所有參數，實現非正交JBD，從而克服了ZJBD易于產生奇異解的缺點。相對于Jacobi-JBD和ZJBD，ALS-JBD算法具有分離性能好且對初始值不敏感的特點。

2 問題描述

2.1 信號模型

N個源信號sn(t)經過階數為P的多徑信道，由M個傳感器接收，第m路傳感器上的接收信號為

其中，hmn(p)表示第n個源信號到達第m個傳感器的第p徑信道響應。取窗長為W的接收滑窗，定義s(t)=[s(t),…,s(t?P?W +2)]T和x(t)=[x(t),… xmt ?W +1)]T，構造s(t)=[(t),…,(t)]T和，則式(1)可表示為

其中混疊矩陣H可表示為

假設 (1)sn(t)零均值且相互獨立；(2)H列滿秩，即有MW＞N(P+W ?1)。

2.2 接收信號相關矩陣的三因子乘積結構

令P表示廣義Q-置換矩陣(其中Q=P+W?1)，考慮到盲分離所固有的尺度和排列不定性，將式(2)看作如下的等效模型并不會影響盲分離的效果，

其中P1和P2均為廣義Q-置換矩陣；sU(t)=s(t)=[(t),…,sT(t)]T，s(t)=s(t)=[(t),u(N)V …,(t)]T，下標 {u(1),…,u(N)}和{v(1),…,v(N)}為序列{1,…,N}的一個排列；U=HP1，V=HP2；令Δ=P，則有sU(t)=ΔPsV(t)。

當源信號滿足假設(1)時，sU(t)與sV(t)的時延相關矩陣為

由式(3)和式(4)可知，接收信號的相關矩陣具有如下的三因子線性乘積形式

其中，矩陣U和V分別稱為左、右混疊矩陣，其均是混疊矩陣H的Q-本質相等矩陣。

3 基于交替最小二乘的三因子分解方法

3.1 交替最小二乘方法

圖1 3維矩陣切片示意圖

其中，?表示Kronecker乘積，V(n)∈?MW×Q和c Uc(n)∈?MW×Q分別表示矩陣V∈?MW×NQ和U∈?MW×NQ的第n個列塊。令V?°U=[(1)?U(1),c…,(N)?Uc(N)]，其中‘°’表示列塊間Kronecker乘積。再令R1:L=[r(1),r(2),…,r(L)]，Λ1:L=[λ(1),λ(2),…,λ(L)]，則式(6)可簡寫成R1:L=(V?°U)Λ。于是，若U和V已知，矩陣Λ的1:L1:L標準最小二乘解為Λ=(V?°U)?R。從而，

其中，符號unvecQ×NQ(?)表示將一個NQ2×1維的列向量按列重構成一個Q×NQ維的矩陣。

3.1.2 矩陣V的最小二乘解{R(j)∈?MW×L}可看作是3維矩陣?在(1,3)維方向上的一組切片矩陣。則有

其中vr(j)表示矩陣V的第j行矢量；符號⊕表示列塊Khatri-Rao積。再令1:MW=[(1),(2),…,(MW)]，式(8)所示矩陣組可簡化表示為1:MW=(U⊕Λ)VH。類似地，若已知矩陣U和Λ，可得到矩陣V的標準最小二乘解

其中，ur(i)表示矩陣U的第i個行矢量；符號(?)˙T表示對分塊矩陣的所有子矩陣進行轉置運算。令式(10)所示矩陣組可表示為同樣地，若已知矩陣V和Λ，則矩陣U的標準最小二乘解為

3.2 算法實現及其復雜度

選擇任意MW×NQ維列滿秩矩陣作為初始值，交替迭代估計待定矩陣Λ，V和U的最小二乘解，直到算法收斂，得到左、右混疊矩陣的估計U和V，即可從接收信號x(t)中分離出源信號。當MW=NQ并且目標矩陣個數L較大時，ALS-JBD算法單步迭代所需乘除運算次數近似為O(N4Q6)。

3.3 算法特點

ALS-JBD算法具有如下特點：(1)不需要預白化處理，消除了白化誤差；(2)聯合估計混疊矩陣的所有參數，避免了奇異解的出現；(3)最小二乘估計確保了算法的單調收斂性。

4 仿真實驗

實驗1 構造目標矩陣R(l)=HΛ(l)HH+ΔR(l)，定義無誤差項和誤差項的功率比值NER=10lg(||HΛ(l)HH/||ΔR(l))來衡量噪聲擾動。采用與文獻[5]中相同的全局拒噪水平GRL來評判算法的收斂性能，GRL越小說明算法性能越好。

設定參數M，W，N，Q和L分別為5，8，7，7和37，圖2為經過100次Monte Carlo實驗得到的GRL隨NER變化的平均曲線。圖3-圖5分別給出在NER=5，10，15和20 (dB)時，3種算法在100次獨立實驗中的GRL隨機值。由圖2-圖5可以明顯看出，相比于類Jacobi-JBD[4]和ZJBD[5]方法，ALS-JBD算法具有最優且最穩定的收斂性能。

圖2 GRL隨NER變化曲線

圖3 ALS-JBD算法的GRL數值

圖4 ZJBD算法的GRL數值

圖5 Jacobi-JBD算法的GRL數值

實驗2 N=2段語音信號(圖6(a))通過P=4徑瑞利信道，由M=4個麥克風接收，得到圖6(b)所示的接收信號(滑動窗長W=4)。圖6(c)和6(d)分別為ALS-JBD和ZJBD得到的分離信號波形。表1采用(1)算法分離性能參數PI[1]；(2)巴克譜失真測度BSD[7]兩個客觀指標來對比兩種算法得到的分離信號的相異度和譜失真度。由圖6和表1不難看出，ALS-JBD算法具有更加有效的分離性能。

5 結論

本文分析指出卷積混疊接收信號的相關矩陣具有獨特的三因子分解結構和可聯合塊對角化的特點。通過對目標矩陣組所有元素進行切片分割和排列規劃，提出基于交替最小二乘的聯合塊對角化算法，交替迭代地估計左、右混疊矩陣和塊對角矩陣的標準最小二乘解，進而分離出源信號。該算法無需白化處理，具有對初始值不敏感、估計精度高、收斂性能穩定和分離效果好的特點。

圖6 源信號、接收信號和分離信號波形圖

表1 分離性能測度

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