基于電磁矢量陣列孔徑擴展方法的相干目標DOA估計

劉兆霆 何 勁 劉 中

①(南京理工大學電子工程系 南京 210094)

②(康考迪亞大學電子與計算機工程系 加拿大)

1 引言

極化敏感陣列通常是由電磁矢量傳感器(EmVS)按一定空間位置排列組成的陣列，可同時測量目標的空間和極化角度信息，因此EmVS在陣列信號處理方面得到了廣泛的應用，提出一系列目標參數估計算法[1?11]。這其中，文獻[6]通過對電場和磁場導向矢量進行向量叉積(vector cross-product)得到目標DOA和極化參數估計，該方法無需陣元的位置信息，因此可以采用陣元任意分布的陣列結構，并且陣元間隔大于半波長時不會出現估計值的模糊問題，但增加陣元間隔對估計性能的改善作用不大。而文獻[7,8]采用EmVS均勻稀疏分布陣列，先得到模糊的DOA估計，然后通過去模糊處理得到目標真正的DOA估計。該方法能夠通過增加陣元間隔顯著改善算法的DOA估計性能。然而，目前大多數算法都是基于特征值或奇異值分解[6?8,12?14](以得到信號/噪聲子空間)，運算量比較大，因此不適合陣元較多以及需要對參數進行實時估計的情況。文獻[9]推廣了文獻[6]的方法，提出了一種基于傳播算子[9,10]的DOA估計算法，雖然有相對較低的運算量，但和文獻[6]的方法一樣，增加陣元間隔不會明顯改善參數的估計性能。另外，上述的許多算法基于信號的協方差矩陣為非奇異的假設，因此也不適合處理在多徑環境下的相干信號。文獻[11]提出了一種解相干預處理技術，即極化平滑算法(PSA)，并結合MUSIC算法解決了利用EmVS陣列實現相干信號的DOA估計問題。相比空間平滑(SS)[12]算法，PSA沒有減少陣列的孔徑，但陣元間隔必須小于半波長；雖然可采用陣元任意分布的陣列結構，但需要2維搜索，運算量較大。

針對上述問題，本文利用稀疏且均勻分布的EmVS矩陣陣列，推導了一種新的解相干預處理方法-協方差矩陣平滑(CMA)，由該方法得到的信號子空間包含不存在相位模糊的EmVS導向矢量，利用此特點可實現去模糊處理。論文結合CMA的可去模糊性和PSA具有不減少陣列孔徑的優勢，采用傳播算子實現了相干信號的DOA估計，無需奇異值分解和角度搜索，有相對較低的運算量；并且通過增加陣元間隔其估計性能能夠得到顯著改善。

2 信號模型

考慮K個全極化相干窄帶平面波信號從不同方向入射到EmVS均勻分布的L×M矩形陣列[7,8]，其中L和M分別表示與x和y軸平行的陣元個數。令第k個入射波參數為(θk, ?k, γk, ηk)，其中0≤?k＜2π，0≤θk＜π/2分別表示該入射波的方位角(與x軸夾角)和仰角(與z軸夾角)，而0≤γk＜π/2和?π≤ηk＜π為其極化參數。不失一般性，考慮6分量EmVS，它是由相互正交且共點的3偶極子加三3磁環單元構成的，其6×1維導向矢量ck=[c1,k,…,c6,k]可表示為

其中Θ(θ, ?)=[χ1, χ2]和g(γ, η)=[sinγejηcosγ]，且b(θ, ?)=[cos?cosθ,sin?cosθ,?sinθ]T,b(θ, ?)=12[?sin? cos?]T，。對于陣列的第(l,m)個陣元，其在時刻t所得到的6×1維測量矢量為

其中sk(t)表示第k個信號的復包絡。在入射波信號為全相干的情況下，sk(t)可表示為sk(t)=(t)，β為一非零復常數；=ej2πΔxukλ和q=kλ分別表示平行于x軸和y軸方向相鄰v陣,k元的空間相位因子，Δx和Δy分別表示x和y方向的陣元間隔，λ為波長；nl,m(t)表示高斯白噪聲矢量。整個矩形陣列的6LM×1維導向矢量可表示為qu(uk)?qv(vk)?ck，其中qu(uk)=[qu,k,…,]T,qv(vk)=[qv,k,…,]T, 而?表示Kronecker積。

3 協方差矩陣平滑(CMA)算法

第(l,m)個陣元和第(a,b)個陣元測量矢量的協方差矩陣可表示為

且N=M－K+1;ak?qu(uk)?(vk)?ck;(vk)=[qv,k,…,]T;V=[v0,…,vK?1],vn=diag(,…,)；H(a,b)=?Γ(a,b)，Ii是i×i單位陣，矩陣 W(a,b)由相應的LM個噪聲協方差矩陣(l=1,…,L; m=1,…,M)構成。容易證明的秩為K，且可得到平滑矩陣

其中? =V[H(1,1),…,H(1,M),…,H(L,M)]，W=[W(1,1),…,W(1,M),…,W(L,M)]。

文獻[11]提出的PSA也是一種解相干預處理方法，它首先計算矢量陣列中EmVS的6個測量分量的自相關矩陣Ri=Q(ΛiRsΛi)HQ+Rw,i(i =1,…,6)，其中Λi=diag(ci,1,…,ci,K)，Rs和Rw,i分別為信號和噪聲的協方差矩陣，Q=[qu(u1)?qv(v1),…,qu(uK)?qv(vK)]為LM×K維Vandemonde矩陣。由于信號相干，Q(ΛiRsΛi)HQ 為秩虧矩陣，但是當K≤6時，可通過對相關矩陣Ri(i=1,…,6)進行相加平滑得到滿秩矩陣=R1+,…,+R6。PSA的好處是不存在陣列孔徑的損失，因此有更低的估計誤差。但PSA處理的相干信號的個數受所采用的EmVS類型的限制；對于基于PSA的子空間方法，矩陣Q張成信號子空間，且其只包含空間相位因子qu,k和qv,k，當陣元間隔大于半波長時，根據qu,k和qv,k得到的方向余弦估計存在周期性的相位模糊，因此利用PSA無法實現去模糊處理。而對于CMA算法，從式(6)的協方差平滑矩陣R可以看出，A張成其信號子空間，且A不僅包含空間相位因子qu,k和qv,k，也包含導向矢量ck，而ck中的元素不存在相位模糊，因此可以利用CMA算法的特點來實現去模糊處理。

4 基于傳播算子方法(PM)的DOA估計

其中P表示K×(LM-K)維線性算子或傳播算子矩陣[9,10]。相似地，極化平滑矩陣可分割為兩個子矩陣=[,]H，其中和分別由的前K行和后LM-K行構成。因此可通過下面的式子得到傳播算子矩陣P的估計

利用得到的傳播算子矩陣P，分別計算空間相位因子qu,k和qv,k，從而得到信號的方向余弦。當陣元間隔大于半波長時，結合CMA算法實現方向余弦的去模糊處理。

4.1 相位因子qu,k和qv,k的估計

同樣為了得到qv,k估計，定義和且

其中Π1和Π2為兩個塊對角矩陣，分別包含L個對角塊和，則=Dv，Dv=diag(qv,1,…,qv,K)，因此存在算子矩陣P使得=[()T,(Dv)T,從而可通過特征值分解得到相位因子{qv,k, k =1,…,K}，其中Pv,1，Pv,3，和的定義類似于Pu,1，Pu,3，和。

命題1 分割算子矩陣P=[P1, P2,…, PL]，使得P1為K×(M-K)維子矩陣，而Pi(i=2,…, L)為K×M維子矩陣，那么Pu能表示為Pu=[P1,P2,…,PL?1, P2,…, PL]。

由命題1和命題2可以知，算子矩陣Pu和Pv可通過P直接變換得到，無需重新計算；另外，Pu ,3和P的特征值分解具有相同的特征矢量集，因此v,3在實際的應用中，估計值{,k=1,…,K}和{,k=1,…,K}可通過它們對應的特征矢量關系實現配對[6]。

4.2 去模糊處理

與文獻[7]提出的基于ESPRIT的孔徑擴展算法相比，本文的算法(PSA/CMA-PM)有兩個優勢：其一是有相對較低的運算量。本文提出算法主要是涉及兩個傳播算子矩陣P和P的計算，共需要的計算量(乘法單元數)級為O(7LMKF－6LK2F+6LKF)[9,10]，其中F表示快拍數；而ESPRIT算法[7]需要特征值分解來獲得信號/噪聲子空間，相應的運算量為O((6LM)2F)。分析可知本文算法與ESPRIT算法[7]的比值小于O(7K/36LM)，且陣元越多，本文算法所表現出來在計算量上的優勢就越明顯。其次，本文能夠實現相干信號的DOA估計，而ESPRIT[7]不能。事實上，我們也能夠結合PSA和CMA解相干技術以及ESPRIT子空間算法，實現孔徑擴展及相干信號的DOA估計，但這種算法(PSA/CMA-ESPRIT)需要兩次特征值分解，運算量較大。另外，本文提出的PSA/CMA-PM與文獻[9]基于PM的算法有相近的運算量，但是本文提出的算法能夠處理相干目標的參數估計，且通過增加陣元間隔估計性能能夠得到顯著的改善。

5 計算機仿真實驗

在這節，通過仿真實驗來驗證PSA/CMA-PM算法的性能，并與PSA/CMA-ESPRIT算法、ESPRIT[7]算法和PM[9]算法進行比較。采用陣元均勻分布的4×5矩形極化敏感陣列(L=4, M=5)，且假設兩個方向的陣元間隔相等(Δ= Δx=Δy)。兩個相干信號的參數分別為θ1=55o，?1=70o，γ1=45o，η1= -90o和θ1=65o，?2=80o，γ2=45o，η2=90o，并定義DOA估計的均方根誤差(RMSE)為RMSEk=。進行500次Monte-Carlo獨立實驗。

圖1比較了PSA/CMA-PM和PSA/CMAESPRIT兩種算法對第1個信號的DOA估計誤差與信噪比(快拍數為200)和采樣快拍數(SNR=20 dB)的關系。我們考慮了3種不同的陣元間隔Δ= λ/2，3×λ/2和8×λ/2。從圖中可以看出，對于不同的信噪比和采樣快拍，采用更大的陣元間隔，兩種算法均能夠得到更好的估計性能。另外，雖然PSA/CMA-PM的運算量大大低于PSA/CMA-ESPRIT，特別是在陣元較多和入射波信號較少的情況下，但是圖1顯示了其估計性能卻非常接近于PSA/CMAESPRIT。

圖2分別針對相干和非相干信號給出了PSA/CMA-PM，PSA/CMA-ESPRIT，ESPRIT[7]和PM[9]4種算法對第1個信號的DOA估計誤差與陣元間隔的關系，采樣快拍為200，信噪比為20 dB。從圖2(a)可以看出，ESPRIT[7]和PM[9]算法無法實現相干目標的DOA估計，而對于PSA/CMA-PM和PSA/CMA-ESPRIT兩種算法，其估計誤差隨著陣元間隔的增大而顯著下降。但當陣元間隔大于40×λ/2時，估計性能出現不穩定，這是由于陣元間隔Δ的增加引起模糊估計值數量的增加，同時它們之間的差值λ/ Δ在減少，從而使得在式(11)中出現了錯誤判決，且這種錯誤判決的概率也在增加，因此導致估計誤差可能反而變大。而對圖2(b)中的非相干目標，增加陣元間隔使得ESPRIT[7]算法的估計誤差也出現了明顯的下降，且與PSA/CMA-PM和PSA/CMA-ESPRIT表現出相近的估計性能；而PM[9]的估計誤差沒有明顯的變化，事實上，該方法通過空間/極化旋轉不變特性，利用PM的方法得到EmVS導向矢量ck的估計，然后根據向量叉積直接得到方向余弦uk和vk的估計，無需陣元的位置信息，因此該方法的優點是當陣元間距大于半波長時，不會出現角度估計模糊現象，但是通過增加陣元間隔所得到估計性能的改善是有限的。

6 結論

本文采用電磁矢量陣列提出了一種新的解相干預處理算法—協方差矩陣平滑(CMA)，當陣元間隔大于半波長時，基于CMA的子空間方法能夠對相干目標DOA估計值實現有效的去模糊處理。論文首先利用極化平滑算法不減少陣列孔徑的特點，通過傳播算子得到高分辨但模糊的DOA估計；然后通過CMA構造信號/噪聲子空間實現去模糊處理，得到目標實際的DOA估計。算法的實現過程無需奇異值分解和角度搜索，因此有相對較低的運算量。

圖1 DOA估計誤差與信噪比和快拍數量的關系

圖2 DOA估計誤差與陣元間隔的關系

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