化歸中的數形結合思想

“化歸”是轉化和歸結，它是人們在解決數學問題時，常常將待解決的問題A，通過某種轉化手段，歸結為另一個問題B，而問題B是相對較易解決或已有固定解決模式的問題。且通過對問題B的解決可得到原問題A的解決。而數形結合就是通過實現數量關系與圖形性質的相互轉化，使抽象思維和形象思維相互作用，將抽象的數量關系和直觀的圖形結合起來思考研究數學問題。數形結合是一種極具數學特點的信息轉換，一方面用數量的抽象性質來說明形象的事實;另一方面又用圖象的性質說明數量的抽象性質。因此，數形結合是一類極為重要的轉化，其著眼點放在代數與幾何的溝通上。

一、從數到形，以形論數

初等代數研究的是數字和文字的代數運算(加法、減法、乘法、除法、乘方、開方)的理論和方法，因此，具有高度的計算性。所以，無論是概念，還是法則、定律，都是很抽象的，有時運算會是很煩瑣。在思考和解決數學問題時，對于某些從表面上看來與圖形不相關的概念和問題，有時可從某種特定的角度，畫一個圖形、圖象或者示意圖，對所討論的問題給予幾何直觀地描述，往往會對問題的求解提供許多有益的啟示。借助圖形常常可以把問題中的數量關系揭示得直觀形象，“圖”可以幫助思考，把抽象的東西變得直觀，從而使對概念的理解，使解題思路變得簡單明了，巧妙快捷。

二、從形到數，以數論形

中學數學的幾何內容是圖文并茂的內容，它把邏輯思維和形象思維有機地結合起來，幾何直觀對于人們學習抽象的數學起到了十分重要的作用。但是，在研究問題時，經常需要通過分析圖形中的有關數量關系，探討圖形的結構和性質。通過建立坐標系，化幾何問題為代數問題，這種方法有規范的步驟，較容易掌握，某些幾何問題，利用解析幾何方法解決較為簡捷。這種方法就是“從形到數，以數論形”的方法。

三、數形結合，互相轉化，互相補充

從數到形、以形論數和從形到數、以數論形是數形結合的兩個重要方面。在思考和解決問題的過程中，上述兩個方面往往不能截然分開。尤其是一些較為復雜的問題，需要兩個方面的互相轉化，相互利用。問題的某些數量特征往往能給人們有關構建圖形的提示;反過來，利用圖形的結構特征又能夠幫助人們找到解決問題的思路。

在思考和解決數學問題時，不僅要學會用“形”的結構和特征去理解“數”的特征，也要學會用“數”的特征去理解“形”的結構和特征。而不是只強調一個方面，而忽視另一個方面。

參考文獻:

1.G·波利亞(美).《數學發現》.臺灣九章出版社，1995

2.沈文選，胡清桃.《數學思想領悟》.哈爾濱工業大學出版社，2008

3.錢佩玲.《數學思想方法與中學數學》.北京師范大學出版社，2008

作者單位:高安市石腦二中