淺談在解析幾何教學(xué)中對(duì)學(xué)生創(chuàng)新型動(dòng)態(tài)思維的培養(yǎng)

隨著新課程的實(shí)施，對(duì)數(shù)學(xué)的教育教學(xué)有著更高更全面的要求，如何讓學(xué)生明白“學(xué)數(shù)學(xué)是有用的”，如何更好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新型思維方式，提高學(xué)生的探究興趣與能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)中要思考的問題。就此本人就學(xué)生在學(xué)習(xí)《解析幾何》過程中，大多是運(yùn)用靜態(tài)思維來處理各種問題，注重的是一些基本處理方法，比如解析幾何中常見的直線與圓錐曲線問題中，學(xué)生習(xí)慣用直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的方程思想來解決，很少用到解析幾何中“系”為我們提供的旋轉(zhuǎn)、平移、拉伸、壓縮等這種動(dòng)態(tài)思維去考查題目中的條件與問題。下面用幾個(gè)例子來談?wù)剛€(gè)人之拙見:

一、有關(guān)直線系在問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生用旋轉(zhuǎn)、平移之動(dòng)態(tài)思維

則:Δ=(18k)2m-36m+36m2≥0，∵m>0，∴9k2+m-1≥0對(duì)一切k∈R恒成立。

∴m≥1-9k2，而1-9k2≤1，得m≥1，又∵焦點(diǎn)在x軸上，∴m<9，∴1≤m≤9

這是學(xué)生必須掌握的用純代數(shù)的方法(靜態(tài)的思維)去處理。而我們?cè)诮虒W(xué)過程中也可以試著去抓住“總有公共點(diǎn)”，也就是說無論直線它的狀態(tài)如何，始終都與橢圓有公共點(diǎn)，換而言之，就是不論k為何值，m在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，都會(huì)使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，而k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值變化時(shí)，就相當(dāng)于某一直線按一定規(guī)律的變換著，問題是怎樣變換，從方程y=kx+1分析，它代表的是一簇恒過定點(diǎn)(0，1)的直線系，而該直線系又可以看作是過定點(diǎn)(0，1)的某一直線繞著該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的，而“總有公共點(diǎn)”的意思也就不難理解為:無論直線旋轉(zhuǎn)到什么位置，都要與橢圓有公共點(diǎn)。再結(jié)合分析幾何圖形，反問學(xué)生，要是該定點(diǎn)(0，1)在橢圓的外部的話，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)“總有公共點(diǎn)”呀?如下圖所示:

二、有關(guān)曲線性質(zhì)中存在的動(dòng)態(tài)思維

如橢圓的圓扁問題、雙曲線與拋物線的開口廣度問題也會(huì)涉及到曲線的拉伸與壓縮這種動(dòng)態(tài)思維過程。如下例，供參考:

例2.已知:斜率為2的直線l過中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上，求雙曲線的離心率e的取值范圍?

解析:學(xué)生一般來說很容易想到的是利用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程組，從而根據(jù)兩個(gè)根符號(hào)相反來解決。略解如下:

這也是我們學(xué)生必須掌握的代數(shù)方法，解法思路中也是用地道的靜態(tài)思維處理的。

前一種方法是代數(shù)中的靜態(tài)思維的一個(gè)體現(xiàn)。后一種方法充分抓住了“存在點(diǎn)”即可設(shè)定為“點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”來觀察其中所涉及到的量“角”的變化，再充分利用了橢圓的幾何特性，橢圓的“壓縮”與其離心率的變化關(guān)系來解決。

總之，我覺得在解析幾何教學(xué)中，適當(dāng)?shù)?、巧妙地運(yùn)用點(diǎn)動(dòng)態(tài)思維去分析、解決問題。上面三例中另法思路中看上去不像正規(guī)的解題之道，但有利于提高學(xué)生對(duì)問題的探究興趣，使學(xué)生養(yǎng)成分析問題更加深入、徹底，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何圖形的感知能力。以上僅代表本人不成熟的想法，不詳盡之處，請(qǐng)各位多批評(píng)指正。

作者單位:茶陵一中