線性規劃應用一例

摘 要:線性規劃在生活的各個方面都有應用，它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法.而在數學問題中，線性規劃也有與其他知識點之間的聯系，比如與不等式、概率等問題的聯系，本文用幾個例子來簡要敘述一下應用線性規劃來解決概率的一類問題。

關鍵詞:線性規劃 概率

線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法.在經濟管理、交通運輸、工農業生產等經濟活動中，提高經濟效果是人們不可缺少的要求，而提高經濟效果一般通過兩種途徑:一是技術方面的改進，例如改善生產工藝，使用新設備和新型原材料.二是生產組織與計劃的改進，即合理安排人力物力資源.線性規劃所研究的是:在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經濟效果達到最好.一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題.滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.決

策變量、約束條件、目標函數是線性規劃的三要素.而此類問題在課本中已經有了很多體現，在此筆者不再贅述.本文中，筆者想敘述線性規劃應用的一種情況，就是用線性規劃的方法解決一類概率問題.此類概率問題一般是幾何概率的問題.

請看下面兩例:

例1.甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去.求兩人能會面的概率.

稍加分析我們不難發現，本題中顯然不是一個變量，而是兩個變量，即甲、乙各自到達約會地點的時間，所以可以假設兩個變量.那么可以在平面直角坐標系內用x軸表示甲到達約會地點的時間，y軸表示乙到達約會地點的時間，用0分到60分表示6時到7時的時間段，則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點的坐標(x，y)就表示甲、乙兩人分別在6時到7時時間段內到達的時間.而能會面的時間由x-y≤15

所對應的圖中陰影部分表示.

反思說明:

(1)三角形三邊長度都是在0到l之間，故每一對結果對應三條邊長，分別用x，y軸上的數表示，則每一個結果(x，y)就對應于圖中三角形內的任一點;

(2)找出事件A發生的條件，并把它在圖中的區域找出來分別計算面積即可;

(3)本題的難點是把三條邊長分別用x，y兩個坐標分別表示，構成平面內的點(x，y)，從而把邊長是一段長度問題轉化為平面圖形中的線性規劃問題，轉化成面積為測度的幾何概型的問題.

但是對于類似問題我們一定要注意是否是以面積為測度的概率問題，有些仍然是古典概率，如下例:

例3.如下圖，從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組:第一組[155，160)、第二組[160，165)、……第八組[190，195)，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列.若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x、y，求滿足x-y≤5的事件概率.

所以上面的解法顯然是錯誤的，問題出在哪兒呢?主要是人的個數不是連續的，而是只能取自然數，所以本題并非幾何概率，而是古典概型的概率問題.正確的解法為:

我們研究數學問題，除了縱向的、深入的研究問題以外，還應該注重各知識點的橫向聯系，此例就是橫向的將兩個知識點——線性規劃與概率相結合，要注意此類問題的解決方法.

作者單位:江蘇省南京市玄武區第九中學震旦校區