變異函數S-粗集

秦登鵬

（黃淮學院數學科學系，河南 駐馬店 463000）

1 引言

文獻[1]提出 S-粗集（singular rough sets），給出了它的兩類結構：單向 S-粗集（one direction singular rough sets），雙向 S-粗集（two direction singular rough sets）[2～7]。 對 S-粗集的特性、應用給出了進一步的討論。S-粗集推廣了1982年波蘭數學家Z.Pawlak提出的粗集。在Z.Pawlak粗集中，集合X奐U是靜態的，在S-粗集中，集合X奐U是動態的（單向動態X=X°或雙向動態X=＾）。由此推測，在更一般的情況下，函數S-粗集是否也具有變異函數S-粗集？

S-粗集是以元素作為研究對象的，變異S-粗集則是以屬性為研究對象的，兩者是等價的[6]。函數S-粗集是以函數屬性作為研究對象的，以同樣的思維方式思考，如果以函數值作為研究對象，這就是變異函數S-粗集。鑒于兩者的等價性，通過研究函數值的相關性質和規律，可以從側面來反映和研究函數屬性的相關性質和規律。

為了使本文的符號簡化，又不致引起誤解，這里約定：值域類[u（x）]記作[u]，值域 u（x），v（x）記作 u，v；值域論域 D（x）記作 D，值域集 Q（x）={u（x）1，u（x）2，…，u（x）m}D（x），記作 Q={u1，u2，…，um}D。

2 單向變異函數S-粗集

定義1.1 設D是函數值域，Q={u1，u2，…，um}D.是值域集，如果存在變換 f∈F，使得 v∈D，v埸Q，v在 f∈F 的作用下變成 f（v）=u∈Q，稱 f∈F 是 D 上的函數值遷移，F={f1，f2，…fm}稱作 D 上的函數值遷移族；或者堝v∈D，v埸Q圯f（v）=u∈Q。（1.1）

定義1.2 給定Q∈D，稱Q°是Q的單向變異 S-集合，如果 Q°=Q∪｛v|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q｝.（1.2）

Qf稱作 Q 的 f-擴張，而且 Qf=｛u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q｝.（1.3）

定義 1.3 稱（R，F）。 （Q°）是 Q°∈D 的下近似，如果（R，F）。 （Q°）=∪[u]=｛u|u∈D，[u]哿Q｝（1.4）稱（R，F）°（Q）°是 Q°∈D 的上近似，如果（R，F）。 （Q）°=∪[u]={u|u∈D，[u]∩Q°≠φ}.（1.5）

定義 1.4 由（R，F）。 （Q°），（R，F）°（Q°）構成的集合對，稱作 Q∈D 的單向變異函數 S-粗集，而且（（R，F）。 （Q°），（R，F）°（Q）°），（1.6）稱 Bnr（Q°）是 Q°∈D 的邊界，而且 Bnr（Q°）=（R，F）。 （Q°）-（R，F）°（Q°）.（1.7）

定義 1.5 稱 As（Q°） 是單向變異函數 S-粗集（（R，F）。（Q°），（R，F）°（Q°））生成的副集合，如果 As（Q°）={u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q}（1.8）

3 雙向變異函數S-粗集

定義2.1 設D是函數值論域，Q={u1，u2，…un}∈D是值域集，如果存在變換 f∈F，使得 v∈D，v埸Q，v在 f∈F 的作用下變成 f（v）=u∈Q；如果存在變換 f∈F，使得 uj∈Q，uj在 f∈F 的作用下變成 f（uj）=vj埸Q；f，稱作 D 上的函數值遷移，F={f1，f2，…，fm}，F={f1，f2，…，fn}稱作 D 上的函數值遷移族。

定義2.2 給定Q∈D，稱 Q*是Q的雙向S-集合，如果Q*=Q′∪{v|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q）（2.3）Q′=Q-{u|u∈Q，f（u）=v埸Q}，（2.4）Qf稱作 Q∈D 的 f-萎縮， 而且Qf={u|u∈Q，f （u）=v埸Q}.（2.5）

定義 2.3 稱（R，F）。 （Q*）是 Q*D 的下近似，而且（R，F）。（Q*）=∪[u]={u|u∈D，[u]哿Q*}（2.6）稱（R，F）°（Q*）是 Q*D 的上近似，而且（R，F）。（Q*）=∪[u]={u|u∈D，[u]∩Q*≠φ}.（2.7）這里：F=F∪，F≠φ，F≠φ.

定義 2.4 由（R，F）。 （Q*），（R，F）°（Q*）構成的集合對，稱作 Q奐D 的雙向變異函數 S-粗集，而且（（R，F）。 （Q*），（R，F）°（Q*））.（2.8）稱 Bnr（Q*）是 Q*D 的邊界，而且 Bnr（Q*）=（R，F）。 （Q*）-（R，F）°（Q*）.（2.9）

定義 2.5 稱 As（Q*）是雙向變異函數 S-粗集（（R，F）。 °（Q*），（R，F）°（Q*））生成的副集，如果 As（Q*）={u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Qandu∈Q，（u）=v埸Q}.（2.10）

由1和2節的概念，容易得到下述命題1

命題1 雙向變異函數S-粗集是單向變異函數S-粗集的一般形式，單向變異函數S-粗集是雙向變異函數S-粗集的特例。

命題1是明顯的事實，證明略。

4 函數值遷移與它的特征

設[u（x）]是 D 上的 α-函數值等價類，[u（x）]={u（x）1，u（x）2，…，u（x）m}，坌k，u（x）k∈[u（x）]的離散形式是 u（x）k={u（x）k，1，u（x）k，2，…，u（x）k，n}.（3.1）設[a，b]是[u（x）]的值域，[c，d]是[u（x）]的定義域，a，b，c，d∈R+，ab，cd；α 是函數值集.顯然，若 u（x）j∈[u（x）]，則 x∈[a，b]，u（x）j∈[c，d]；若 u（x）p埸[u（x）]，則 x埸[a，b]，u（x）p埸[c，d].如果存在變換 f∈F，對于 v（x）埸[u（x）]，使得 f（v（x））的 x∈[a，b]，f（v（x））∈[c，d]變換 f∈F 是函數值遷移，而且堝v（x）∈D，v（x）埸[u（x）]]f圯（v（x））=u（x）∈[u（x）].（3.2）顯然，f∈F 構造是簡單的，具體的f∈F，在利用變異函數S-粗集分析應用問題中給出。

5 結論

文獻[1]提出 S-粗集（singularroughsets），[2～13]對 S-粗集的特性與應用給出了討論.S-粗集（單向S-粗集，雙向S-粗集）比1982年波蘭數學家Z.Pawlak提出的粗集具有理論與應用的一般性;這是因為S-粗集不僅能解決系統中靜態粗分析問題，也能解決系統中動態粗分析問題.將Z.Pawlak粗集向前推了一步.由史開泉教授提出的函數S-粗集又將S-粗集向前退了一步，本文以函數值作為研究對象，分析了變異函數S-粗集，這對于通過函數值的性質和規律來研究和挖掘函數屬性的性質和規律，進而應用于風險投資系統，保險虧盈預測，風險投資分析，金融信貸的預警估計將有著重要的意義。

[1]史開泉.函數 S-粗集[J].山東大學學報（理學版），2005（1）：1-10.

[2]Z Pawlak.Rough Sets[J].International Journal of International Sciences，1982，（11）：341-356.

[3]史開泉，崔玉泉.S-粗集和它的一般結構[J].山東大學學報（理學版），2002，（12）.

[3]史開泉.函數 S-粗集[J].山東大學學報（理學版），2005，（1）：1-10.

[4]Zhang Ping，Shi Kai-quan，Lu Chang-jing.Function S-rough sets and rough law mining-separation [J].Systems Engineering and Electronics，2005，27（11）：1899-1902.

[5]Shi Kai-quan，Chang Ting-cheng.One direction S-rough sets[J].International Journal of Fuzzy Mathematics，2005，（2）：319-334.

[6]史開泉，崔玉泉.變S-粗集與它的變異結構[J].山東大學學報（理學版），2004，39（5）：7-13.

[7]史開泉，劉月蘭.S-粗集與它的（F，)-遺傳（Ⅲ）[J].山東大學學報（工學版），2004，（3）：109-114.