基于加權灰色系統模型在變形分析中的預測

唐偉靖，伍星星

(東華理工大學地球科學與測繪工程學院，江西撫州 344000)

基于加權灰色系統模型在變形分析中的預測

唐偉靖?，伍星星

(東華理工大學地球科學與測繪工程學院，江西撫州 344000)

介紹了PGM(1，1)灰色系統建模原理，同時引入了一種求得最佳背景值的方法，通過與GM(1，1)灰色系統模型的比較，證明了這種方法求最佳生成系數的可行性和有效性。

加權灰色系統；變形分析；最佳生成系數；灰色預測

灰色系統理論是由我國學者鄧聚龍教授創立并發展起來的，他把一般系統論、信息論和控制論的觀點與方法延伸到社會、經濟、生態等抽象系統，綜合運用數學方法的一套解決灰色系統問題的理論和方法。通過對灰色系統中有限數據序列的關聯分析，尋求系統內部因素間的關系，找出影響目標值的主要因素，進而分析各因素間的關聯程度的一種量化方法。

1 加權灰色系統建模原理

設原始監測變形數據序列為

式中，n為序列長度。對原始序列作一次累加生成，即可以得到一個生成序列:

由此可以得到GM(1，1)模型:

式中，a和u是灰參數，其白化值(灰區間中的一個可能值)為用最小二乘法求解，得:

對于背景值生成序列z＝{z(2)，z(3)，…，z(n)}中的

式中，p稱為背景值最佳生成系數(也稱為p權)，p值得取值范圍為[0，1]。由于p在0～1之間，可以根據需要的有效位數，采用搜索法確定。如p取精確到小數點后2位數，可將p初值取為1，然后每次遞減0.01，按照上述時變參數PGM(1，1)模型預測方法，依次求出對應的平均模擬相對誤差，直到p＝0.01為止。鑒于此，考慮到預測模型的精度，從變形體實際變形的規律出發，引入了一種新的背景值計算方法，即使原始值與模型預測值之差的平均模擬相對誤差達到最小來確定背景值。下式為所用的計算公式:

對求出的代入(3)式，則可得到灰色預測模型GM(1，1):

式(6)、(7)為灰色預測的兩個基本模型。當k＜n時，稱為模型模擬值；當k＝n時，稱為模型濾波值；當k〉n時，稱為模型預測值。

2 模型的精度檢驗

模型精度評定一般有殘差大小檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗3種，而通常都用后驗差方法檢驗。后驗差檢驗師對殘差分布的統計特性進行檢驗，再計算得出后驗差比值C和小誤差概率P的大小來描述，從而對模型的精度評定。殘差值e(k)、后驗差比值C和小誤差概率P計算式如下:

C值越小預測模型越好，一般要求C＜0.35，但最大不超過0.65；P越大說明誤差較小的概率大，模型精度越高，一般要求P大于0.95，不得小于0.70。各個精度等級判別如表1所示。

GM(1，1)模型的擬合精度檢驗 表1

3 實例分析

本文利用杭州崇賢碼頭工地深基坑得到的實際監測數據進行加權灰色模型的計算與分析，并與等權重的原始模型作比較。

首先以前10期數據來建立模型，隨后的6期是對模型預測精度可靠性的檢驗。以該工地某監測點的前10期實測數據作為原始數據序列，分別建立10維的GM(1，1)模型和PGM(1，1)模型進行預測結果的比較，分析各種模型的預測精度。

取p＝1，以10期的實測值作為原始數據，經過生成序列的演算，得到GM(1，1)模型的灰參數估值為:a＝－0.033 2，u＝8.505 7。由上述的生成序列，考慮p的優化方法，經過計算得到p＝0.67，相應的PGM(1，1)模型的灰參數估值為:a＝－0.057 3，u＝8.600 2。兩種模型的模擬值與預測值結果分別如表2、表3所示。

兩種模型的模擬值與結果比較 表2

兩種模型的預測值與結果比較 表3

?

比較表2與表3明顯可以看出，加權灰色PGM (1，1)模型的模擬值與預測精度明顯優于GM(1，1)模型。

4 結 論

從以上結果我們可以得到下面幾點結論:

(1)加權灰色模型的可靠性要比非加權模型的可靠性大，其模擬值與預測值都要比GM(1，1)模型的模擬值和預測值更加接近實測值。

(2)本文對背景值最佳生成系數采用上述的方法，既容易讓人理解，又可以通過圖示作解釋，即當原始值與模型預測值之差的平均模擬相對誤差達到最小時，此時為最佳背景值如圖1(b)所示。

圖1 兩種模型的模擬值與預測結果對比圖(a)與確定最佳背景值生成系數的平均模擬相對誤差(b)

(3)從本例來看，GM(1，1)模型可以較好地用于基坑的變形預測，采用加權模型可以提高預測精度，可以更好地進行深基坑變形預測。

[1]鄧聚龍.灰色預測與決策[M].武漢:華中理工大學出版社，1988

[2]張立亭，祝國瑞，周世健等.時間序列的灰色建模試驗[J].武漢大學學報(工學版)，2005(1)

[3]周世健，賴志坤，藏德彥等.加權灰色預測模型及其計算實現[J].武漢大學學報(信息科學版)，2002(5)

[4]張儀萍，俞亞南，張土喬.時變參數灰色沉降預測模型及其應用[J].浙江大學學報(工學版)，2002(4)

Based on the Weighted Gray System Model In Deformation Analysis of the Prediction

Tang WeiJing，Wu XingXing
(School of Geoscience and Survey Engineering，East China Institute of Technology，Fuzhou 344000，China)

The modelling of PGM(1，1)gray system are introduced，simultaneously the method of obtainning the optimal produce coefficient is introduced，through a comparison with GM(1，1)gray system model，we had proven that the method of obtainning the optimal production coefficient is feasibility and validity.

Weighting gray system；deformation analysis；optimal produce coefficient；gray prediction

1672－8262(2010)02－113－03

TU433

B

2009—09—14

唐偉靖(1983—)，男，碩士研究生，從事GPS原理及數據處理理論與方法的研究。