國內概率統計數學思想教學研究進展

摘要：在對近年中國國內統計學者在概率統計數學思想教學中的一些研究成果進行了綜述后認為，國內概率統計數學思想的教學研究集中于思想的內涵、作用與功能、方法與技巧，取得了較為豐富的成果。

關鍵詞：概率統計；數學思想；教學

數學思想是數學的靈魂，是現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中并經過人們的思維活動產生的，是人們對數學知識和數學方法的本質認識。概率統計是數學一個富有特色的分支，在概率統計的內容中同樣蘊涵著豐富的數學思想，為人們正確處理現實數據信息、揭示事物現象的變化規律、提高分析問題和解決問題的能力提供了強有力的工具。因此，數學思想的教學研究對學科本身的發展和教學效果的改善具有重要的理論和現實意義，受到許多學者的青睞。本文擬對近年我國學者對概率統計數學思想的教學研究成果和研究狀況進行綜述。

一、概率論的思想史

對概率論思想史的教學研究文獻較少。黃海平（1999）主張，在教學中適當介紹概率論的歷史和數學思想史，不但能使學生感受到數學思想的巨大價值，還可以激發他們學習概率統計的興趣。石瑩（2002）提出，數學思想方法是對數學知識和方法形成的規律性的理性認識，其發展史是教學中不容忽視的環節。

二、隨機思想和偶然與必然的思想

隨機思想和統計思想是概率統計中特有的數學思想。魏孝章和姜根明（2003）指出，隨機思想是概率論的核心思想，是從個別偶然的現象發展到這種偶然現象所表現出的一種內在的必然規律。研究隨機現象就是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規律去解決“偶然”的問題，這就是偶然與必然的思想。石瑩（2002）指出，在講授概率統計時要注重公理化思想、模型思想、依概率收斂、統計推斷等典型思想方法，同時分析偶然與必然的關系，對學生進行辯證思想方法的教學。

三、公理化思想

公理化思想就是從盡可能少的無定義的原始概念和一組不證自明的命題（基本公理）出發，利用邏輯推理法則建立數學的演繹系統。到20世紀，柯爾莫哥洛夫學派建立了概率的公理化結構，概率論因此成為嚴謹的數學分支。

石瑩（2002）建議，在教學中可側重于講解公理化思想方法對于概率統計理論形成的重要意義，讓學生在嚴格的公理體系中認知定義、公式及定理，學會運用規范化的數學語言解決概率統計中的問題。張瑾和王永紅（2005）通過分析概率的公理化定義，說明了聯系緊密、內在結構系統的公理化知識體系，并用結構主義的觀點說明了各部分基礎知識的結構特征。

四、統計思想

統計思想是統計學中的精華，是統計方法的靈魂，包括統計調查思想、統計描述思想、統計推斷思想等。

章朝慶（2001）指出，概率統計教學要與人才培養目標相適應，并給出在教學中滲透數學思想的一些方法，例如：引導學習，體現方法；結合概念和定理講授概率統計方法；聯系實際，學習綜合運用概率統計方法。

倪中新和陳敏（2004）提出，在教學中要注重講授概率統計的思想和背景，比如，各種概型、概率分布的應用背景，隨機變量的數字特征的物理意義，參數估計、假設檢驗的哲學背景；同時指出，統計思想的教學還應結合統計軟件等現代教育技術。

張馳（2006）認為，要特別重視對統計思想的教學，在概率論教學中穿插、滲透統計思想，在統計學教學中通過將統計思想經典語句化來加強統計思想的教學。

統計推斷思想是貫穿于數理統計研究始終的思想方法，是利用研究對象總體的隨機子樣的統計數據對總體或總體間性質作出估計、推測的一種數學思想。假設檢驗、區間估計、方差分析、回歸分析等方法體現了統計推斷思想。石瑩（2002）給出了在教學中講授統計推斷思想的一些建議：介紹統計推斷的基本模式，闡明其在方法論中的價值，闡述統計推斷的現實意義。

五、數形結合思想

數形結合的思想包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化、幾何問題代數化，從而使問題簡單化、熟悉化。張瑾和王永紅（2005）給出了概率統計中數形結合思想常用的一些方面。例如：用文氏圖分析揭示事件的互不相容、獨立、互逆等關系；畫出完備事件組的示意圖，有助于學生對全概率公式和貝葉斯公式的理解和應用；幾何概型中，利用線段、平面、空間圖形的長度、面積和體積計算事件的概率。舒元生（2005）基于正態分布曲線的對稱性、增減性、漸近性并結合實例說明了數形結合思想的應用。

六、分類討論思想

當問題含有多種可能，人們難以對它進行統一處理時，就只能按其出現的各種情況分類進行討論，分別得出與各類情況相對應的結論，綜合這些結論便得到原來問題的答案。這種分析問題、解決問題的思想就是分類討論思想。概率統計中的許多內容都體現了分類討論思想，它們分布在概念、定理的證明、運算法則和具體問題的解決中。

黃海平（1999）主張在教學中滲透分類討論思想，培養學生的邏輯思維能力，并特別指出復習是滲透分類思想的最佳時機。

七、化歸思想或等價轉化思想

把有待解決或未解決的對象，通過轉化過程歸結為一類已經解決或較易解決的問題，以求得原問題的解決，就是化歸轉換的思想方法。

在概率統計中能用化歸思想解決的問題較多。黃海平（1999）主張在教學中要挖掘化歸思想，強化學生的辯證思維能力。舒元生（2005）通過實例介紹了運用對立事件、等價命題、標準正態總體、排除法和已知的定理公式結論等進行等價轉換的思想方法。

八、函數與方程思想

函數思想是指要用運動變化的觀點分析、研究具體問題中的數量關系，通過利用函數的概念和性質去分析問題并加以研究，最終解決問題。方程思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解，有時還需實現函數與方程的互相轉化、接軌，最終達到解決問題的目的。

九、模型思想

一切數學概念、公式、理論體系以及由數學概念與符號刻畫出來的某個系統中的關系結構都可成為數學模型。數學模型有廣義解釋和狹義解釋。按廣義解釋，凡是以相應的客觀原型作為背景加以一級抽象或多級抽象的數學概念、定理、公式等都叫數學模型，如古典概型、幾何概型、二項概型、條件概率、隨機變量、期望和方差等。按狹義解釋，只有那種反映特定的具體實體內在規律性的數學結構才成為數學模型，如概率中的摸球問題、擲分幣問題、分房問題、次品問題、蒲豐投針問題等。

模型思想就是構造模型、使用模型的思想方法。魏孝章和姜根明（2003）通過實例說明，概率建模思想既可以處理隨機問題，也可以處理一些非隨機問題。黃海平（1999）主張要在教學中提煉模型思想，以培養學生解決問題的能力。韋程東等（2008）主張要在概率統計教學中融入數學建模思想的內容，引入討論與講授相結合、啟發式、案例分析和現代教育技術等數學建模思想的方法，在課后作業中融入數學建模思想，以培養學生數學建模的能力。高巖（2008）建議將數學建模思想貫穿于整個教學過程，以培養學生的創造性思維能力和合作意識，促進知識向應用的轉化；還介紹了將數學建模思想融入概率統計教學中的方法和原則。石瑩（2002）認為，在概率統計教學中，一方面要使學生了解典型模型的構造規律，在解題教學和練習中學會正確使用模型；另一方面要揭示模型之間的聯系，區別易混淆的模型。李曉毅和徐兆棣（2008）探討了在概率統計教學中數學建模思想形成和建立的途徑，對概率統計課程的教學從教學內容、教學實例、教學手段、教學模式等方面進行分析，闡明了在概率統計教學中融入數學建模思想是促使學生學好概率統計課程的有效途徑。

十、其他數學思想

1．集合與映射思想

隨機事件、樣本空間等概率論中的基本概念其實質就是集合，而在概率的公理化定義中則將“概率”定義為事件域F（集合）到實數區間[0，1]的一個映射。隨機變量的定義也是從樣本空間（集合）到實數域R建立的一個映射。李光平和劉洪（2004）從解釋古典概率、把握事件之間的關系、計算事件的概率三個方面介紹了在教學中滲透集合觀點的具體做法。

2．整體思想

整體思想就是把考慮的對象作為一個整體對待，而且這個整體是各要素按一定規律組合成的有機統一體。

3．求補思想

對于直接求解較困難或較復雜的問題，可考慮先求它的補集，這種在順向思維受阻后改用逆向思維的思想就是數學中的求補思想。王衛華（2006）針對2005年高考概率題目說明了補集思想的應用。

綜上可知，國內概率統計數學思想的教學研究集中于思想的內涵、作用與功能、方法與技巧，取得了較為豐富的成果。

參考文獻：

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[13]李光平，劉洪.概率統計教學中應滲透集合的觀點[J].數學教學通訊，2004，(9).

責編：一木