基于GARCH模型的CVaR信貸風險度量方法研究

劉琦鈾，張能福，劉鐵生

（1.五邑大學 管理學院，廣東 江門 529020；2.江西現代職業技術學院，南昌 330095）

0 引言

盡管VaR方法自其推出以來一直受到金融資產管理者的青睞，但隨著國內外學者的不斷探索和實際運用部門的實踐證明，VaR方法仍存在其自身的局限性。由于該模型不是一致性風險度量，沒有考慮當VaR值超過時損失究竟是多少的問題。因此，當真實損失超過了VaR的度量時，無法進一步識別風險是可以忍受的還是災難性的。本文擬針對VaR的弱點，對Rockafeller和Uryasev于1999年對VaR模型加以修改，提出條件風險價值CVaR（Conditional Value-at-Risk）的概念。

1 相關模型基本原理方法及其特點

1.1 VaR的風險控制原理方法及其特點

1.1.1 VaR的風險控制原理

VaR是指在某一特定的持有期內，在給定的置信水平下，給定的資產或資產組合可能遭受的最大損失值。其數學定義式為：

其中，ΔP為金融資產在持有期Δt內的價值損失；VaR為置信水平c下的風險價值；c為置信度或置信水平(一般取95%或99%)。在給定的持有期和給定的置信水平下，VaR給出了其最大可能的預期損失。也就是說，可以用c的概率保證，其資產或資產組合的損失不會超過VaR值。現以某證劵公司為例對VaR值的含義加以說明。假設該公司1994年每日的VaR值，在99%的置信區間內平均為370萬美元。這意味著，每天因市場風險而導致損失超過370萬元的概率只有1%，即平均100個交易日才可能出現一次這樣的情況。換句話說，我們可以可以用99%的概率保證，該銀行下一個交易日內的損失不會超過370萬元。

1.1.2 VaR的計算方法

假設投資組合的期初價值為p0，Δt為該投資組合的持有期，R為該投資組合持有期內的收益率，假設收益率R的期望值、標準差和收益率最小值分別為μ、σ和R*，則根據VaR的定義：在一定置信水平下，該投資組合在未來一段時間的持有期內的最大可能損失為：

由以上定義可知，計算VaR即相當于計算組合最小價值P*或最低收益率R*。考慮投資組合持有期內收益率所服從的隨機過程，假定其未來收益率的概率密度函數為f(P)，則對于某一置信水平c下投資組合的最低值P*，有：

無論分布是離散的還是連續的，厚尾還是瘦尾，該表達方式都是有效的。

1.1.3 VaR模型的優缺點及CVaR的產生

VaR自上世紀90年代初期問世以來，曾以其獨有的特點頗受金融資產管理者的青睞。但隨著隨著時代的發展和國內外學者的不斷探索、運用，其不足之處也逐漸顯現。具體來講，其優缺點主要表現如下：

(1)VaR的優點

①VaR把對未來損失的大小和該損失發生的可能性結合起來，不僅讓投資者知道該損失發生的可能性，而且能度量損失可能造成的最大的規模。同時，通過調節不同的置信水平，可以得到相應的VaR值大小，這樣大大的方便了不同管理需要。

②與以往風險管理方法對比，該模型的顯著特點主要表現在它是事前計算風險，而非事后衡量風險的大小；不僅能計算單個金融工具的風險，還能計算由多個金融工具組成的投資組合的風險。這一特點是傳統金融風險管理所不及的。

③VaR不僅應用面相當廣泛，而且可以把不同類型的風險大小以統一的標準尺度來衡量。它適用于綜合衡量包括利率風險、匯率風險、股票風險以及商品價格風險和金融衍生工具在內的各種市場風險。這使得金融機構可以用一個具體的指標數值（VaR）來綜合反映整個金融機構或投資組合的風險狀況，這不僅大大方便了各金融機構最高管理層對機構內部風險的控制與管理，而且，監管部門也得以對金融機構的市場風險資本準備金提出相應統一的要求。

(2)VaR的局限性

VaR不是一致性風險度量，不滿足次可加性。因此用VaR來度量風險時，證劵組合的風險大小不一定小于各證劵風險之和，這與投資組合具有分散風險的特點相違背，不符合基本的經濟學原理。

VaR不滿足凸性，從數學意義上講，不滿足凸性的函數可能存在多個極值，即局部最優非整體最優，故基于VaR對證劵組合進行整體上優化時，存在一定的障礙。

VaR僅給出了一個閾值，雖能以較大概率保證損失不超出分位數，但對極端事件的發生卻缺乏預料與控制，既不能對尾部風險進行控制。VaR只被設計用于度量非正常但屬一般性的市場波動所帶來的風險，而對于市場因素異常罕見的極端波動所導致的損失VaR無法預知。例如，兩種資產的VaR值相同，而超過VaR值的損失卻不相同，此時VaR就無法來度量這兩種資產的風險。

為了克服VaR的不足，Rockafeller和Uryasev于1999年對VaR模型加以修改，提出了條件風險價值CVaR（Conditional Value-at-Risk）模型，該模型傳承了VaR模型的優點的同時又克服了其缺點。

1.2 CVaR的風險控制原理

條件風險價值 CVaR（Conditional Value-at-Risk），也稱條件在線價值或者平均超值損失，是指超過VaR的損失的期望值，即在一定時間t內，在一定的置信水平c下,投資者對收益分布尾部1-c部分的期望值。其數學表達式為：

CVaR=E(L|L≥VaR) （4）

CVaR是指損失超過VaR的條件均值，它代表了超額損失的平均水平，反映了損失超過VaR時可能遭受的平均潛在損失的大小。

1.3 CVaR的計算方法

假設x是決策向量，x∈X；y是代表不確定因素的隨機向量，y∈Y；對每一個x，相應的y的損失函數是f(x,y)，那么f(x,y)不超過閾值（臨界值）ξ的概率為：

若置信水平為c,c∈(0,1)，VaRc可表示為：

VaR表示的是最大損失超過或等于的數值的概率為(1-c)的最小損失值，而CVaR定義的是最大損失值超過或等于的數值的概率為(1-c)的平均損失值，可表示為：

由以上公式可以得到：由于 Φc(x)≥ξc(x)，可見，CVaR＞VaR，VaR僅給出了一個閾值，雖然它能以較大概率保證損失不超出的分位數，但對極端事件的發生即尾部風險卻缺乏預料和控制，而CVaR則能夠對尾部風險進行良好的控制。CVaR與VaR相比考慮了損失尾部的分布，是一個更保守、更謹慎的風險度量方法。

2 基于GARCH模型的CVaR信貸風險實證分析

從以上有關VaR和CVaR的定義和計算方法中我們得知，VaR和CVaR方法的本質是對證券組合價值波動率的統計測量，其核心在于構造證券組合價值變化的概率分布，基本思想是利用資產組合價值的歷史波動信息來推斷未來情形，只不過對未來價值波動的推斷給出的不是一個確定值，而是一個概率分布。因此計算他們的關鍵在于對金融資產收益率序列擬合一個合適的分布。傳統方法對于此問題的研究大多簡單地假設收益波動服從正態分布，而目前許多研究發現金融資產收益率時間序列不完全服從以上分布的假設，而是具有尖峰厚尾的特性，其波動具有聚集性和時變性，并且具有杠桿效應。為了刻畫尖峰厚尾等金融時間序列所常有的性質，本文提出用GARCH模型來捕獲金融資產時間序列這一特性。

2.1 GARCH模型的基本思想原理

為了充分地描述金融資產收益率的波動特性，在原有的ARCH模型基礎上，Tim Bollerslev在1986年該模型中增加了q個自回歸項，稱為推廣的ARCH（GARCH）模型。該推廣的模型解決了原有模型固有的缺點，使待估參數大為減少，并且提高了計算的準確性。GARCH模型的一般表達式為：

第一個方程是建立在ARMA模型基礎上的均值方程，rt為收益率序列，μt為收益的無條件期望值，目的是過濾掉時間序列的線性相關。第二個方程為條件方差方程，ai為滯后期參數，βj為方差參數，其中=Var(εt|φt-1)，φt-1是 t-1 及 t-1時刻之前的全部信息，這里可以理解為過去所有殘差的正加權平均，這與波動率的聚集效應相符合，即波動較大的地方往往也跟隨著較大的波動，波動較小的地方往往也跟隨較小的波動。

在GARCH模型中殘差分布通常有三種：正態分布、學生t分布和廣義誤差分布（Generalized Error Distribution,GED）。以往的分析過程中，我們通常假設收益率殘差分布服從正態分布，但正態性不足以反映收益率的尖峰厚尾性，因此Nelson和Hamilton等提出學生t分布和廣義誤差分布來反映金融時間序列這一特有的性質。正態分布、學生t分布和廣義誤差分布其密度函數分別為：

其中 Γ(·)為伽馬函數，v為自由度，在 t分布中，當 v趨近與時，t分布收斂于正態分布；而在GED分布中，當v＜2時，GED表現為厚尾，當v=2時，GED為正態分布，當v＞2時則表現為瘦尾。

2.2 基于GARCH模型的CVaR計算過程

利用GARCH模型計算出標準差σt，我們可以得到相應的t時刻VaR的計算公式：

其中，pt-1是第t-1日的結算價格，σt為時變方差，f(q)為某一置信水平c下的分位數，由定義可知，CVaR為損失大于某個給定的VaR值條件下的期望損失，因此，若用a表示對應于某一置信水平c的分位數，用q表示大于a的分位數，則CVaR可通過下式求出：

其中，pt-1是第t-1日的結算價格，σt為時變方差，f(q)為收益率序列服從分布的密度函數，a為某一置信水平c下的分位數。由于正態分布、廣義誤差分布、學生t分布和其密度函數上面已給出，因此，三種不同分布下CVaR值分別為：

2.3 CVaR模型的準確性檢驗及結果分析

CVaR模型的準確性檢驗是指CVaR模型的測量結果對實際損失的覆蓋程度。例如，假定給出了95%置信度下的CVaR，則CVaR模型的準確性是指實際損益結果超過CVaR的概率是否小于5%。通行的方法是Kupiec(1995)提出的失敗頻率檢驗法。假設樣本總數為N，實際損失超出CVaR的估計的天數為P記為失敗，失敗的期望概率為1-c，若溢出率即失敗率說明模型低估了風險；若固然表明模型的預測結果覆蓋了實際的損失，但是太小的η卻說明模型的估計過于保守。

3.4 基于GARCH模型的CVaR方法實證分析

為了突出樣本數據的選取具有代表性，使實證研究更具說服力。本文以上證180數據為研究對象，對我國股票市場風險進行實證分析。選取樣本范圍為2003年1月到2004年5月，共334個交易日數據。分析與計算借助Matlab6.5軟件完成。收益率采取連續復合收益（對數收益）：

其中pt和pt-1分別為上證第t和t-1個交易日收盤價。首先根據原始數據由MATALAB編程計算出上證180指數的日收益率，然后作出其日收益率的時間序列圖和直方圖(圖略)。上證180指數收益率序列的基本統計特征如下表所示：

從上表關于上證180指數收益率序列的基本統計特征值中可以得出，上證180指數不符合正態分布的要求，其JB統計量大大超出了臨界值。同時，其偏度小于零，即向左偏移，峰度大于正態分布峰度值3，即具有肥尾現象。以上表中所得出的結論，我們可以從上證180指數的收益率時間序列圖和直方圖中得到很好的論證：我國股票市場收益率序列存在明顯的波動聚集和尖峰、肥尾現象，傳統的基于正態分布假設的靜態模型不足以撲捉金融時間序列這一特性。因此，我們選擇基于GARCH模型的CVaR方法動態模型來分析其波動特性和條件風險價值。

為了便于計算，對于波動性建模，我們采用GARCH（1，1），即：

利用極大似然值法，對（8）式進行參數估計，可以得到條件序列與μ值。 算出了σt的值，我們將其帶入（12）式，便可以求得正態分布下傳統風險價值VaR的大小。同時，由（13）式可知，利用極大似然值法進行參數估計后，得到的條件序列與μ值一起帶入下式：

Model GARCH(1,1)-N-VaR GARCH(1,1)-t-CVaR最小值0.0015 0.0021最大值0.075 0.084平均值0.036 0.067標準差0.0087 0.015失敗天數28 9失敗率0.065 0.028

從上表可以看出，由GARCH(1,1)-t-CVaR計算所得平均值在大于GARCH(1,1)-N-VaR的平均值，同時由GARCH(1,1)-N-VaR模型計算所得失敗率0.065大于失敗率期望值說明該模型計算所得風險低估了實際風險大小。因此，與傳統的基于正態分布假設計算的風險價值VaR相比，基于GARCH模型的學生t分布所計算的條件風險價值能夠更加客觀、真實地度量信用風險大小。

3 結論

本文主要介紹了VaR和CVaR的一些基本概念和計算方法，在VaR基礎上衍生出來的CVaR模型，不僅繼承了傳統VaR風險測定模型的優點，更重要的是它對尾部風險進行了定量描述，通過尾部風險求平均的原理，對風險的預測更準確、保守，符合風險管理謹慎的原則。同時具有連續性、一次可加性、正均性、凸性、一次單調，二次遞增等良好的數學特性。針對許多金融時間序列模型，其收益率分布所表現出的“尖峰”“厚尾”等特性，而簡單的對數正態分布，學生t分布對其特性無法捕獲。本文提出GARCH模型，并通過實證分析，說明該模型能較好地處理異方差問題，并能有效地消除收益率分布的尖峰厚尾性影響。在研究的過程中，筆者也發現一些疑點和今后有待進一步解決的問題。首先GARCH模型測度金融風險收益率時，對系數參數的非負性約束太強，過度的限制了條件反常的動態性；其次，用CVaR進行風險測度時，筆者只著眼于計算既定置信水平下在持有期末這一時刻的風險，而忽略了這一持有期內收益率劇烈波動所帶來的風險，沒有考慮用連續的CVaR方法度量風險。

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