基于實域廣義粗糙變量的零售商需求研究

楊 毅，李光金

（1．四川大學 工商管理學院，成都 610064；2．成都紡織高等專科學校，成都 611731）

1 問題的由來

粗糙集與隨機集、模糊集有著本質的區別。以一個現實生活中常見的規劃問題為例，一個工廠有（x1,x2,…xn）個輸入變量，（y1,y2,…ym）個輸出變量，我們很容易定義xi或yj是隨機變量、或模糊變量，但卻不好定義它們是粗糙變量。現有的文獻一般不說一個輸入（或輸出）變量是一個粗糙變量，而是說某個問題可以用粗糙集的方法來處理[1]～[3]。在文獻[4]～[6]中，則是簡單的將某些參數直接定義為粗糙變量，將它強行構造成粗糙集的結構，形成一大一小兩個區間，大區間包含小區間，大區間為粗糙變量的上近似，小區間為粗糙變量的下近似。而文中并未解釋這些參數為什么是粗糙變量。本文認為，這種解釋只是人為地將此變量做得與粗糙集的結構一樣，而沒有真正理解粗糙集在解決不確定問題中的意義。當這些粗糙變量的由來語焉不詳的時候，相應的粗糙規劃模型并不比隨機規劃或模糊規劃更能提供幫助，很難對解決實際問題帶來實質的幫助。

例1[5]：

假設共有I個零售商，零售商采用Newsboy模型來訂貨，生產廠家生產產品需要J種原材料，市場對零售商的需求滿足粗糙變量ξ1，ξ2，…，ξI,第i個售貨商訂貨的數量為ai。并假設商品的商場價格固定，生產商根據市場價格制定批發價格，生產廠家接到訂單以后根據訂單進行生產，產品有一個最遲的交貨時間，生產完成后就可以交貨。在生產過程中需要儲存原材料，原材料j的存儲采用Mj循環策略；每Mj天訂貨，j=1,2,…,J。原材料的運輸時間為零，零售商沒有賣出的商品，生產商以較低的價格回收，并且假定在儲存的過程中，原材料和成品都不會變質。

文獻[5]提到，ξ1，ξ2，…，ξI的取值如下：

?

例中的粗糙變量由兩個區間數組成，已實現粗糙變量的數學要求，但在現實中，此粗糙變量有什么實際意義呢？它又是如何得到的？此時粗糙規劃建立關健在如何理解“市場對零售商的需求滿足粗糙變量 ξ1，ξ2，…，ξIi”，而論文中偏偏沒有對此進行解釋，這個粗糙變量就有了人為構造之嫌。

2 理論背景

2.1 Pawlak粗糙集

首先對粗糙集進行定義。

定義1[7]粗糙集理論中的不確定性和模糊性是一種基于邊界的概念，即一個模糊的概念具有模糊的邊界，每一個不確定概念由一對稱為上近似和下近似的精確概念來表示：設給定知識庫K=(U,R),對于每個子集XU和一個等價關系Rind(K),可以根據R的基本集合來劃分集合X:

R_(X)=∪{Y∈U/R:Y?X}

R-(X)=∪{Y∈U/R:Y∩X≠φ}

BNR(X)=R-(X)-R_(X)

式中，R_(X)和R-(X)分別稱為X的R下近似和R上近似，BNR(X)稱為X的邊界。集合的下近似是包含給定集合中所有基本集的集合,集合的上近似是包含給定集合元素中所有基本集的最小集合。顯然,當BNR(X)≠0時,X為粗糙集。

定義2[7]具有相同上下近似集的集合被稱為粗糙集，用

2.2 實域粗糙集

DEA模型中的輸入變量或輸出變量一般為連續變量。為解決經典的粗糙集只能處理離散數據的局限，有必要將粗糙集推廣到實數域中。

Pawlak在1999年[8]將粗糙集的思想推廣到實數域中。

設 R 是實數集，(a，b)是 R 上的開區間，(a，b)上的實數序列 S={x0,x1,…，xn}，使 a=x0＜x1＜…xn=b，則 A=（R，X）稱為由 S生成的逼近空間，S稱為離散化序列，每個S都在（a,b）上定義了一個劃分：π（S）={{x0},{x0,x1},{x1},{x1,x2},{x2},…{xn-1,xn},{xn}}，相當于定義了一個等價關系，于是對于?x∈(a,b)，其在S下的下逼近和上逼近可定義為：

3 本文對實域粗糙變量定義的解釋

在實域范圍內，粗糙變量的值域有三個可能值，分別對應上近似、下近似和近似精度：

大區間代表上近似，是可能出現的連續實值的最大范圍，由實數序列的并構成；

小區間代表下近似，是必然出現的實值范圍，由實數序列的交構成；

由于上近似和下近似都是實區間，我們可較方便的定義粗糙變量的粗糙近似精度：

α(x)=|下近似|/|上近似|

以下都以例1中的粗糙變量ξi為例。

3.1 以任意兩期的需求量為區間數來構造粗糙變量

假設市場對零售商i的需求為粗糙變量ξi，它由任意兩期的需求為實區間[a,c],[b,d]構成，其中a≤b≤c≤d。

從pawlak實域粗糙集定義來看，實域粗糙集的上近似是

實域粗糙集的下近似是

則ξi=([b,c],[a,d])，實域粗糙集的近似精度是

α(x)=(c-b)/(d-a)

設市場對零售商1的需求為粗糙變量ξ1，它由任意兩期的需求為實區間構成，這兩個區間的并構成粗糙變量ξ1的上近似，它們的交構成下近似。即ξ1=([200,210],[190,220])。

它的近似精度是

若實際情況為a≤c≤b≤d，即兩個實區間交集為空，則實域粗糙集的上近似是

實域粗糙集的下近似是

則 ξi=([φ]，[a,d])，仍然滿足粗糙集的要求。

設市場對零售商1的需求為粗糙變量ξi，它由任意兩期的需求為實區間[190,200],[210,220]構成，這兩個區間的并構成粗糙變量ξ1的上近似，它們的交構成下近似。即ξi=([φ]，[190,220])。

3.2 以n期需求量為區間數來構造粗糙變量

假設市場對零售商i的需求為粗糙變量ξi，它由n期的需求為實區間[a1,b1],[a2,b2],…，[an,bn]構成。

則實域粗糙集的上近似是

實域粗糙集的下近似是市場對零售商1的需求如下表：

月份年份123456789 2005 2006 2007 2008 195 200 211 208 198 205 212 210 197 205 200 214 191 212 199 210 193 208 198 215 199 213 214 220 200 200 215 218 198 195 206 210 190 196 202 217 10 202 200 210 216 11 194 199 209 219 12 196 202 205 213

可知市場對零售商1的每月需求都是一個區間數，12個月可得12個區間數：

月份需求量月份需求量123456[195,211]7[200,218][198,212]8[195,210][197,214]9[190,217][191,212]10[200,216][193,215]11[194,219][199,220]12[196,213]

從上面的分析可看出，上近似由每月需求量數值的并構成，是需求量的波動范圍；而下近似是由每月需求量數值的交構成，是需求量最大可能范圍。最大可能范圍在波動范圍內出現的可能性為0.333。這樣，就真正解釋了在應用中實域廣義粗糙變量的由來和它的意義。

4 粗糙變量的求解

5 結束語

粗糙變量不象隨機變量或模糊變量一樣在數學規劃中得到大量的應用。本文認為現有的文獻并未從粗糙集本身的特點去解釋粗糙變量的意義，而是簡單模仿隨機變量或模糊變量，同時在數學上構造一個滿足粗糙集形式的變量，得到的結論非常牽強。本文通過對基于實數域的廣義粗糙變量的分析，用零售商需求模型對如何得到此粗糙變量給出了一個實例解釋。并在此基礎上，提出了粗糙變量的求解。實域廣義粗糙變量能比區間變量處理更復雜的不確定信息，必然在更多的領域中得到應用。

[1]胡可云,陸玉昌,石純一.粗糙集理論及其應用進展[J].清華大學學報,2004，（1）.

[2]楊星.粗糙集理論與相關不確定性理論的辨證研究[J].微電子學與計算機,2006，（3）.

[3]漆桂林.粗糙集與模糊集的轉化算法分析[J].宜春學院學報,2003，(4).

[4]賈曉秋,劉林忠.粗糙環境下立體運輸問題模型與算法[J].蘭州交通大學學報(自然科學版),2005,（8）.

[5]劉樂.抽象空間上的粗糙變量及粗糙規劃[D].南京理工大學碩士論文.

[6]劉杉,謝輝.基于粗糙理論的高速公路財務評價方法研究[J].統計與信息論壇,2008，（10）.

[7]Pawlak Z．Rough Sets[J].International Journal of Information and Computer Sciences，1982，11(5)．

[8]Pawlak Z．Rough Sets， Rough Function and Rough Calculus[A].Rough-Fuzzy Hybridization：A New Trend in Decision-Making[C]．Singapors：Springer-Verlag，1999．

[9]王緌,徐玖平.一類基于不定性復雜系統的粗糙GMDH模型及實證分析[J].系統工程理論與實踐,2004,（7）.