資金約束和數量折扣下的零售商延遲支付訂貨策略

張義剛 ，唐小我

（1.西南財經大學 信息工程學院，成都 610074；2.電子科技大學 經濟管理學院，成都 610054）

0 引言

傳統經濟批量訂貨模型(EOQ)的一個重要假設是零售商訂貨之后立即支付供應商貨款。而在實際商業活動中，基于各種原因，零售商常常延遲支付(delay in payments)。Goyal[1]于1985年率先研究了延遲支付情況下的EOQ模型，之后許多學者對延遲支付下的訂貨策略進行了研究，其中的一個研究方向是假定供應商制定的商品批發價格與零售商的訂貨批量相關，即將延遲支付與數量折扣 (quantity discount)問題相結合。有關數量折扣下的EOQ模型，可見Das[2]、Tersine和Toelle[3]以及Goyal和Gupta[4]等的研究。結合延遲支付，Khouja和Mehrez[5]研究了4種付款方式下零售商的訂貨策略，其中一種為零售商的訂貨批量必須達到一定閾值才能享受延遲支付。Chung和Liao[6]研究了有訂貨批量閾值的延遲支付問題，考慮的是易逝商品。Huang[7]假設只有訂貨批量達到閾值才能享受全部商品的延遲支付，否則只有部分商品能夠延遲支付。Shinn和 Hwang[8]從另外的角度研究了數量折扣問題，他們假定延遲支付期的長短與訂貨批量相關。

在已有的延遲支付和數量折扣結合的研究中，隱含了一個重要假設，即不管訂貨批量是多少，零售商在延遲支付期結束時總是有足夠的資金支付給供應商。而事實上，零售商的決策會受到資金的影響。當訂貨周期大于延遲支付期時，零售商有可能在延遲支付期結束時無足夠的資金支付供應商。也就是說，對于那些自有資金不充裕而且融資困難的零售商而言，其訂貨行為存在著資金約束。當數量折扣存在時，零售商有加大訂貨批量以獲得較高折扣的需要，這時不能不考慮資金約束。

本文擬研究在資金約束、數量折扣和延遲支付均存在的情況下，零售商的最優訂貨策略。

1 模型假設及符號

1.1 問題描述及假設

供應商允許零售商延遲支付貨款。對于不同大小的訂貨批量，供應商制定了不同的批發價格，但延遲支付期均一樣。零售商訂購商品的市場需求率恒定，不允許缺貨，每一周期結束時零售商的庫存為零，即零售商的訂貨環境符合EOQ模型的基本假設，零售商采用EOQ模型來訂貨。

零售商存在資金約束。盡管每一周期結束之后，零售商可以用獲得的銷售利潤追加訂貨資金，但是，對于適合使用EOQ模型來訂貨的商品而言，其需求率是恒定的，其零售價格也波動不大，零售商在該項商品上可以獲得的利潤也相對有限。而且，零售商在另外的領域也可能需要資金。因此對于適合EOQ模型訂貨的商品，可以假定在每一個周期中，零售商存在著一個固定大小的投入資金限額，在需要向供應商支付時，零售商在該商品上投入的自有資金總額不能超過該限額，其余資金則通過該項商品的銷售解決。

1.2 符號

D：商品的需求率(件/年)；

S：每次訂貨的訂貨費；

h：單位商品單位時間內的持有費；

T：訂貨周期；T*：最優訂貨周期；

Q：訂貨批量，Q＝DT；Q*：最優訂貨批量；

M：延遲支付期；

I：零售商單位資金的年利息收入；

c：商品的批發價。供應商實行數量折扣策略，即Q∈[qi,qi+1)時，c=ci(i=1,2,…,n；c1＞c2＞…cn)；

p：商品的零售價(p＞c)；

Y：零售商在該項商品訂貨中的資金限額；

Z：零售商的年總費用。

2 模型

零售商的年總費用=年貨款+年訂貨費+年持有費-年利息收入

年貨款=cD；年訂貨費=S/T

年持有費=hDT/2

年利息收入依賴于零售商訂貨周期和供應商給定的延遲支付期之間的關系。當訂貨周期由小變大時，會經歷圖1和圖2所示意的兩種情況。

2.1 T＜M

一個周期中的利息收入=IYT+IpDT2/2+IpDT(M-T)

年利息收入=IY+IpDT/2+IpD(M-T)

零售商的年總費用為

由?2Z1/?T2＞0，得在?Z1/?T=0 時年總費用最少。 因此最優訂貨周期為

最優訂貨批量為

2.2 T≥M

在一個周期中

|OM|時段利息收入=IYM+IpDM2/2

在M點，零售商必須支付貨款cDT(包含的約束條件是Y≥cDT-pDM)，零售商的資金減少cDT，因此

|MT|時段利息收入=I(Y+pDM-cDT)(T-M)+IpD(T-M)2/2

年利息收入=(|OM|時段利息收入+|MT|時段利息收入)/T

=IY+IcDM+(Ip-2Ic)DT/2

因此年總費用

由?2Z2/?T2＞0，得在?Z2/?T=0 時年總費用最少，因此批發價為c時的最優訂貨周期為

最優訂貨批量為

圖1 T＜M

圖2 T≥M

圖3 情形①

圖4 情形②

2.3 零售商的最優訂貨策略

年總費用最少時，零售商的訂貨策略最優。因此零售商最優訂貨策略的確定，即是求解下面的規劃問題。

其中，式(10)為供應商的訂貨批量約束，式(11)為零售商的資金約束。

3 模型求解

3.1 模型討論

下面，討論零售商年總費用函數Z(c,T)的一些性質。基本思路是，將Z(c,T)看成是區間T＜M和T≥M上的分段函數，通過對函數性質的討論來分析比較駐點和T=M處函數值的大小，進而尋找符合約束條件的最小總費用。

性質1 對于任意c，Z(c,T)在T=M處是連續的。

證明：對于任意c

證明：由式(2)和(6)，有

由 c＜p，得 2Ic-Ip＜Ip

由于?2Z1/?T2＞0 和?2Z2/?T2＞0，性質 2 意味著對于任意 c，Z1和Z2的組合只有3種情形(參見圖3、圖4和圖5)。這就引出了下面的性質3。為了敘述的方便，在(12)和(13)式中，令

△1=(h+Ip)/DM2-2S；△2=(h+2Ic-Ip)/DM2-2S

由于分母為正，△1和△2分別決定了式(12)和式(13)與零的大小關系。

性質 3 ①當△1＞0，△2≥0 時，T*=

②當△1＞0，△2＜0 時， T*為和中與 min{Z1(c,),Z2(c,T2*)}對應者；

③當△1≤0，△2＜0 時，T*=。

證明：①△1＞0，△2≥0時的情形由圖 3示意，因此最優訂貨周期T*=

②△1＞0，△2＜0時的情形由圖 4 示意，因此最優訂貨周期T*為和中與min{Z1(c,),Z2(c,)}對應者。

③△1≤0，△2＜0時的情形由圖 5示意，因此最優訂貨周期T*=

圖5 情形③

圖6 算例中的年總費用曲線

3.2 圖解法確定最優訂貨策略

年總費用函數Z(c,T)的3條性質，為確定最優訂貨策略打下了基礎。但是，由于Z的組合情形有3種，供應商又根據訂貨批量的不同提供了多個批發價格，加上零售商存在資金約束，具體的情形將變得復雜。在本文假設的情況下，盡管用文字和公式來描述確定最優訂貨策略的一般步驟是可行的，但將非常繁瑣(參見文獻[4]中EOQ模型下考慮數量折扣時最優訂貨策略的確定步驟)。

另一方面，在實際的商業活動中，供應商根據零售商的訂貨批量設置的批發價格一般不會很多。而且，批量約束和資金約束在Z-Q關系圖中都可以簡單地表示出來。這使得可以利用具體的參數，通過計算機軟件來畫出Z(c,T)的函數曲線，并結合約束條件來確定最優訂貨策略。

供應商是根據訂貨批量來設置批發價格的，為了作圖的方便，利用T=Q/D將Z(c,T)轉換為

盡管實際應用中具體的參數各有差異，但用圖解法來確定最優訂貨策略，其步驟是一致的。

步驟1：根據實際情況，設置合適的坐標計量單位。

步驟2：根據延遲支付期M畫出DM線。

步驟3：根據式(14)和相關參數，用軟件畫出各批發價對應的Z(c,Q)曲線，以DM線作為Z1和Z2的分界線。

步驟4：畫出各批發價要求的最低訂貨批量線。

步驟5：將資金約束Y≥cDT-pDM轉換為Q≤(Y+pDM)/c，畫出資金約束線Y。

步驟6：按照從低價到高價的順序，在各Z(c,Q)曲線上找出符合約束條件的Z值最小點，然后進行比較，Z值最小的即為最優策略點。在不易分辨時，可以結合△1和△2的值判斷Z曲線的構成，必要時可根據公式具體計算。Z值明顯都高的曲線可以不參與比較。

4 算例

假設商品需求率D=10000(件/年)；每次訂貨的訂貨費S=1000(元)；持有費 h=50(元/年·件)；資金收益利率 I=0.1(1/年)；商品零售價 p=250(元/件)；延遲支付期 M=0.1(年)；零售商在該項商品交易中的投入資金限額Y=100000(元)；商品批發價由下式確定，單位：元。

這時△1＞0，△2＞0，即相當于性質 3 中①的情形。

圖解法確定最優訂貨策略的步驟為：首先，結合此算例的實際，將縱坐標Z的計量單位設置為“萬元”，橫坐標Q的計量單位設置為“×250件”；然后，用軟件畫出各曲線和約束線(在本算例中DM線和批發價c3的訂貨批量約束線q3恰好重合)；最后，按照從低價到高價的順序，在各曲線上尋找關鍵點，并進行比較。

曲線c4中，點①為符合批量約束的Z值最小點，但不符合資金約束；曲線c3中，點②為符合批量約束的Z值最小點，而且符合資金約束；曲線c2中，點③為既符合批量約束又符合資金約束的Z值最小點，但Z值明顯大于點②；曲線c1中所有點的Z值都明顯偏高，不予考慮。所以，點②即為最優策略點。此時，

最優訂貨周期T*=M=0.1(年)

最優訂貨批量Q*=1000(件)

5 小結

針對供應商給予固定期限的延遲支付期，并根據訂貨批量的不同設置多個批發價格的情況，假定零售商投入的資金有一固定的最大限額，存在資金約束，本文建立了確定零售商最優訂貨策略時需要的模型。通過對模型的討論，在分析年總費用函數特征的基礎上，給出了使用圖解法來確定最優訂貨策略的步驟。最后，進行了算例分析。

[1]Goyal S K.Economic Order Quantity under Conditions of Permissible Delay in Payments[J].Journal of the Operational Research Society,1985,36(4).

[2]Das C.A Unified Approach to the Price-break Economic Order Quantity(EOQ)Problem[J].Decision Science,1984,15.

[3]Tersine R J,Toelle R A.Lot Size Determination with Quantity Discounts[J].Production and Inventory Management,1985,27(3).

[4]Goyal S K,Gupta O K.A Simple Approach to the Discount Purchase Problem[J].The Journalofthe OperationalResearch Society,1990,41.

[5]Khouja M,Mehrez A.Optimal Inventory Policy under Different Supplier Credit Policies[J].Journal of Manufacturing Systems,1996,15.

[6]Chung K J,Liao J J.Lot-sizing Decisions under Trade Credit Depending on the Ordering Quantity[J].Computers&Operations Research,2004,31.

[7]Huang Y F.Economic Order Quantity underConditionally Permissible Delay in Payments[J].European Journal of Operational Research,2007,16.

[8]Shinn S W,Hwang H.Optimal Pricing and Ordering Policies for Retailers under Order-size-d ependentDelay in Payments[J].Computers and Operations Research,2003,30.