基于MCMC方法的機制轉換利率模型實證研究

孫伶俐，陳啟宏

（上海財經大學a.金融學院；b.應用數學系，上海 200433）

1 機制轉換利率模型建構

為了保持可操作性，機制轉換過程為二狀態馬爾科夫過程（Hamilton（2002））。假定在給定今天的機制 st=0，1 情況下，明天的機制st+1=0，1演化由馬爾科夫鏈轉移概率矩陣來控制。轉移概率矩陣為：

其中，Σj=0，1，πij=1，0＜πij＜1。

單因素機制轉換CIR：

雖然計量經濟學家可能沒有觀察到機制，但假定經濟中的機構觀察到了機制。在這個經濟中的定價核（也就是邊際跨期替代率）為：

其中，rf,t是連續時間單期無風險利率。

t時刻，離到期日有n個期限的債券價格依賴于機制st=i，i=0，1 以及 xt，債券價格為：

Pi(t，n)=exp{-Ai(n)-Bi(n)xt}

類似地，t+1時刻債券價格為：

PSt+1(t+1,n-1)=exp{-ASt+1(n-1)-BSt+1(n-1)xt+1}

對 st=i，i=0，1，加入邊界條件 Ai(0)=Bi(0)=0，Ai(1)=0，Bi(1)=1，也就是 rf，t=xt。 利用 rf，t=xt，使用對數正態近似，關鍵的資產定價條件如下：

在機制st+1，債券收益的條件均值與波動率分別為μn，st+1，t，σn，st+1，t2。

對于給定的資產定價條件，債券價格的解可通過求未知參數而得到：

與

初始條件件A0(0)=A1(0)=B0(0)=B1(0)。

K個因素的機制轉換模型債券收益也可以由類似方法來得到：

2 模型的估計方法

由于模型參數估計的復雜性，對機制轉換利率模型采用了馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法 (Markov Chain Monte Carlo,MCMC)。

MCMC方法的基本思想是通過一個平穩分布為π(x)的馬爾可夫鏈來得到π(x)的樣本，基于這些樣本就可以做各種統計推斷。MCMC方法可概括為如下三步：

(1)在X上選一個使π(x)為其相應平穩分布的馬爾可夫鏈，使其轉移核為 p(·,·)。

圖1 擬合的利率平面曲線

(2)由X中某一點X0出發，用(1)中的馬爾可夫鏈產生點序列 X1，X2，…，Xn。

(3)對某個m和大的m，任一函數f(x)的期望值估計如下：

其中，令{x(t)}t≥0為X上的馬爾可夫鏈，其一步轉移概率函數為(連續)，p(·,·)稱為該馬爾可夫鏈的轉移核。

目前，在貝葉斯分析中應用最為廣泛的MCMC方法主要有兩種：Gibbs抽樣(Sampler)方法和 Metropolis-Hastings方法。后人在這一基本方法的基礎上又對其進行了進一步的改進和推廣。

3 實證結果及分析

3.1 數據選擇與分析

本文選擇Nelson-Siegle模型，利用上交所交易的國債信息對2001年8月至2008年12月每周的利率期限結構進行估計，共有360條周收益曲線。數據由北方之星導出并由Nelson-Siegle方法計算得到。利用Nelson-Siegle模型擬合了即期利率曲線之后，就可以選擇即期利率曲線上不同時點的即期利率，對利率模型進行估計。擬合后的曲線如圖1所示。

從圖1中可以看出即期利率從2001年至今總體呈現出波動起伏的走勢，自2001年年底開始走低，并于2002年5月左右達到低點后開始反彈，并逐步走高。一直到2004年10左右達到最高，一直到2007年底走低。此后逐漸反彈，但到2008年8月份左右開始下跌。可以看出，利率變動也經歷了幾個周期。還可以看出雖然即期利率的收益率不同，但是不同期限的收益率的走勢之存在著很強的相關性，這說明利率期限結構的變化可能是幾個共同的因素影響作用的結果。

3.2 機制轉換模型估計結果

表1 銀行間收益率數據的統計特征

采用的模型為兩因素機制轉換模型：

從一個狀態轉移到另一個狀態的概率為：

P(st+1=1|st+1=0)=π01=e0，P(st+1=0|st+1=1)=π10=e1其中 0＜ei＜1。

簡單地，可以假定初始波動率v1是給定的。模型參數為ki=(ki1，ki2)T，θi=(θi1，θi2)T，?i，i=0 或 1，轉移概率 e=(e0，e1)T，狀態向量 S=(s1，s2，…，sn)T包含了擴展的參數，V=(v1，v2，…，vn)T包括了波動率向量。

由于模型是所有可能狀態結構的混合，因此模型的似然函數是很復雜。但在Gibb抽樣方法中，僅要求下面的條件后驗分布。

f(ki|R，S，H，θ0，θ1)，f(θi|R，S，H，θj≠i)，P(S|R，v1，θ0，θ1)，f(?i|R，S，H，?j≠i)，f(ei|S)，i=0，1

其中R所有觀察到的收益率的集合。我們使用共軛先驗分布來描述。

由于vt是似然函數的非線性參數，因此使用Griddy Gibbs方法來抽取隨機樣本。

我們用Gibbs抽樣方法估計模型的步驟如下：

(1)規定方程的超參數值，即先驗分布為：

(2)對參數規定任意的起始值。e0=e1=0.1，k0=k1=(0.0000648，-0.0271)T，θ0=θ1=(0.00329,-0.035)T。

s1為相等概率的Bernoulli試驗，st逐步使用初始轉移概率而產生。vt抽樣使用300個格子點Griddy Gibbs抽樣，對下面范圍劃分相等空間：vt∈[0，1.5×0.0000376]=[0，0.0000564]。

(3)使用 Griddy Gibbs抽樣抽取 vt。

(4)使用正態分布抽取ki。

(5)使用正態分布抽取θi。

(6)使用 χ2分布抽取 ?i。

(7)使用 Beta分布抽取 ei。

重復上述步驟3～7多次就可得到Gibbs抽樣，Gibbs抽樣運行25000次。為了監測馬爾可夫鏈的收斂性，另外再給定不同的參數條件下，再運行一次。

診斷和監測收斂的方法采用一種由Gelman and Rubin(1992)、Gelman(1996)提出的一種監測方法，這是一種最容易理解與執行的方法，可以使用在任何MCMC方法。Gelman and Rubin方法的思想是，如果收斂沒有發生，基于單個鏈的方差可能小于聯合序列的方差。

表2 參數的后驗均值與標準差

在收斂后，然后取其中一條鏈Gibbs抽樣的后5000次，拋棄前面的20000次，這就是退火（burn in）。僅最后5000次結果用來做估計。樣本均值作為模型參數的點估計。

4 結論

本文以上海銀行間國債市場的利率作為中國短期利率的代表，選擇從2001年8月至2008年12月每周的利率數據為樣本，采用MCMC方法對機制轉換模型進行了實證分析。檢驗結果表明，機制轉換模型中所有的參數值都顯著。因此可以說明我國銀行間國債市場的利率期限結構確實可以用機制轉換模型來刻畫，利率的動態確實存在著機制轉換的現象。

三個模型中均存在均值回復率大于0，長期平均利率大于0，這一點反映了短期利率在一定時間內會向著正的長期均值回復，且速度較慢。其中在雙因素機制轉換模型中，均值回復率為0.0671，平均利率為0.0163。

通過實證分析機制轉換利率模型，我國銀行間國債市場的收益率中存在著機制轉換現象。因此可以通過機制轉換利率模型來更好地描述利率期限結構，也可以更準確地為債券及相關的衍生產品定價。

參數文獻：

[1]Hull,J.Options,Futures,and Other Derivatives[M].北京：清華大學出版社，2006.

[2]Hamilton,J.D.A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle[J].Econometrica,1989，57.

[3]Bansal,Ravi,Zhou Hao.Term Structure of Interest Rates with Regime Shifts[J].The Journal of Finance,2002，LVII,（5）.

[4]Dai,Q.,K.Singleton,W.Yang.Regime Shifts in a Dynamic Term Structure Model of the U.S.Treasury Bond Yields[J].Review of Financial Studies,2007，20.

[5]Tsay Ruey.S.Analysis of Financial Time Series[M].Chichster:John Wiley&Sons，2005.

[6]王安興.利率模型[M].上海：上海財經大學出版社，2007.