含有質量缺陷單向替代易逝品訂貨的最優策略

官振中 ，李曉力

（1.四川大學 工商管理學院，成都 610064；2.西南交通大學 經濟管理學院，成都 610031）

0 引言

易逝性產品[1][2](Perishable Products)，又稱季節性產品或短生命周期產品，如：報紙雜志、影碟、食品、藥品和時裝等。隨著科技的進步、市場激烈的競爭，產品的生命周期縮短，更新換代加快，越來越多的產品(如：電子產品、個人計算機和信息產品等)具有易逝品的特征。時效性強、需求波動大的特征使得超過銷售期(生命周期)的易逝品的剩余價值將會喪失或變得很低，研究易逝品的訂貨策略無疑對零售商增加利潤和提高客戶滿意度有著非常強的理論價值和實踐意義。而在以往研究中，關于易逝品的訂貨大多沒有考慮產品的質量問題，而在實際中總有一些產品的質量存在缺陷，跟研究中間產品的質量缺陷會對供應商、制造商以及整個供應鏈的運作和收益產生重要影響不同[3]，本文將著重研究帶有質量缺陷的產品對于零售商訂貨產生何種影響。

在實際生活中，存在著很多的產品，因其使用價值相近、相類似或者相同，彼此之間可以互相替代。產品之間的替代性，可以提高零售商的收益和服務水平[4]。蔡連僑等人[4][5]考慮兩種產品進行單向替代時，替代產品以被替代產品的價格進行銷售，給出了最優訂貨量所應滿足的條件和所具有的一些基本性質，并加以證明。本文將討論質量好的易逝品單向替代質量存在缺陷的產品時訂貨策略問題，以獲得最大的期望利潤。所謂單向替代，是指物品之間在性能指標或質量上存在等級差異，此時無論是從顧客的接受角度還是從經銷商維持“商譽”的角度出發，替代只能是單向的，即只能是用性能指標高或質量好的物品來滿足顧客對性能指標較差或質量稍次物品的需求，而反之則不行。

對于易逝品訂貨策略的研究,最典型的當屬報童模型(Newsboy Model),它解決了隨機需求環境下,面向隨機顧客需求的單品種產品的單周期訂貨問題[6]。而對于替代性易逝品訂貨策略，Pentico考慮產品間的單向替代，用動態規劃方法得到多產品的最優庫存策略[7]。Parlar利用博弈理論方法討論當兩個獨立決策者當其產品缺貨時彼此間的相互替代效果，并且在最后找出納什均衡解[8]。Goh等人以血庫為例，研究了易逝品的庫存系統[9]。Chand等人一般化Pentico的購買價格函數，并且假設需求固定和零件間存在單向替代，利用動態規劃方法求出最優的零件庫存組合[10]。Bassok等人提出單周期、向下替代的多產品的庫存模式，以求得單周期利潤最大的最優訂貨策略[11]。Smith和Agrawal等人探討了在給定服務水平及資源限制（如：場地空間限制）的情況下，具有相互隨機替代關系的不同品牌和款式的相同產品的最優訂貨策略（包括訂貨種類和訂貨量），以獲得最大的利潤[12]。陳旭討論了隨機需求環境下兩種雙向替代易逝品的零售商訂貨策略并用數值算例討論了替代系數、產品的邊際利潤和產品的零售價格對訂貨量的影響[13]。本文討論產品向下替代的過程中無缺陷產品單向替代有缺陷產品時，零售商的最優訂貨量存在的必要條件以及各個條件對訂貨策略以及利潤的影響。

1 模型描述、變量描述及假設

假定市場中存在兩個供應商，其中供應商1向零售商提供的產品不包含缺陷品，而供應商2向零售商提供的產品包含缺陷品，這兩種產品對于消費者而言使用功能一樣不存在任何差別，但當消費者選擇含有缺陷品的產品時出現問題則會向零售商進行索賠（產品1不會出現問題，不會存在索賠現象）；當產品2缺貨時，零售商可以用多余的產品1去滿足，相反則不行。為討論分析的方便，進行如下的符號定義和假設（i=1,2）：

pi——單位產品的零售價格；wi——供應商的單位產品的批發價格；vi——單位產品的缺貨損失；R——包含缺陷品的產品的缺陷品率，為一統計值，R∈(0，1)；Q1——零售商向供應商1（不包含缺陷品的產品）的訂貨量；Q2——零售商向供應商2（包含缺陷品的產品）的訂貨量；A——單位缺陷品的顧客索賠；Xi——產品的市場需求量，為一隨機變量，其概率密度函數f(xi)和累積分布函數F(xi)均為可微的和可逆的；μi——產品市場需求量Xi的數學期望。

假設1 供應商1和2都有足夠的產品可供訂購。

假設2 兩種產品的單位零售價格均不小于該產品的單位批發價格，即pi＞wi(i=1,2)；這個假設說明零售商銷售產品是有利可圖的，因此保證其愿意訂購產品出售給顧客。

假設3 供應商1提供產品的單位批發價格大于供應商2提供產品的單位批發價格，單位缺陷品的顧客索賠大于單位產品的零售價格，且單位產品的零售價格大于單位產品的成本，即 w1≥w2，A＞p2且 p2＞w2+AR；假設 w1≥w2說明供應商2提供產品的采購成本比較低，因此零售商會向供應商2訂購產品。假設A＞p2說明零售商不會向供應商2大量訂購有缺陷品的產品，p2＞w2+AR保證零售商向供應商2訂購包含有缺陷品的產品也有利潤可得，才會向供應商2進行訂貨，這兩個假設說明在有利潤可得的情況下零售商會向供應商2訂購包含有缺陷品的產品，即零售商向質量不可靠的供應商進行訂貨。

假設4 假設供應商1和供應商2提供的產品的需求同時實現。

假設5 初始庫存為0。

2 系統建模與分析

首先，假定不存在替代行為，那么零售商的收益函數可以表示為

對式（1）求期望有：

那么不替代下其最優訂貨量可由下面方程組求得：

其最優訂貨量為：

可以看出，其最優訂貨量為報童模型。

當產品1可以替代產品2時，即在產品2缺貨時，考慮到產品的單向替代性，零售商可以說服消費者用產品1來替代，那么零售商的收益可以表示成：

對式（6）求期望有：

式（8）分別對 Q1，Q2求導有：

定理1 當零售商同時從兩種供應商訂貨時，如果合格品的缺貨率1-F(Q1)小于某一值（AR/(p2+v2)）時零售商存在最優訂貨量。

證明 令：

3 最優訂貨量的性質

證明了最優訂貨量應該滿足的必要條件之后,對最優訂貨量進行進一步的分析,得到如下基本性質：

性質1和性質2的結論非常直觀，當一種產品銷售價格和缺貨損失增加時，則多訂購該產品而少訂購另外產品，特殊情況在于可替代產品的訂貨量跟被替代產品（質量不可靠產品）的銷售價格和缺貨損失不存在這種明朗的關系。

性質3和性質4的結論同樣非常直觀，其他參數不變的情況下，單位產品的批發價格增加則表示單位利潤將會減少，就應該少訂購該產品多訂購另外一種產品，而單位索賠額AR的增加，則應少訂購產品2減少索賠損失。

4 跟不替代比較

結論1 在產品1可以替代2的情況下，與不采用替代策略相比較，如果零售商采取替代策略，則其應該多訂購產品1而少訂購產品2，即：

結論2 在質量好的產品1可以替代有缺陷品的產品2的情況下，與不采用替代策略相比較，則可提高其期望總收益，即：

5 結論及未來研究

本文研究了一類特殊品——易逝性產品的訂貨問題，指出了零售商在面臨供應商供應的產品有質量缺陷時，采用向下替代策略來滿足一部分缺貨需求，同時還可以提高其期望利潤，證明了零售商最優策略存在應滿足的條件，并給出了不同條件對于訂貨策略的影響，得出了一些有意義的性質和結論。未來可以在本研究的基礎上，可以在以下領域做進一步研究：（1）本文在考慮需求時假定需求是外生的，顯然消費者的需求是受很多因素影響的，尤其是價格的影響，有可能考慮的就是訂貨和定價聯合最優策略，即在缺貨時的替代產品價格對于消費者需求的影響，（2）本文僅從零售商自己出發，考慮產品間的影響，而市場上存在多個零售商，即要考慮競爭的因素。這也是當今易逝品研究的一個熱點和難點。

[1]Nahmias,S.Perishable Inventory Theory：A Review[J].Operations Research,1978,30(4).

[2]Raafat F,Wolfe P M,Eldin H K.An Inventory Model for Deteriorating Item[J].Computers and Industrial Engineering,1991,20(1).

[3]華中生，陳曉伶.考慮質量風險時供應鏈訂貨批量的博弈分析[J].系統工程理論方法應用，2005，14(4).

[4]蔡連僑，陳劍，嚴厚民.可替代產品的庫存模型研究(II):基本性質[J].系統工程理論與實踐，2003，(8).

[5]蔡連僑，陳劍，嚴厚民.可替代產品的庫存模型研究(I):最優訂貨量[J].系統工程理論與實踐，2003，(6).

[6]Khouja M.The Single Period (news-vendor)Inventory Problem:A Literature Review and Suggestions for Future Research[J].Omega,1999,(27).

[7]Pentico D W.The Assortment Problem with Probabilistic Demands[J].Management Science,1974,21(3).

[8]Parlar M.Game Theoretic Analysis of the Substitutable Product Inventory Problem and Random Demands[J].Naval Research Logistics,1988,(35).

[9]Goh C H,Greenberg B S,Matsuo H.Two-Stage Perishable Inventory Models[J].Management Science,1993,39(5).

[10]Chand S,Ward I E,Weng Z K.A Parts Selection Model with One-Way Substitution[J].European Journal of Operational Research,1994,(73).

[11]Bassok Y,Anupindi R,Akella R.Single Period Multi-product Inventory Models[J].Operations Research,1999,47(4).

[12]Smith S A,Agrawal N.Management of Multi-Item Retail Inventory Systems with Demand Substitution[J].Operations Research,2000,48(1).

[13]陳旭.面向隨機需求的可替代易逝品訂貨策略[J].系統工程理論方法與應用，2004，13（4）.