一個(gè)新的有齊次核的Hilbert 型積分不等式及其逆

曾 崢, 謝子填

(1.韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東 韶關(guān) 512005；2.廣東肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣東 肇慶 526061)

(1)

Hardy-Hilbert不等式在分析上有重要作用.近年來(lái),人們陸續(xù)對(duì)積分型和級(jí)數(shù)型的Hilbert 型積分不等式作了推廣[2-14].2008 年,筆者證明了如下有最佳常數(shù)因子的Hilbert 型積分不等式[2]:

(2)

2007 年,楊必成[4]給出以下結(jié)論:

(3)

同時(shí),楊必成[5]給出以下結(jié)論:

(4)

筆者將應(yīng)用權(quán)函數(shù)給出一個(gè)新的含有齊次核的Hilbert型積分不等式及其逆式，并證明了常數(shù)因子的最佳性.

則

(5)

(6)

易得

引理1證畢.

(7)

(8)

且式(7)和式(8)等價(jià),常數(shù)因子K由引理1定義,K及Kp為最佳值.

(9)

(10)

且式(9)和式(10)等價(jià),常數(shù)因子K及Kp為最佳值.

本文僅證明定理2,定理1的證明與之類似,故略.

定理2的證明 由帶權(quán)H?lder不等式[15]得

(11)

(12)

由于

(13)

故

(14)

由Fatou引理得

(15)

于是

(16)

(17)

由式(16) 和式(10)即得式(9)成立,它們?nèi)?yán)格不等號(hào).綜上，式(9)和式(10)等價(jià).

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