獨立分量分析在圖像去噪中的應用

(東北石油大學學生工作處，黑龍江 大慶 163318)

林義剛

(東北石油大學油氣信息與控制工程學院，黑龍江 大慶 163318)

李 娜

(南京師范大學電氣自動化學院，江蘇 南京 210046)

李 宏

(東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318)

圖像是人類了解世界的一個重要信息來源，因此對圖像進行一系列的編碼、壓縮、傳輸等操作在圖像處理中非常重要。在圖像處理過程中，噪聲的產生是不可避免的，不同程度噪聲干擾存在于任何未經處理的原始圖像中。噪聲使圖像模糊甚至淹沒特征[1]，因而圖像去噪成為圖像處理中的重要一環。在圖像處理過程中，圖像去噪的方法很多，通常分為空域去噪法和頻域去噪法。均值濾波、灰度變換、直方圖均衡等方法是比較典型的空域去噪法，而小波域值去噪法和從集合角度來分析圖像的數學形態學去噪法則在頻域去噪法中廣泛應用。通常，圖像去噪時都是通過選用不同的參數處理相應情況，而圖像的統計信息往往很少被利用。獨立分量分析法針對高階統計量對高斯噪聲不敏感的特點，對圖像數據的高階統計量進行計算，屬于一種改進的圖像去噪方法[2]。為此，筆者基于數學形態學、稀疏編碼與獨立分量分析方法對圖像去噪問題進行討論。

1 獨立分量分析

1.1 盲源信號分離與獨立分量分析

圖1 BSS分解簡圖

獨立分量分析[2](Independent Component Analysis，ICA)屬于一種多通道數字信號處理技術，其含義是將信號分解為若干個相互獨立的成份，若信號本來就由若干獨立信源混合而成，則只靠單一通道觀察不可能恰好把這些信源分解開，因此，需要借助于一組多通道把這些信源按不同混合比例組合起來同步觀察。但把一組觀測信號分解成若干獨立成分的結果具有不唯一性，因此，在分解過程中需要施加若干約束條件。獨立分量分析是伴隨著盲源信號分離(Blind Source Separation，BSS)的發展而共同發展起來的。BSS的任務是只通過多通道系統的輸出X,進而判斷其輸入的S以及系統的傳遞函數H，如圖1所示。顯然其任務的解答是不唯一的，所以一般至少需假設S中各分量具有相互獨立性、零均值且方差為1的特點。

1.2 ICA最簡形式

假設n個觀測信號xi∈{x1,x2,…,xn}是si∈{s1,s2,…,sn}的線性組合(其中si是未知且統計獨立的源信號)：

xi=ai1s1+ai2s2+…+ainsni=1,2,…,n

(1)

式中，aij表示第i個觀測信號中第j個源信號的權重，通常可假設觀測信號xi和源信號si都具有零均值。

以向量形式改寫式(1)：

X=AS

(2)

式中，X={xi};A={aij}為一混合矩陣;S={si}；i=1,2,…,n；j=1,2,…,n。式(2)給出了ICA的混合模型。由于在ICA中混合矩陣A和獨立分量S假設為未知，僅觀測信號X為已知，因此，如何通過觀測信號估計出A和S的過程是一個盲源信號分離問題。假設A可逆，則存在一個分離矩陣B=A-1，使得S=BX，從而使源信號得到恢復。但是，由于A未知，所以B=A-1需要通過估計獲得，然后利用任意分離矩陣得到分離信號：

Z=BX

(3)

式(3)表明，獨立分量分析可以通過優化分離矩陣B，從而使分離得到的信號Z在一定意義上等價于實際源信號S。

1.3 ICA固有的2個不確定性問題及源信號非高斯性度量

BSS存在幅度不確定性和順序不確定性[3]，ICA作為BSS的一種，也必然存在上述不確定性問題，下式表述了其基本原理：

(4)

式中，X(t)為觀測信號；ai和si(t)分別為混合矩陣A和源信號S(t)的第i分量；bi為任意非零常數。從式(4)可知，所得到的觀測信號不會因為同時交換不同的源信號分量及其所對應的混合矩陣列的位置而改變；互換一個源信號分量與其對應的混合矩陣的列的一個固定非零系數因子，也不會改變觀測信號。所以，在盲源信號分離過程中，幅度和順序的不確定性問題是必然存在的。

負熵是信號非高斯性的一個定量度量，高斯信號的負熵為零[4]。對于任意隨機變量x，負熵的定義為：

(5)

其中，pG(x)表示與p(x)有相同方差的高斯分布;HG(x)和H(x)是對應隨機變量的信息熵。當隨機變量x為高斯分布時負熵為零，其他任意時刻負熵的值皆為非負。并且，在相同方差的前提下，一個隨機變量的高斯性越強，其負熵的值就越小。

2 數學形態學基本運算

數學形態學是一套完整的理論體系，其不以傳統的數值建模及分析為出發點，而是從集合的角度來處置圖像。數學形態學與幾何之間存在著直接關系，而顯式的幾何描述非常適于對形狀的表述和分析。數學形態學的基本算子包括腐蝕、膨脹、開、閉等，具體表述如下。

2.1 腐蝕運算

腐蝕是數學形態學最基本的運算。E(M,N)意為集合M被集合N腐蝕，定義為：

E(M,N)={x:N+x?M}

(6)

式中，M表示輸入圖像;N表示結構元素。

2.2 膨脹運算

與腐蝕運算相對應的是膨脹運算，記為D(M,N)，定義為：

D(M,N)={x:(-N+x)∩M≠?}

(7)

2.3 形態開運算

圖像M對N的開運算定義為：

O(M,N)=D(E(M,N),N)

(8)

2.4 形態閉運算

閉運算是開運算的對偶運算，圖像M對結構元素N的閉運算記為C(M,N)，定義為：

(9)

數學形態學濾波算法屬于非線性濾波方法，其在圖像噪聲抑制、邊緣提取及目標檢測等方面具有廣泛的應用。

3 算法實現

在現實世界中，噪聲普遍存在于觀測量中，其來源可能為實際傳感器的物理噪聲，也可能對應于模型的不精確性等，這些噪聲的存在導致混合矩陣的估計難度很大。因此，需要在運用獨立分量分析算法之前，對數據通過數學形態學進行降噪預處理。同時，在應用獨立分量分析進行噪聲去除過程中，存在如何估計獨立成分的無噪聲實現這樣一個問題，其中，加性噪聲是因子分析和信號處理中常用的標準形式，具有簡單的噪聲模型表達式，噪聲ICA模型可表示為：

X=AS+n

(10)

其中，n=[n1,…,nn]T是噪聲向量。

從獨立分量分析算法的角度看，噪音和圖像數據之間一般是相互獨立的，獨立分量分析方法能夠利用圖像的高階統計信息，獲取與噪聲數據相互獨立的圖像數據分量，從而將獨立的噪聲數據去除，并能很好地保持原有圖像數據的完整性。Hyvarien等[5]認為多信號的獨立分量是稀疏的，可以在ICA域中去除噪聲，而且稀疏編碼收縮方法對于非高斯信號被高斯信號污染的去噪處理非常有效。因此，基于噪聲模型的不可逆性，需要引入新的方法來估計無噪聲成分。為了得到良好的去噪效果，利用獨立分量分析結合稀疏編碼收縮法進行圖像去噪，其算法流程如下。

1)記錄隨機生成的滑動窗口截取子圖像塊的位置 去噪結束后，要對去噪后圖像進行恢復，此時，首先需要找出每個子圖像所對應的實際位置。由于其截取的隨機性，每個像素在每個子圖像中都可能出現，因此，恢復時要對每個像素的多個恢復值取平均，用其作為該位置上的像素灰度值。

2)訓練圖像的獲取 應用數學形態學方法對噪聲圖像進行初步去噪，以初步處理后獲得的圖像作為訓練圖像，并從中隨機提取一系列8×8的訓練子圖像塊，然后針對每個子圖像塊進行去均值和白化，并將子圖像塊按像素位置首尾相連構成一個1×64的列向量，以此作為無噪數據Z的一個列向量，實驗中選取寵物狗圖像的若干個這樣的向量，形成一系列的訓練樣本數據集，作為輸入樣本。

3)估計稀疏變換矩陣W利用ICA算法處理訓練數據Z，獲得64×64維的圖像塊分離矩陣Wk，其也是訓練圖像塊的64個基向量，Wk的每列為1×64的向量，對應一個8×8的基圖像塊，對分離矩陣Wk進行正交變換:

其中,W為所求稀疏變換矩陣。

(11)

其中,σ2為噪音的方差，可由對應每個集si的yi的平均絕對偏差乘以0.6475來估計；參數i和j可以通過下式估計：

(12)

(13)

其中,ps(0)是s為0時的密度函數的值;E{·}為均值運算。

通過下式計算含噪圖像數據在變換基W下的投影y(t)：

y(t)=Wx(t)

(14)

其中,x(t)為含噪圖像數據；t=1,2,…,T。

4 仿真結果

選擇某寵物狗圖像，通過上述算法進行去噪，結果如圖2所示。

圖2 寵物狗圖像去噪仿真圖

從圖2可以看出，通過數學形態學方法預處理后，在對目標細節保護方面處理較好。ICA算法的去噪處理在平滑信號中銳變尖峰成份的同時盡可能地保留了一些突變點可能攜帶的重要信息，使其大體的輪廓信息得以保存。同時，去噪后寵物狗圖像的高頻成分得到了很大的保留，沒有在去噪過程中隨著噪聲信號一起被去除。因此，該改進算法在消除噪聲的效果方面能夠較好地保持圖像的基本信息和圖像原有的視覺特性，能夠最大程度地滿足人類視覺要求。

5 結 語

通過對圖像數據統計信息的計算，應用數學形態學方法對圖像數據進行初步處理，然后通過ICA算法將處理后的圖像數據投影到ICA域中，再利用稀疏編碼收縮法對含噪圖像進行去噪，最后，將去噪后的圖像投影回圖像空間，進而獲得去噪后的圖像，實現基于數學形態學、稀疏編碼與獨立分量分析的圖像去噪。仿真結果表明，該改進方法在有效去除噪聲的同時能有效保持圖像的細節特征，有很好的實用性。

[1]斯華齡,張立明.智能視覺圖像處理-多通道圖像的無監督學習方法及其它方法[M].上海:上海科技教育出版社,2002.

[2] 楊福生,洪波.獨立分量分析的原理與應用-信號與信息處理叢書[M].北京:清華大學出版社,2006.

[3] 馬建倉,牛奕龍,陳海洋.盲信號處理[M].北京：國防工業出版社，2006.

[4] Mendel J M.Tutorial on higher order statistics in signal processing and system theory:Theoretical results and some applications[J].Proc IEEE,1991,79(3):278～305.

[5] Hyvarinen A,Hoyer P,Oja E.Sparse code shrinkage fordenoising[A].In Proc.IEEE Int.Joint Conf.on Neural Networks,Anchorage[C].Alaska,1998.859～864.