旋挖鉆機(jī)變幅機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模與仿真

康輝梅，何清華，朱建新

(中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

旋挖鉆機(jī)是以回轉(zhuǎn)斗、短螺旋鉆頭或其他作業(yè)裝置進(jìn)行干、濕鉆進(jìn)，逐次取土，反復(fù)循環(huán)作業(yè)成孔為基本功能的機(jī)械設(shè)備。該鉆機(jī)也可配置長(zhǎng)螺旋鉆具、套管及其驅(qū)動(dòng)裝置，以及地下連續(xù)墻抓斗和預(yù)制樁樁錘等作業(yè)裝置[1]。旋挖鉆機(jī)具有效率高、污染少、功能多等優(yōu)點(diǎn)，隨著我國(guó)三峽水電站、青藏鐵路、奧運(yùn)工程、南水北調(diào)、西氣東輸、西電東送、城市地鐵輕軌、高速公路等大規(guī)模基礎(chǔ)工程建設(shè)的啟動(dòng)，近年來這種設(shè)備在我國(guó)得到了廣泛應(yīng)用和發(fā)展。目前，國(guó)內(nèi)各大工程機(jī)械公司已陸續(xù)開始自主研制旋挖鉆機(jī)。旋挖鉆機(jī)的結(jié)構(gòu)主要由底盤、回轉(zhuǎn)平臺(tái)、變幅機(jī)構(gòu)、鉆桅、鉆桿、動(dòng)力頭和鉆具等組成。變幅機(jī)構(gòu)是旋挖鉆機(jī)一個(gè)非常重要的工作裝置，由動(dòng)臂、三角架、連桿及變幅油缸等組成。該機(jī)構(gòu)主要起變幅和支撐作用。變幅功能由兩級(jí)變幅油缸完成，動(dòng)臂變幅油缸主要進(jìn)行鉆桅的水平起落及鉆孔作業(yè)半徑的調(diào)整，鉆桅變幅油缸主要進(jìn)行鉆桅位姿的調(diào)整。在整個(gè)鉆孔過程中，鉆具所承受的反作用力和反作用力矩均需通過鉆桿和鉆桅傳遞至變幅機(jī)構(gòu)上，再由變幅機(jī)構(gòu)經(jīng)回轉(zhuǎn)平臺(tái)和底盤傳遞至地面。變幅機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能對(duì)旋挖鉆機(jī)的主要性能指標(biāo)如動(dòng)力頭最大輸出扭矩有很大影響。而變幅機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式不同，其動(dòng)力學(xué)性能也不同。目前，人們對(duì)旋挖鉆機(jī)鉆桅系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)方面的研究[2-3]，而對(duì)變幅機(jī)構(gòu)的研究主要集中在構(gòu)件強(qiáng)度方面[4-11]，并對(duì)油缸負(fù)載[12]、整機(jī)穩(wěn)定性影響[13]等方面也進(jìn)行了研究，但對(duì)變幅機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模、仿真的研究很少，而對(duì)不同形式的變幅機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性能的研究則更少。為了研究和改善變幅機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，本文作者采用Simulink軟件對(duì)變幅機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析、建模和仿真研究。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

旋挖鉆機(jī)的動(dòng)臂變幅和鉆桅變幅2個(gè)動(dòng)作相互獨(dú)立進(jìn)行，本文作者主要研究動(dòng)臂變幅過程中變幅機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，鉆桅分別取水平和垂直2種姿態(tài)。動(dòng)臂在變幅過程中，三角架、鉆桅變幅油缸、鉆桅、鉆桿、動(dòng)力頭、鉆具等的相互位置關(guān)系保持不變，建模時(shí)將這幾部分視為1個(gè)剛體。動(dòng)臂變幅油缸所受力簡(jiǎn)化為方向沿該油缸兩鉸接點(diǎn)連線的力FN，則動(dòng)臂變幅機(jī)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為1個(gè)承受動(dòng)臂變幅油缸驅(qū)動(dòng)力和自身重力的四連桿機(jī)構(gòu)。目前，國(guó)內(nèi)外采用平行四邊形加小三角結(jié)構(gòu)的變幅機(jī)構(gòu)的旋挖鉆機(jī)，動(dòng)臂大都位于連桿上方，但也有一些動(dòng)臂位于連桿下方的情況；而動(dòng)臂變幅油缸大都位于動(dòng)臂下方，即采用上撐的方式，但也有個(gè)別動(dòng)臂變幅油缸安裝于動(dòng)臂上方的情況，即采用上拉的方式。這4種變幅機(jī)構(gòu)的示意圖分別如圖1所示。下面建立第1種變幅機(jī)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)模型。為了使建立的數(shù)學(xué)模型具有更廣泛的適應(yīng)性，數(shù)學(xué)模型采用動(dòng)臂變幅機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的普通四連桿機(jī)構(gòu)，旋挖鉆機(jī)動(dòng)臂變幅機(jī)構(gòu)的平行四邊形特性在仿真時(shí)的參數(shù)設(shè)定中體現(xiàn)。

圖1 變幅機(jī)構(gòu)的4種形式Fig.1 Four types of mast link frame system

1.1 運(yùn)動(dòng)約束方程組的推導(dǎo)

四連桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖 2所示，其中：C2，C3和C4點(diǎn)分別為剛體2～4的質(zhì)心；假設(shè)C4點(diǎn)位于CD連線上；α為鉸鏈A和D的連線與水平面間的夾角。四連桿機(jī)構(gòu)閉環(huán)ABCD的矢量方程為：

其分量表達(dá)式為：

將式(2)對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)，得出加速度方程為：

式(3)表達(dá)了由于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束而產(chǎn)生的各剛體加速度之間的關(guān)系。式中：ω2，ω3和 ω4分別為剛體2～4的角速度；ε2，ε3和 ε4分別為剛體 2～4的角加速度。

圖2 四連桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of 4-bar mechanism

下面分別求解剛體 2～4的質(zhì)心加速度。質(zhì)心 C2的加速度矢量表達(dá)式為：

其標(biāo)量形式為：

式中：rC2為剛體2質(zhì)心C2至回轉(zhuǎn)中心A的距離。

質(zhì)心C3的加速度的矢量表達(dá)式為：

其標(biāo)量形式為：

式中：rC31為剛體3的質(zhì)心C3至回轉(zhuǎn)中心B的距離；θC31為∠C3BC，該角度為常量。

質(zhì)心C4的加速度的矢量表達(dá)式為：

其標(biāo)量形式為：

式中：rC4為剛體4的質(zhì)心C4至回轉(zhuǎn)中心D的距離。

式(4)～(6)將機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)狀態(tài)和各剛體的質(zhì)心加速度聯(lián)系起來。式(3)～(6)共8個(gè)方程構(gòu)成了四連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)約束方程組。

1.2 牛頓－歐拉方程組的推導(dǎo)

將四連桿機(jī)構(gòu)的3個(gè)運(yùn)動(dòng)剛體拆分開來分別進(jìn)行受力分析(圖3)，列寫出每個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程，從而構(gòu)成整個(gè)機(jī)構(gòu)的牛頓－歐拉方程組。

圖3 各剛體受力分析圖Fig.3 Mechanical analysis of rigid bodies

剛體2繞通過A點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，受力簡(jiǎn)圖如圖3(a)所示，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：I2A為剛體2繞通過A點(diǎn)的定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；g為重力加速度，1g=9.8 m/s2。

剛體3做平面運(yùn)動(dòng)，受力簡(jiǎn)圖如圖3(b)所示，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：rC32為剛體3的質(zhì)心C3至回轉(zhuǎn)中心C的距離；θC32為∠C3CB，該角度為常量；I3C3為剛體3繞通過質(zhì)心C3點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

剛體4繞通過D點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，受力簡(jiǎn)圖如圖3(c)所示(其中，點(diǎn)E為FG延長(zhǎng)線與CD的交點(diǎn))，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：FN為動(dòng)臂變幅油缸提供的主動(dòng)力；l1為鉸鏈F和鉸鏈D間的距離；l2為鉸鏈D和點(diǎn)E間的距離，隨著動(dòng)臂的轉(zhuǎn)動(dòng)，l2會(huì)有細(xì)微的改變，因不影響后續(xù)分析，為了簡(jiǎn)便，設(shè)l2為一定值；I4D為剛體4繞通過D點(diǎn)的定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

式(7)～(9)表達(dá)了主動(dòng)力、各剛體間鉸鏈約束反力、運(yùn)動(dòng)學(xué)狀態(tài)及各剛體質(zhì)心加速度之間的關(guān)系，共9個(gè)方程構(gòu)成了四連桿機(jī)構(gòu)的牛頓－歐拉方程組。

2 動(dòng)力學(xué)仿真模型的建立

前面已經(jīng)通過對(duì)閉環(huán)矢量方程求二階導(dǎo)數(shù)獲得 2個(gè)表達(dá)各剛體加速度間關(guān)系的方程，分析各剛體質(zhì)心加速度而獲得6個(gè)方程，對(duì)每個(gè)剛體運(yùn)用牛頓－歐拉定理導(dǎo)出9個(gè)動(dòng)力學(xué)方程，共計(jì)17個(gè)方程。該四連桿機(jī)構(gòu)共有17個(gè)未知數(shù)，這17個(gè)方程一起構(gòu)成了一組齊次線性代數(shù)方程組。這 17個(gè)方程用矩陣形式表示如下：

其中：X=[ε2, ε3, FN, aC2,x, aC2,y, aC3,x, aC3,y, aC4,x, aC4,y,XA, YA, XB, YB, XC, YC, XD, YD]T。

A為由X的系數(shù)構(gòu)成的17階矩陣，B為由各方程已知項(xiàng)構(gòu)成的列向量。可通過下式求得列向量X：

圖4 基于Matlab函數(shù)的Simulink仿真模型Fig.4 Simulation model based on Matlab function in Simulink

矩陣A是一個(gè)17階矩陣，而且使用Simulink建立動(dòng)態(tài)仿真[14-16]后，每一幀仿真都需要對(duì)X進(jìn)行1次求解，所以，利用Matlab強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能[17]，編寫 Matlab函數(shù)求解 X。在Simulink平臺(tái)建立的基于Matlab函數(shù)的四連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真模型如圖 4所示。由外部輸入的剛體4的角加速度和分別進(jìn)行1次積分和2次積分得到的角速度和角度共3項(xiàng)，以及對(duì)剛體2和剛體3的角加速度分別進(jìn)行1次積分和2次積分得到的角速度和角度共4項(xiàng)，這7項(xiàng)表示四連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)狀態(tài)的參數(shù)一起構(gòu)成了 Matlab函數(shù)的輸入，其他的機(jī)構(gòu)參數(shù)在Matlab函數(shù)內(nèi)部定義。Matlab函數(shù)的輸出包括3部分：第1部分是運(yùn)動(dòng)學(xué)狀態(tài)參數(shù)，第2部分是四連桿機(jī)構(gòu)各鉸鏈處的約束反力，第3部分是確保公式推導(dǎo)正確無誤以及積分過程具有足夠精度的相容性校核結(jié)果。為了更加便于觀察各鉸鏈處約束反力的大小和方向的變化，本仿真中添加了將笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)的坐標(biāo)變換模塊。

3 動(dòng)力學(xué)仿真和分析

以湖南山河智能機(jī)械股份有限公司研制的SWDM－20型旋挖鉆機(jī)為研究對(duì)象，主要的機(jī)構(gòu)參數(shù)設(shè)定如下：r1，r2，r3和r4分別為1.13，2.74，1.13和2.74 m；l1和l2分別為0.82和3.066 m；m2，m3和m4分別為481，25 115和1 206 kg；α=38?。

為了增強(qiáng)水平和垂直這2種鉆桅位姿狀態(tài)下變幅機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能的可比性，假定主副卷?yè)P(yáng)安裝于鉆桅下部。在整個(gè)變幅過程中，動(dòng)臂角加速度的設(shè)置如圖5所示，仿真時(shí)間設(shè)為135 s。稱動(dòng)臂和x軸正向的夾角(數(shù)學(xué)模型中的θ4)為動(dòng)臂轉(zhuǎn)角，該角度從68?變化至 144?。

以上所述為第1種變幅機(jī)構(gòu)形式的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型和仿真模型的建立，保持運(yùn)動(dòng)參數(shù)和所列機(jī)構(gòu)參數(shù)等不變，對(duì)數(shù)學(xué)模型、Matlab函數(shù)和Simulink仿真模型進(jìn)行相應(yīng)修改，即可得出其他3種變幅機(jī)構(gòu)形式的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型和仿真模型。

圖5 動(dòng)臂角加速度圖Fig.5 Angular acceleration of lift-arm

在整個(gè)動(dòng)臂變幅過程中，變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的主動(dòng)力由動(dòng)臂變幅油缸提供。4種變幅機(jī)構(gòu)形式在2種鉆桅位姿下，在維持機(jī)構(gòu)按圖5給定的角加速度曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)臂變幅油缸必須提供的主動(dòng)力隨動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系如圖6所示。綜合2種鉆桅位姿狀態(tài)下，動(dòng)臂變幅機(jī)構(gòu)4個(gè)鉸鏈處所承受的約束反力中以動(dòng)臂與轉(zhuǎn)臺(tái)鉸鏈處所受的約束反力為最大。4種變幅機(jī)構(gòu)形式在變幅過程中，在鉆桅水平和垂直時(shí)，動(dòng)臂在其與轉(zhuǎn)臺(tái)鉸鏈處所受的約束反力 Fdf隨動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系分別如圖7和圖8所示。鑒于變幅機(jī)構(gòu)所受的力均需通過轉(zhuǎn)臺(tái)傳遞至地面，轉(zhuǎn)臺(tái)所受約束反力的幅值之和Fzf也是1個(gè)重要的分析因素，2種鉆桅位姿狀態(tài)下該值隨動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系分別如圖9和圖10所示。

圖6 動(dòng)臂變幅油缸提供的主動(dòng)力與動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.6 Relationship between driving forces supplied by hydraulic cylinder of lift-arm and angle of lift-arm

圖7 鉆桅水平時(shí)Fdf與動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.7 Relationship between Fdf and angle of lift-arm when mast is horizontal

由圖6可見：整個(gè)變幅過程中，隨著動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的不斷增大，動(dòng)臂變幅油缸需提供的主動(dòng)力不斷增加；機(jī)構(gòu)1和機(jī)構(gòu)2分別在2種鉆桅位姿狀態(tài)下的4條曲線重合，而機(jī)構(gòu)3和機(jī)構(gòu)4分別在2種鉆桅位姿狀態(tài)下的4條曲線也重合，說明只要運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和機(jī)構(gòu)參數(shù)等相同，主動(dòng)力的大小與鉆桅的位姿以及動(dòng)臂和連桿間的相對(duì)位置關(guān)系無關(guān)。從圖6還可以看出：機(jī)構(gòu)1和機(jī)構(gòu)2的4條曲線的增速和最大值均明顯低于機(jī)構(gòu)3和機(jī)構(gòu)4的4條曲線的對(duì)應(yīng)值，說明動(dòng)臂變幅油缸和動(dòng)臂的相對(duì)位置關(guān)系對(duì)動(dòng)臂變幅油缸需提供的主動(dòng)力有影響，動(dòng)臂變幅油缸上撐動(dòng)臂(機(jī)構(gòu)1、機(jī)構(gòu)2)的性能優(yōu)于動(dòng)臂變幅油缸上拉動(dòng)臂(機(jī)構(gòu) 3、機(jī)構(gòu) 4)的性能。

圖8 鉆桅垂直時(shí)Fdf與動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.8 Relationship between Fdf and angle of lift-arm when mast is vertical

圖9 鉆桅水平時(shí)Fzf與動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.9 Relationship between Fzf and angle of lift-arm when mast is horizontal

圖10 鉆桅垂直時(shí)Fzf與動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.10 Relationship between Fzf and angle of lift-arm when mast is vertical

圖7 表明：對(duì)于動(dòng)臂在其與轉(zhuǎn)臺(tái)鉸鏈處所受約束反力Fdf，當(dāng)鉆桅位于水平狀態(tài)時(shí)，機(jī)構(gòu)1、機(jī)構(gòu)4、機(jī)構(gòu)2和機(jī)構(gòu)3逐次增大；而圖8表明：當(dāng)鉆桅位于垂直狀態(tài)時(shí)，機(jī)構(gòu)2、機(jī)構(gòu)3、機(jī)構(gòu)1和機(jī)構(gòu)4的約束反力逐次增大。對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)所受約束反力的幅值之和Fzf，通過分析圖9和圖10中的8條曲線也可以得出同樣的結(jié)論。這2種不同的變化情況說明：動(dòng)臂在其與轉(zhuǎn)臺(tái)鉸鏈處所受約束反力以及轉(zhuǎn)臺(tái)所受約束反力的幅值之和不僅與變幅機(jī)構(gòu)形式有關(guān)，而且與鉆桅位姿有關(guān)。

考慮到旋挖鉆機(jī)工作狀態(tài)下鉆桅的位姿主要為垂直狀態(tài)，再綜合考慮不同變幅機(jī)構(gòu)形式對(duì)動(dòng)臂變幅油缸需提供的主動(dòng)力的影響，變幅機(jī)構(gòu)形式2即動(dòng)臂位于連桿下方而且動(dòng)臂變幅油缸上撐動(dòng)臂的形式能提供比較好的動(dòng)力學(xué)性能。此分析結(jié)果對(duì)于自主研制適合國(guó)內(nèi)地質(zhì)條件的高性能旋挖鉆機(jī)具有重要意義，尤其是進(jìn)行大扭矩旋挖鉆機(jī)研制時(shí)，采用第2種變幅機(jī)構(gòu)形式可以在很大程度上改善變幅機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能。

4 結(jié)論

當(dāng)主副卷?yè)P(yáng)安裝于鉆桅下部時(shí)：

(1) 在變幅過程中，動(dòng)臂變幅油缸需提供的主動(dòng)力的大小與鉆桅的位姿以及動(dòng)臂和連桿間的相對(duì)位置無關(guān)，和動(dòng)臂變幅油缸與動(dòng)臂的相對(duì)位置有關(guān)；動(dòng)臂變幅油缸上撐動(dòng)臂的性能優(yōu)于動(dòng)臂變幅油缸上拉動(dòng)臂的性能。

(2) 對(duì)于動(dòng)臂在其與轉(zhuǎn)臺(tái)鉸鏈處所受約束反力以及轉(zhuǎn)臺(tái)所受約束反力的幅值之和，鉆桅的位姿狀態(tài)和變幅機(jī)構(gòu)的形式對(duì)其均有影響。

(3) 動(dòng)臂位于連桿下方而且動(dòng)臂變幅油缸上撐動(dòng)臂的形式具有較好的動(dòng)力學(xué)性能。

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