最大當(dāng)量排隊長度模型及其時空特性

姚 榮 涵， 王 殿 海

（1.大連理工大學(xué) 交通運輸學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310058）

0 引 言

交通運輸系統(tǒng)中存在很多排隊現(xiàn)象，最大排隊長度是車輛排隊過程中的一個臨界值[1].針對最大排隊長度的研究并不多見.國外，有學(xué)者提出最大排隊長度的解析表達(dá)式[2]；探討無信號交叉口排隊長度的分布[3]；還有學(xué)者針對無信號交叉口提出一種估計最大排隊長度的宏觀動態(tài)模型[4].國內(nèi)，一些學(xué)者根據(jù)準(zhǔn)沖擊波方法或交通波理論計算信號交叉口紅燈末或高速道路交通事故發(fā)生后車輛的最大排隊長度[5～7].這些研究成果主要是求解了最大排隊長度的數(shù)學(xué)期望.

在信號交叉口，紅燈期間車輛形成排隊，紅燈末排隊長度達(dá)到最大值，此刻是單個路段排隊現(xiàn)象最為嚴(yán)重的時刻，同時也是車輛排隊可能在路網(wǎng)中引起連鎖反應(yīng)的關(guān)鍵時刻.揭示這一最大排隊長度的時空特性對探討交通多米諾效應(yīng)有重要意義.本文基于單車道路段當(dāng)量排隊長度模型建立最大當(dāng)量排隊長度（即紅燈末當(dāng)量排隊長度）模型，并據(jù)此分析最大當(dāng)量排隊長度的時空特性.

1 模型建立

根據(jù)二流理論[8]，單車道路段當(dāng)量排隊長度模型為[9]

式中：Ld（t）為時刻t上、下游斷面間的當(dāng)量排隊長度；N0為初始時刻t＝0上、下游斷面間的車輛數(shù)；Nu（t）和Nd（t）為時刻t累計通過上、下游斷面的車輛數(shù)；L為上、下游斷面間的距離；km和kj為上、下游斷面間交通流的最佳密度和阻塞密度.

假設(shè)時刻t對應(yīng)于第j個采樣周期末，則時刻t累計通過上、下游斷面的車輛數(shù)為

式中：Nu（j）和Nu（j－1）為第j和j－1個采樣周期末累計通過上游斷面的車輛數(shù)；Qu（j）和Qd（j）為第j個采樣周期內(nèi)通過上、下游斷面的車輛數(shù)；Nd（j）和Nd（j－1）為第j和j－1個采樣周期末累計通過下游斷面的車輛數(shù).

式（2）和（3）中j＝1，2，3，…；當(dāng)j＝1時，Nu（0）＝0，Nd（0）＝0，即上、下游斷面初始累計車輛數(shù)均為0.

將式（2）、（3）代入式（1），則

式中

ΔN（j－1）為第j－1個采樣周期末上、下游斷面間的車輛數(shù)；qu（j）和qd（j）為第j個采樣周期內(nèi)通過上、下游斷面的車流量；T為采樣間隔.

在信號交叉口綠燈期間車輛處于釋放過程中，從綠燈開始到綠燈結(jié)束，排隊長度隨著時間推移不斷變短；紅燈期間車輛在交叉口停車線前依次排隊，從紅燈開始到紅燈結(jié)束，排隊長度隨著時間推移不斷變長.在信號控制系統(tǒng)中，往往需要控制最大排隊長度，因此預(yù)測最大當(dāng)量排隊長度也具有重要意義.下面來建立最大當(dāng)量排隊長度模型.

紅燈開始時，到達(dá)停車線的車輛必須停車，此后來車必須依次排隊.因而，紅燈期間通過下游段面的車輛數(shù)為0，即qd（j）＝0，則式（4）簡化為

式中：（j）為第j個紅燈末的當(dāng)量排隊長度，即最大當(dāng)量排隊長度；ΔNi（j）為第j個紅燈初的滯留車輛數(shù)；qu（j）為第j個紅燈期間即采樣周期內(nèi)上游到達(dá)的車流量；r為紅燈時長.

根據(jù)信號配時理論可知[1]

式中：C為周期時長；u為綠信比.

假定紅燈期間上游到達(dá)車流量為q，簡寫ΔNi（j）為N，將式（6）代入式（5）得

式中：為最大當(dāng)量排隊長度；N為紅燈初滯留車輛數(shù)；q為紅燈期間到達(dá)車流量.

2 時空特性

2.1 交通流特性

當(dāng)N、C、u、L一定，最大當(dāng)量排隊長度與到達(dá)車流量的函數(shù)關(guān)系為

從式（8）來看，當(dāng)N、C、u、L一定與q呈線性關(guān)系，見圖1.直線斜率由周期時長和綠信比決定，截距由滯留車輛數(shù)和路段長度決定.周期越長，綠信比越小，斜率越大；滯留車輛數(shù)越多，路段越短，截距越大.

由圖1（a）可見，當(dāng)C、u、L一定，不同N形成的Lrd－q曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，滯留車輛數(shù)越多，截距越大；無論q取何值，同一q對應(yīng)的相同ΔN均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時L rd對q和N均不敏感.由圖1（b）可見，當(dāng)N、u、L一定，不同C形成的L rd－q曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，周期越長，斜率越大，隨著q增大，直線族由收斂變得發(fā)散；周期越長，同一Δq引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度對周期較敏感；到達(dá)車流量越大，同一ΔC引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度在流量低時對周期不敏感，在流量高時敏感，流量越大，越敏感.由圖1（c）可見，當(dāng)C、N、L一定，不同u形成的L rd－q曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，綠信比越大，斜率越小，隨著q增大，直線族由收斂變得發(fā)散；綠信比越小，同一Δq引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度對綠信比較敏感；到達(dá)車流量越大，同一Δu引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度在流量低時對綠信比不敏感，在流量高時敏感，流量越大，越敏感.由圖1（d）可見，當(dāng)C、u、N一定，不同L形成的Lrd－q曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，路段越長，截距越小；無論q取何值，同一q對應(yīng)的相同ΔL均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時Lrd對q和L均不敏感.

當(dāng)q、C、u、L一定，最大當(dāng)量排隊長度與滯留車輛數(shù)的函數(shù)關(guān)系為

從式（9）來看，當(dāng)q、C、u、L一定，Lrd與N呈線性關(guān)系，見圖2.直線斜率是常數(shù)，截距由到達(dá)車流量、周期時長、綠信比和路段長度決定.到達(dá)車流量越大，周期越長，綠信比越小，路段越短，截距越大.

由圖2（a）可見，當(dāng)C、u、L一定，不同q形成的L rd－N曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，到達(dá)車流量越大，截距越大；無論N取何值，同一N對應(yīng)的相同Δq均引起相同的Δ，反之亦然；這說明此時對N和q均不敏感.由圖2（b）可見，當(dāng)q、u、L一定，不同C形成的L rd－N曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，周期越長，截距越大；無論N取何值，同一N對應(yīng)的相同ΔC均引起相同的Δ，反之亦然；這說明此時對N和C均不敏感.由圖2（c）可見，當(dāng)q、C、L一定，不同u形成的L rd－N曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，綠信比越大，截距越小；無論N取何值，同一N對應(yīng)的相同Δu均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時對N和u均不敏感.由圖2（d）可見，當(dāng)q、C、u一定，不同L形成的L rd－N曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，路段越長，截距越小；無論N取何值，同一N對應(yīng)的相同ΔL均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時Lrd對N和L均不敏感.

因此，在交通控制系統(tǒng)中，合理限制到達(dá)車流量或減少滯留車輛數(shù)可以有效緩解交通擁擠.

圖2 最大當(dāng)量排隊長度與紅燈初滯留車輛數(shù)Fig.2 Maximum equivalent queue length and number of blocked vehicle at beginning of red light

2.2 時間特性

當(dāng)N、L、q、u一定，最大當(dāng)量排隊長度與周期時長的函數(shù)關(guān)系為

從式（10）來看，當(dāng)N、L、q、u一定，Lrd與C呈線性關(guān)系，見圖3.直線斜率由到達(dá)車流量和綠信比決定，截距由滯留車輛數(shù)和路段長度決定.到達(dá)車流量越大，綠信比越小，斜率越大.滯留車輛數(shù)越多，路段越短，截距越大.

圖3 最大當(dāng)量排隊長度與周期時長Fig.3 Maximum equivalent queue length and cycle length

由圖3（a）可見，當(dāng)u、N、L一定，不同q形成的L rd－C曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，到達(dá)車流量越大，斜率越大，隨著周期變長，直線族由收斂變得發(fā)散；周期越長，同一Δq引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度對周期較敏感；到達(dá)車流量越大，同一ΔC引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度在流量低時對周期不敏感，在流量高時敏感，流量越大，越敏感.由圖3（b）可見，當(dāng)q、N、L一定，不同u形成的L rd－C曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，綠信比越大，斜率越小，隨著周期變長，直線族由收斂變得發(fā)散；周期越長，同一Δu引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度對周期較敏感；綠信比越小，同一ΔC引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度在綠信比大時對周期不敏感，在綠信比小時敏感，綠信比越小，越敏感.由圖3（c）可見，當(dāng)q、u、L一定，不同N形成的L rd－C曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，滯留車輛數(shù)越多，截距越大；無論C取何值，同一C對應(yīng)的相同ΔN均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時Lrd對C和N均不敏感.由圖3（d）可見，當(dāng)q、u、N一定，不同L形成的Lrd－C曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，路段越短，截距越大；無論C取何值，同一C對應(yīng)的相同ΔL均引起相同的ΔL rd，反之亦然；這說明此時Lrd對C和L均不敏感.

當(dāng)N、L、q、C一定，最大當(dāng)量排隊長度與綠信比的函數(shù)關(guān)系為

從式（11）來看，當(dāng)N、L、q、C一定，Lrd與u呈線性關(guān)系，見圖4.直線斜率由到達(dá)車流量和周期時長決定，截距由滯留車輛數(shù)、到達(dá)車流量、周期時長和路段長度決定.到達(dá)車流量越大，周期越長，斜率越小.滯留車輛數(shù)越多，到達(dá)車流量越大，周期越長，路段越短，截距越大.

由圖4（a）可見，當(dāng)C、N、L一定，不同q形成的Lrd－u曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，到達(dá)車流量越大，斜率越小，隨著綠信比增加，直線族由發(fā)散變得收斂；綠信比越小，同一Δq引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度對綠信比較敏感；到達(dá)車流量越大，同一Δu引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度在流量低時對綠信比不敏感，在流量高時敏感，流量越大，越敏感.由圖4（b）可見，當(dāng)q、N、L一定，不同C形成的L rd－u曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，周期越長，斜率越小，隨著綠信比增加，直線族由發(fā)散變得收斂；綠信比越小，同一ΔC引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度對綠信比較敏感；周期越長，同一Δu引起的ΔL rd越大，這說明最大當(dāng)量排隊長度在周期短時對綠信比不敏感，在周期長時敏感，周期越長，越敏感.由圖4（c）可見，當(dāng)q、C、L一定，不同N形成的L rd－u曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，滯留車輛數(shù)越多，截距越大；無論u取何值，同一u對應(yīng)的相同ΔN均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時Lrd對u和N均不敏感.由圖4（d）可見，當(dāng)q、C、N一定，不同L形成的L rd－u曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，路段越長，截距越小；無論u取何值，同一u對應(yīng)的相同ΔL均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時Lrd對u和L均不敏感.

因此，在交通控制系統(tǒng)中，適當(dāng)縮短周期或增加綠信比可以有效緩解交通擁擠.

圖4 最大當(dāng)量排隊長度與綠信比Fig.4 Maximum equivalent queue length and green ratio

2.3 空間特性

由于最大當(dāng)量排隊長度不能超過路段長度，當(dāng)路段長度不同時，不同路段上的最大當(dāng)量排隊長度不具有可比性，將最大當(dāng)量排隊長度與其路段長度作比值，稱為最大當(dāng)量排隊強度p L，這樣就可比較路段長度對最大當(dāng)量排隊長度的影響.

式（7）兩端除以L得

在式（12）中令p L＝Lrd/L，當(dāng)N、q、C、u一定，p L與L呈反函數(shù)關(guān)系，見圖5.根據(jù)實際意義，0≤p L≤1.

圖5 最大當(dāng)量排隊強度與路段長度Fig.5 Maximum equivalent queue percent and length of link

由圖5（a）可見，當(dāng)C、u、N一定，不同q形成的pL－L曲線族為一系列近似平行的反函數(shù)曲線，隨著路段長度增加，反函數(shù)曲線族由窄變寬；路段越長，同一Δq引起的ΔpL越小，這說明ΔpL對路段長度較敏感；路段越短，到達(dá)車流量越大，同一ΔL引起的ΔpL越大，這說明排隊強度在流量高時對路段長度更敏感，在路段短時對到達(dá)車流量更敏感.由圖5（b）可見，當(dāng)q、u、N一定，不同C形成的pL－L曲線族為一系列近似平行的反函數(shù)曲線，隨著路段長度增加，反函數(shù)曲線族由窄變寬；路段越長，同一ΔC引起的ΔpL越小，這說明ΔpL對路段長度較敏感；路段越短，周期越長，同一ΔL引起的ΔpL越大，這說明排隊強度在周期長時對路段長度更敏感，在路段短時對周期時長更敏感.由圖5（c）可見，當(dāng)q、C、N一定，不同u形成的pL－L曲線族為一系列近似平行的反函數(shù)曲線，隨著路段長度增加，反函數(shù)曲線族由窄變寬；路段越長，同一Δu引起的ΔpL越小，這說明ΔpL對路段長度較敏感；路段越短，綠信比越小，同一ΔL引起的ΔpL越大，這說明排隊強度在綠信比小時對路段長度更敏感，在路段短時對綠信比更敏感.由圖5（d）可見，當(dāng)q、C、u一定，不同N形成的pL－L曲線族為一系列近似平行的反函數(shù)曲線，隨著路段長度增加，反函數(shù)曲線族由窄變寬；路段越長，同一ΔN引起的ΔpL越小，這說明ΔpL對路段長度較敏感；路段越短，滯留車輛數(shù)越多，同一ΔL引起的ΔpL越大，這說明排隊強度在滯留車輛數(shù)多時對路段長度更敏感，在路段短時對滯留車輛數(shù)更敏感.

因此，在交通控制系統(tǒng)中，優(yōu)先協(xié)調(diào)短路段上、下游交叉口可以有效緩解交通擁擠.

3 靈敏度分析

前面從曲線族的形式上分析了最大當(dāng)量排隊長度對各變量的敏感程度，這些分析比較形象，屬于定性分析.下面將運用偏微分方法進(jìn)一步做定量分析，稱為自變量對因變量的靈敏度分析.

從式（7）來看，最大當(dāng)量排隊長度是關(guān)于滯留車輛數(shù)、到達(dá)車流量、周期時長、綠信比和路段長度的一個非線性函數(shù).為分析各變量的靈敏度，對該式求偏導(dǎo)數(shù)運算[10].各變量的一階偏導(dǎo)數(shù)為

從上式可見，Lrd/N和Lrd/L為常數(shù)，Lrd/q、Lrd/C和Lrd/u為變量，這說明最大當(dāng)量排隊長度對滯留車輛數(shù)和路段長度的敏感程度與其他變量無關(guān).

比 較 式 （13） 和 （14） 得 ｜Lrd/N｜＜｜Lrd/L｜，這說明最大當(dāng)量排隊長度對路段長度的反應(yīng)較滯留車輛數(shù)更為敏感.

對式（15）～（17）分別求二階偏導(dǎo)數(shù)得

由式（18）～（20）可見，當(dāng)q、C、u中某個變量一定時，Lrd對另外兩個變量的敏感程度相同.

對二階偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，得三階偏導(dǎo)數(shù)為

由式（21）～（23）可見，Lrd對q、C、u的敏感程度相同.

對比分析式（13）～（23）可知，最大當(dāng)量排隊長度對路段長度最為敏感，其次為滯留車輛數(shù)，對到達(dá)車流量、周期時長或綠信比的敏感程度均取決于另外兩個變量.

4 結(jié) 語

以單車道路段當(dāng)量排隊長度模型為依據(jù)，建立了最大當(dāng)量排隊長度模型.通過數(shù)理統(tǒng)計方法分析了單個時空參數(shù)對最大當(dāng)量排隊長度的影響程度，即其交通流特性、時間特性和空間特性.運用偏微分方法求解了單個時空參數(shù)對最大當(dāng)量排隊長度的敏感程度，并分析了這些參數(shù)敏感性的優(yōu)先級.研究成果可為優(yōu)化或調(diào)整交通信號控制方案提供理論依據(jù).

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