裂隙巖體貫通及錨固止裂路徑有限元分析

王 忠 昶， 楊 慶

（1.大連大學(xué) 遼寧省高校復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系災(zāi)害預(yù)測(cè)與防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連116622；2.大連理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

裂隙巖體失穩(wěn)破壞是由其內(nèi)部節(jié)理裂隙擴(kuò)展、貫通引起的，而壓剪應(yīng)力場(chǎng)中裂紋在尖端形成的較大塑性破壞區(qū)是導(dǎo)致其擴(kuò)展和貫通引起裂隙巖體破壞的重要原因.國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了各種不同的復(fù)合型斷裂準(zhǔn)則，如最大周向（拉）應(yīng)力判據(jù)[1]、最 大 能 量 釋 放 率 判 據(jù)[2]、最 大 拉 應(yīng) 變 判據(jù)[3]、裂尖徑向平面最大應(yīng)力準(zhǔn)則[4]、裂紋尖端塑性區(qū)最短距離判據(jù)[1]、臨界應(yīng)變準(zhǔn)則[5]、偶應(yīng)力和能量破壞準(zhǔn)則[6]等.在裂隙巖體的錨固止裂方面主要有：楊延毅等的等效抹平的加錨巖體的本構(gòu)方程[7]，李術(shù)才等的加錨節(jié)理面壓剪應(yīng)力狀態(tài)下分支裂紋擴(kuò)展的突變模型[8]，張強(qiáng)勇等的加錨損傷巖體單元[9]，李術(shù)才等的錨桿增韌止裂及控制失穩(wěn)擴(kuò)展的突變理論模型[10]等.由于裂紋的擴(kuò)展是因?yàn)閼?yīng)力和應(yīng)變的綜合量達(dá)到了臨界值而發(fā)生的，當(dāng)裂紋尖端區(qū)域大范圍塑性屈服之后，則應(yīng)用應(yīng)變?nèi)パ芯苛鸭y的擴(kuò)展.本文將裂隙巖體單元與錨索單元的節(jié)點(diǎn)完全重合，應(yīng)用等效應(yīng)變與降溫法施加錨索單元的預(yù)應(yīng)力，裂紋采用八節(jié)點(diǎn)等參單元退化后的奇異單元進(jìn)行模擬，從應(yīng)變角度出發(fā)，應(yīng)用塑性區(qū)最短距離判據(jù)分析不同錨固條件下含兩條不同傾角的共線裂紋的裂紋尖端附近的最短塑性區(qū)距離、裂紋的擴(kuò)展方向、裂紋擴(kuò)展后巖橋之間的有效距離等.

1 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)分析和Mises屈服條件

裂紋尖端塑性區(qū)的存在是抗裂的重要因素，通常平面應(yīng)變條件下的塑性區(qū)遠(yuǎn)比平面應(yīng)力條件下的塑性區(qū)要小，因此平面應(yīng)變條件下的裂紋遠(yuǎn)較平面應(yīng)力條件下的更容易發(fā)生脆斷[1].圖1給出了平面應(yīng)變條件下I－II型復(fù)合裂紋受力機(jī)制，裂紋尖端附近一點(diǎn)O的應(yīng)力分量可以表示為

式中：a為裂紋尖端與O點(diǎn)之間的距離；β為裂紋尖端和O點(diǎn)的連線與x軸的夾角.

圖1 I－II型復(fù)合裂紋的受力機(jī)制Fig.1 Bearing mechanism of I－II mixed mode crack

當(dāng)復(fù)合裂紋尖端的正應(yīng)力大于或等于有效屈服應(yīng)力時(shí)，裂紋尖端附近區(qū)域?qū)a(chǎn)生塑性區(qū)，塑性區(qū)的大小可由Mises屈服條件確定.

按Mises屈服條件，八面體上的剪切應(yīng)力為

將式（1）～ （3）代入式（4），得O點(diǎn)到裂紋尖端的距離

在復(fù)合應(yīng)力作用下，裂紋沿著其尖端到塑性區(qū)邊緣最短距離的方向擴(kuò)展，即可由

的條件確定裂紋的擴(kuò)展方向β0.

2 預(yù)應(yīng)力錨索的有限元分析

通常假設(shè)預(yù)應(yīng)力錨索為線彈性材料，根據(jù)錨索的錨固段和自由段受力機(jī)制的差異，預(yù)應(yīng)力錨索的錨固段采用桿單元來(lái)模擬，錨索的自由段采用兩節(jié)點(diǎn)線單元來(lái)模擬，該單元只有一個(gè)自由度，只能承受軸向變形，不允許產(chǎn)生彎矩；當(dāng)該單元承受單向拉伸變形時(shí)，若遭受壓力，則單元的剛度矩陣將被忽略，利用這個(gè)性質(zhì)可以模擬鋼索類(lèi)問(wèn)題.圖2為錨索單元的自由段受力示意圖.

圖2 錨索單元的自由段受力示意圖Fig.2 Bearing diagram mechanics of free segment of element of anchor cable

錨索自由段單元的剛度矩陣為

式中：S為錨索單元的截面積；E為錨索的彈性模量；L為錨索單元自由段的長(zhǎng)度；k1為單元的剛度系數(shù)（壓縮為0，拉伸為1）.

錨索自由段單元的應(yīng)力矩陣為

式中：起始迭代時(shí)F為AEεin，隨后迭代時(shí)F為單元的軸向應(yīng)力，εin為單元的初始應(yīng)變；k2為單元的應(yīng)力剛度系數(shù)（壓縮為0，拉伸為1）.

錨索單元上施加的預(yù)應(yīng)力矢量為

式中：εT＝αΔT－εin，ΔT＝Tave－Tref，α為溫度膨脹系數(shù)，Tave為單元的平均溫度，Tref為參考溫度.

3 不同角度和錨固時(shí)兩共線裂紋的止裂機(jī)理

3.1 巖體及裂紋單元的模擬

平面應(yīng)變條件下裂隙巖體的尺寸為50 m×60 m，如圖3所示.巖體采用八節(jié)點(diǎn)平面等參單元，其彈性模量E＝0.30 GPa，泊松比ν＝0.20，粘聚力c＝0.50 MPa，摩擦角 ＝30°.巖體單元的底面施加法向約束，側(cè)面施加水平約束.為了計(jì)算裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，在裂紋尖端八節(jié)點(diǎn)的平面等參單元退化成1、4、8節(jié)點(diǎn)重合的奇異單元，如圖4所示.

圖3 兩條共線裂紋（0°）錨固示意圖Fig.3 Consolidated sketch of twain collinear cracks of zero degree

圖4 等參單元和奇異單元Fig.4 Isoparametric element and singular element

3.2 含裂隙巖體及錨索計(jì)算模型的建立

線段AB、CD為兩條共線裂紋，長(zhǎng)度為5 m，傾角為0°.線段BC相當(dāng)于完整巖橋，長(zhǎng)度為5 m.線段1－3、4－6、7－9為3根長(zhǎng)度為40 m 的錨索，其中2－3、5－6、8－9為錨索的自由段，長(zhǎng)度為10 m，錨索的內(nèi)錨固段1－2、4－5、7－8長(zhǎng)度為30 m，錨索1－3、7－9與裂紋尖端A、D的距離為2.5 m.以線段AD為直徑，以節(jié)點(diǎn)5為圓心繪制圓得到傾角為30°、45°、60°、90°的裂紋.單錨條件下只保留圖3中的4－6段錨索.通過(guò)對(duì)比分析不同錨固條件下兩條共線裂紋的破壞及擴(kuò)展路徑，獲得裂隙巖體的加固止裂機(jī)制.

3.3 錨固止裂效果分析

圖5、6給出了裂紋傾角不同和錨固條件不同時(shí)裂紋尖端B的應(yīng)力強(qiáng)度因子對(duì)比曲線，由圖可以看出：

圖5 不同傾角和錨固條件時(shí)裂尖B的K I對(duì)比曲線Fig.5 Contrast curve of K I of B crack tip under different consolidated conditions and angles of crack

圖6 不同傾角和錨固條件時(shí)裂尖B的K II對(duì)比曲線Fig.6 Contrast curve of K II of B crack tip under different consolidated conditions and angles of crack

（1）裂紋傾角為0°～60°時(shí)，錨固條件下裂紋尖端的閉合應(yīng)力強(qiáng)度因子KI比無(wú)錨固時(shí)的要小，并且隨著錨固作用的加強(qiáng)，KI降低越大，此時(shí)預(yù)應(yīng)力錨索加固時(shí)形成的拉應(yīng)力區(qū)克服了巖體自重形成的壓應(yīng)力.裂紋傾角為90°時(shí)，錨固條件下裂紋尖端的KI比無(wú)錨固時(shí)的要大，隨著錨固作用的加強(qiáng)，KI越大，此時(shí)錨固相當(dāng)于增大了裂紋附近的正應(yīng)力場(chǎng).

（2）裂紋傾角為30°～90°時(shí)，錨固條件下裂紋尖端的KII比無(wú)錨固時(shí)的小，并且群錨比單錨時(shí)的值小，錨索防止裂紋剪切破壞的效應(yīng)明顯；裂紋傾角為0°時(shí)，錨固時(shí)裂紋尖端的KII比無(wú)錨固時(shí)的大，且群錨時(shí)的值比單錨時(shí)的值大，此時(shí)錨索加固助長(zhǎng)了裂紋的剪切破壞.綜合考慮KI與KII的變化趨勢(shì)，當(dāng)裂紋傾角為45°、60°時(shí)，錨固時(shí)的KI與KII下降得明顯，此時(shí)錨索的加固防剪作用明顯.

圖7、8給出了裂紋傾角不同和錨固條件不同時(shí)裂紋尖端B附近一點(diǎn)的塑性應(yīng)變?chǔ)舙與剪切應(yīng)變?chǔ)舤變化曲線，可以看出：

圖7 不同傾角和錨固條件時(shí)裂尖B附近一點(diǎn)的塑性應(yīng)變曲線Fig.7 Plastic strain curve of point near B crack tip under different consolidated conditions and angles of crack

圖8 不同傾角和錨固條件時(shí)裂尖B附近一點(diǎn)的剪切應(yīng)變曲線Fig.8 Shear strain curve of point near B crack tip under different consolidated conditions and angles of crack

（1）不同錨固條件下裂尖B附近一點(diǎn)塑性應(yīng)變的變化趨勢(shì)為隨著裂紋傾角的增大而逐漸增大，裂紋傾角為0°～45°時(shí)，塑性應(yīng)變?cè)黾泳徛?5°～60°范圍內(nèi)，其值迅速增加到最大；裂紋傾角為60°～90°時(shí)，其值由最大值開(kāi)始迅速減小到最小.無(wú)錨固時(shí)該點(diǎn)的塑性應(yīng)變大于群錨條件下相應(yīng)的塑性應(yīng)變，單錨加固時(shí)該點(diǎn)的塑性應(yīng)變介于二者之間，錨固作用削弱了裂紋尖端塑性應(yīng)變的集中程度，降低了裂尖的破壞擴(kuò)展幾率.

（2）裂紋傾角小于30°時(shí)，未錨固條件下裂尖B附近一點(diǎn)的剪切應(yīng)變隨傾角的增大而增大，而錨固條件下剪切應(yīng)變隨傾角的增大而減小，但錨固條件下大于無(wú)錨固時(shí)的相應(yīng)值.裂紋傾角為30°～60°時(shí)，錨固條件下該點(diǎn)的剪切應(yīng)變隨著裂紋傾角的增大而增大，裂紋傾角為60°時(shí)，其值達(dá)到最大后開(kāi)始迅速降到最小.裂紋傾角為30°～70°時(shí)，該點(diǎn)的剪切應(yīng)變隨著錨固條件的加強(qiáng)而逐漸減小，此時(shí)錨索加固的抗剪效果明顯.

表1給出了不同錨固條件下不同傾角的兩共線裂紋擴(kuò)展方向及破裂后巖橋中間的最短距離，由表可知：

（1）在外荷載作用下，相同完整巖橋長(zhǎng)度條件下，不同傾角裂紋的分支裂紋擴(kuò)展后，所得到的完整巖橋的距離是不同的，當(dāng)裂紋傾角為0°、90°時(shí)，即裂紋面與錨固方向水平和垂直時(shí)，錨固作用產(chǎn)生的附加應(yīng)力改變了裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)，使得其應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)得到了疊加，裂紋尖端附近的塑性區(qū)得到加強(qiáng)，得到的最短塑性區(qū)距離隨著錨固作用的加強(qiáng)而增大，裂紋擴(kuò)展后巖橋之間的有效距離縮短，錨固效果較其他傾角裂紋的要差，因此在進(jìn)行錨固設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該合理布置錨固角.

（2）無(wú)錨固條件下，裂紋傾角為60°時(shí)裂紋尖端塑性區(qū)范圍最大，由于分支裂紋擴(kuò)展角度的不同，裂紋傾角為30°時(shí)，裂紋擴(kuò)展后的完整巖橋之間的距離最短.單錨條件下，裂紋傾角為45°時(shí)裂紋尖端塑性區(qū)范圍最大，由于分支裂紋擴(kuò)展角度的不同，裂紋傾角為60°時(shí)，裂紋擴(kuò)展后的完整巖橋之間的距離最短.群錨條件下，裂紋傾角為30°時(shí)裂紋尖端塑性區(qū)范圍最大，由于分支裂紋擴(kuò)展角度的不同，裂紋傾角為60°時(shí)，裂紋擴(kuò)展后的完整巖橋之間的距離最短.裂紋傾角為30°～60°時(shí)錨固作用使得裂紋尖端的最短塑性區(qū)距離減小，巖橋之間的有效距離得到相應(yīng)提高，隨著錨固作用的增強(qiáng)，相同角度的裂紋擴(kuò)展后巖橋之間的有效距離逐漸增大.

（3）在錨固條件下，裂紋的破壞擴(kuò)展方向發(fā)生了一些變化，但變化不明顯；裂紋尖端的最短塑性區(qū)距離隨著裂紋傾角的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，隨著錨固條件的加強(qiáng)，裂紋尖端的最短塑性區(qū)距離達(dá)到最大值時(shí)所需的裂紋傾角越小.相同裂紋傾角條件下裂尖B附近的最短塑性區(qū)距離比裂尖C附近的最短塑性區(qū)距離要大，說(shuō)明外荷載越大，裂紋越容易發(fā)生破裂.

表1 不同傾角和錨固條件時(shí)兩條共線裂紋擴(kuò)展方向及貫通統(tǒng)計(jì)Tab.1 Statistic of orientation of crack propagation and coalescence of twain collinear cracks of different angles under different consolidated conditions

4 結(jié) 論

（1）裂紋傾角為30°～60°時(shí)錨固作用使得裂紋尖端的最短塑性區(qū)距離減小，巖橋之間的有效距離得到相應(yīng)提高，隨著錨固作用的增強(qiáng)，相同角度的裂紋擴(kuò)展后巖橋之間的有效距離逐漸增大，阻止或延緩了裂紋的斷裂過(guò)程，有利于巖體的穩(wěn)定；相同條件下，群錨時(shí)裂紋尖端的最短塑性區(qū)距離要小于單錨的；單錨條件下，傾角為45°的裂紋的錨固止裂效果最明顯，群錨條件下，傾角為30°的裂紋的錨固止裂作用最明顯.

（2）錨固附加應(yīng)力場(chǎng)使得0°、90°的裂紋附近巖體的正應(yīng)力或側(cè)向應(yīng)力得到增加，導(dǎo)致裂紋尖端的最短塑性區(qū)距離比相應(yīng)無(wú)錨固時(shí)的值大，且群錨時(shí)的值要大于單錨時(shí)的相應(yīng)值，此時(shí)錨固作用加速了裂紋的擴(kuò)展，因此在進(jìn)行錨固設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)合理地布置錨固角.

（3）錨固作用使得裂紋的破裂角度發(fā)生了一定的改變，但變化趨勢(shì)不明顯；隨著錨固條件的加強(qiáng)，裂紋尖端的最短塑性區(qū)距離達(dá)到最大值時(shí)所需的裂紋傾角越小.相同裂紋傾角條件下裂尖B附近的最短塑性區(qū)距離比裂尖C附近的最短塑性區(qū)距離要大，說(shuō)明外荷載越大，裂紋越容易發(fā)生破裂.但宏觀力學(xué)克服不了裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變的奇異性，因此需要進(jìn)一步引入含有內(nèi)部長(zhǎng)度變量的微觀力學(xué)來(lái)解決.

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