基于可變模糊集的辯證法三大規律數學定理及其應用

陳守煜

（大連理工大學 建設工程學部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

1965年札德（Zadeh）提出模糊集合概念[1]，是對康托（Cantor）集合論的重要突破.但模糊集合論是靜態理論，難以描述模糊現象、事物、概念的動態可變性.用靜態的模糊集理論去研究動態的模糊現象、事物與概念，存在著研究理論與研究對象之間相悖的矛盾，這是經典模糊集合論的一大理論缺陷.

20世紀90年代作者提出相對隸屬函數動態概 念[2～4]，并 以 此 為 基 礎 創 立 工 程 模 糊 集 理論[5、6]；21世紀伊始，在工程模糊集理論基礎上創建的可變模糊集理論[7～15]，是對模糊集合論靜態理論的重要突破.

馬克思有句名言：“一種學科只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步.”作者依據可變模糊集理論，率先導出唯物辯證法哲學對立統一、質量互變與否定的否定規律[16]嚴密的數學定理——對立統一、質量互變與否定的否定定理，構建起數學與哲學兩大學科之間聯系的橋梁.

水文現象、事物、概念，如汛期、洪澇、干旱不僅具有模糊性，而且具有動態可變性[9]，多目標防洪調度優選決策就是可變模糊集理論、模型與方法的一個實際應用命題.經典水文水資源學不研究其模糊性與可變性，這些研究則由模糊水文水資源學來承擔[17、18].

人類社會空前規模的生產、經濟活動，嚴重影響著大氣層結構變化等許多方面，出現了全球氣候變暖、海冰融化加劇、土地沙化、沙塵暴等一系列生態環境惡化現象，并直接影響到水的大、小循環及循環的各個環節，兼有自然與社會雙重屬性的水資源系統，其可持續利用受到極大的威脅.研究水資源陸海空協同是水資源系統可持續利用的一個重要途徑[19].水資源系統的可持續利用與不可持續利用是動態可變的模糊概念，因此模糊水文水資源學[17]需要有新的模糊不確定性數學理論、模型與方法作為基礎，這個基礎就是可變模糊集理論.文獻[20]中氣候變化條件下對水資源影響評價的可變模糊集途徑，就是其中的又一個實際應用命題.

本文將對立統一、質量互變與否定的否定定理用于水資源系統（含陸海空協同系統）評價，提出水資源系統可變模糊集評價原理與模型.然后在文獻[7、11]基礎上應用對立統一與質量互變定理，從唯物辯證法哲學層面識別可拓學（物元分析）[21、22]的數學與邏輯錯誤.

1 基于可變模糊集的對立統一、質量互變與否定的否定定理

1.1 對立模糊集定義

設論域U中的任意元素u的對立模糊概念（事物、現象）或u對立的基本模糊屬性，以與表示.在參考連續統[5]區間[1，0]（對）與[0，1]（對）的任一點上，對立模糊屬性的相對隸屬度分別為，且

稱為u的對立模糊集.見圖1.

圖1 對立模糊集與對立統一定理示意圖Fig.1 Sketch map of opposite fuzzy sets and theorem of unity of opposites

1.2 對立統一定理

在參考連續統區間[1，0]（對μA（u））、[0，1]～對的左、右端點pl與pr之間，必存在確定的中介點pm，該點的對立模糊概念或對立基本屬性的相對隸屬度相等，pm稱為漸變式質變點，即

pl與pr稱為突變式質變點，其中pl為爆發式突變點，pr為非爆發式突變點.

證明 從pl點變化到pr點其間必經過的中介點pm.由于故pm點同時具有.在線段間在線段pmpr間則中介點必為漸變式質變點，即對立統一矛盾性質的轉化點，如圖1所示.

設

稱為u對的相對差異函數.如圖2所示.

圖2 相對差異函數示意圖Fig.2 Sketch map of relative difference function

1.3 質量互變定理

設D（u）為論域U中元素u對的相對差異函數，D（u）≠0，對u作變換C，變換后的相對隸屬函數與相對差異函數為與

（1）如有不等式

則為漸變式質變.

（2）如有等式

則為突變式質變.

（3）如有等式

則變化至動態平衡點，或漸變式質變的臨界點，系統處于動態平衡狀態.

（4）如有不等式

則為量變（證明略）.

漸變式質變不等式（6）、突變式質變等式（7）與漸變式質變點等式（8）稱為質變定理，量變不等式（9）稱為量變定理，兩者統稱為質量互變定理.它以嚴密的數學定理表示了唯物辯證法中三大規律之一的質量互變規律.

1.4 否定的否定定理

由圖2可見，D（u）從1變化到－1為一個周期，設有n個變化周期.

（1）設變化前初始狀態在pl點，D（u）＝1

若變化為一個周期（n＝1），變化后終了狀態在pr點（）即否定，有D（C（u））＝－1，則

若變化為兩個周期（n＝2），變化后終了狀態在pl點（）即否定的否定，有D（C（u））＝1，則

若變化為n個周期，變化后終了狀態在pr或pl點，即n次否定有n個c）.則有

（2）設變化前初始狀態在pr點（A～c），D（u）＝－1

類似地，當變化為n個周期，同樣有等式（10）.

無論變化前的初始狀態為D（u）＝1或－1，均有等式（10）.當n＝2時，對應于唯物辯證法哲學中否定的否定規律.故否定的否定定理可表示為

2 水資源系統可變模糊集評價原理與模型

2.1 基本原理

（1）設水資源系統待評對象u，根據已知的多個級別h（h＝1，2，…，c；c為級別總數，對應于式（10）中n＝c）多個指標（影響因素）i（i＝1，2，…，m；m為評價指標總數，相當于m對矛盾）的指標標準值矩陣

進行評價.

根據可變模糊集的對立統一定理，水資源系統可變模糊評價基本原理是：在已知級別h指標i相對隸屬度等于1的指標標準值矩陣Y的情況下，級別h與（h＋1）的物理概念，構成對立模糊概念或對立的基本模糊屬性，有

式中μih（u）、μi（h＋1）（u）分別表示待評對象u指標i對級別h與（h＋1）的相對隸屬度.

設待評對象u指標i的特征值xi落入h與（h＋1）級相對隸屬度為1的矩陣的標準值區間[yih，yi（h＋1）]內，則xi對h級的相對隸屬度為

滿足

① 當xi＝yih時，μih（u）＝1，由式（13）得μi（h＋1）（u）＝0

② 當xi＝yi（h＋1）時，μih（u）＝0，由式（13）得μi（h＋1）（u）＝1

可見式（14）滿足可變模糊集的對立統一定理.

應用式（14）可以計算待評對象u指標i的特征值xi對級別h的相對隸屬度.

（2）設水資源系統待評對象u，根據已知的多個級別h、多個指標i的指標標準區間矩陣進行評價.式中aih、bih分別為級別h指標i標準值區間的上、下限值.式（15）相當于越小越優型指標，aih＜bih，h＝2，3，…，c－1；式（16）相當于越大越優型指標，aih＞bih，h＝2，3，…，c－1.此時可以將式（15）、（16）轉化為指標標準值向量式（12），即令

對越小越優型指標i，當xi＜ai2時，μi1（u）＝1；當xi＞bi（c－1）時，μic（u）＝1.

對越大越優型指標i，當xi＞ai2時，μi1（u）＝1；當xi＜bi（c－1）時，μic（u）＝1.

然后再應用式（14）計算xi對級別h的相對隸屬度.

（3）設水資源系統待評對象u，根據已知的多個級別h、多個指標i的指標標準區間矩陣

進行評價.此時同樣可將式（18）轉化為指標標準值向量式（12），即令

應用式（14）計算xi對級別h的相對隸屬度.

2.2 待評對象u對級別h的綜合相對隸屬度模型

根據式（14）計算得到的指標i對級別h的相對隸屬度μih（u）是單指標相對隸屬度.水資源系統是多指標綜合評價問題，設已知指標權重向量為

設pi點是指標i在對立統一定理所示的圖1中所處的點位（見圖3）.

圖3 指標i在對立統一定理圖示中的點位p iFig.3 The point position pi of the index i in the sketch map of theorem of unity of opposites

設對級別h點位pi與pl、pr兩端的多指標廣義權距離為

式中：p為距離參數，p＝1為海明距離，p＝2為歐氏距離.

若待評對象u對級別h的多指標綜合相對隸屬度以νh（u）表示，設

式中α為優化準則參數，α＝1相當于最小一乘方，α＝2相當于最小二乘方.

滿足

（1）當pi與pl重合時，μih（u）＝1，dh（pl，pi）＝0，νh（u）＝1.

（2）當pi與pr重合時，μi（h＋1）（u）＝1，dh（pi，pr）＝0，νh（u）＝0.

（3）當pi與pm重合時，μih（u）＝μi（h＋1）（u）＝0.5，dh（pl，pi）＝dh（pi，pr），νh（u）＝0.5.

（4）當pi位于區段plpm，有dh（pl，pi）＜dh（pi，pr），按式（23）有νh（u）＞0.5或νh（u）＞ν（h＋1）（u）.

（5）當pi位于區段pmpr，有dh（pl，pi）＞dh（pi，pr），按式（23）有νh（u）＜0.5或νh（u）＜ν（h＋1）（u）.

由此可見，式（23）滿足對立統一定理，用于計算確定待評對象u對級別h的綜合相對隸屬度.

若采用優化準則參數α＝1，距離參數p＝1（即海明距離），式（23）變為

式（24）是一個線性公式.如果考慮水資源系統綜合評價為非線性系統，可采用α＝1，p＝2（即歐氏距離），式（23）變為

這是一個非線性公式.

3 水資源陸海空協同系統可持續利用可變模糊集評價方法

3.1 確定待評地區u對可持續利用指標i的相對隸屬度

首先建立待評地區u關于的評價指標集，然后根據u對可持續利用指標特征值向量（x1x2…xm），應用第2章中相關的模型，確定指標xi對級別h的相對隸屬度向量.

3.2 確定待評地區u對可持續利用的綜合相對隸屬度

若待評地區u對的多指標綜合相對隸屬度以νh（u）表示.在水資源陸海空協同系統可持續利用評價研究中，為了避免距離比值的縮放效應，宜取α＝1.如果水資源協同系統為線性系統可取距離參數p＝1，如為非線性系統，可取p＝2.

3.3 應用質量互變定理確定待評地區u對的綜合相對差異度

當已確定待評地區u對的綜合相對隸屬度νh（u），則可求得u對的綜合相對差異度

如待評地區u可開發利用海水資源，擬定可開發利用的海水淡化量（含海水直接利用量），可得到在水資源陸海協同系統條件下，u對的指標特征值向量（x1x2…xm…xm＋s），s為條件變化后或利用海水后新增指標特征值數，即陸地水資源與海水資源協同系統的指標總數，由原來的m增為m＋s.

如果待評地區u可開發利用云水資源，擬定可開發利用的空中云水資源可利用量.根據國內外進行的人工增雨作業多年試驗統計分析資料，增雨量一般可達到年雨量的15%[23].據此修改水資源陸地或陸海協同系統可持續利用的有關年降水量的指標特征值.

根據條件變化后的水資源協同系統的指標特征值，求解在水資源陸海空（或陸海、或陸空）協同系統條件下，u對的綜合相對隸屬度νh（c（u））

與綜合相對差異度D（c（u））：

應用質量互變定理對協同前、后水資源可持續利用狀態作出分析.

如D（u）·D（c（u））＞0表明在水資源陸海空（或陸海、或陸空）協同系統條件下，u關于屬于量變.如D（u）·D（c（u））＜0，則為質變.

根據對D（u）與D（c（u））數值大小分析對比，可以得到水資源陸海空協同系統對待評地區u水資源可持續利用程度的有利發展態勢.

上述內容構成水資源陸海空系統在協同條件下或在變化條件下水資源可持續利用的可變模糊集評價方法.

進入21世紀我國社會經濟進一步快速發展，水資源供需矛盾更加突出，開發利用海水資源與云水資源，來增加我國水資源可利用總量，將是水資源系統可持續發展的必由之路.在我國水資源整體優化配置決策中，不可忽視沿海地區，特別是沿海重要城市開發利用海水淡化（包括海水直接利用）資源，來置換其他地區尤其是內陸地區水資源的戰略思路.否則，就全國而言，將在整體上失去水資源優化配置的合理性.

4 對立統一與質量互變定理識別可拓學（物元分析）的數學與邏輯錯誤

作者在文獻[7、11]中指出：可拓學存在數學與邏輯錯誤.本文應用對立統一與質量互變定理從唯物辯證法哲學層面來進一步識別可拓學的數學與邏輯錯誤.

《可拓工程方法》關于可拓集合的定義表述為“可拓集合則用取自（－∞，∞）的實數來表示事物具有某種性質的程度，正數表示具有該性質的程度，負數表示不具有該性質的程度，零則表示既有該性質又不具有該性質，如一只腳在門內，一只腳在門外的人屬于‘門內的人’的集合的程度為零”[21].

可拓學中根據關聯函數K（u）＝0定義，得到“一只腳在門內，一只腳在門外的人屬于‘門內的人’的集合的程度為零.”的結論，是可拓學數學與邏輯錯誤的典型.現論述如下：

設某人（u）以體質量w為特征量，u從“門內人”集合，即對門內人的隸屬度μin（u）＝1、μout（u）＝0，或D（u）＝1，轉化為“門外人”集合過程中，當u跨向門檻，w/2在門內，另w/2在門外（近似地認為，一只腳在門內，一只腳在門外），此時u具有門內人、門外人的隸屬度各為（w/2）/w＝0.5，或μin（C（u））＝μout（C（u））＝0.5，即處于動態平衡狀態.根據對立統一定理，有D（C（u））＝μin（C（u））－μout（C（u））＝0，顯然此種狀態不是可拓集合定義所謂的“屬于‘門內的人’的集合的程度為零”，根據對立統一與質量互變定理式（8）應是D（u）·D（C（u））＝0.顯見，可拓學的可拓集合關聯函數等于0或K（u）＝0有誤.“門內人”、“門外人”屬于對稱概念，可拓集合認為u屬于“門內人”集合的程度為零，也就是認為u屬于“門外人”集合的程度為零.因此，“一只腳在門內，一只腳在門外的人”在可拓集合關聯函數K（u）＝0或可拓集合零界概念的定義下，出現了這個“客觀存在”的人“消失”了的邏輯矛盾，違背了形式邏輯中的不矛盾律.

可拓集合主觀上給定所謂的形式化模型：關聯函數K（u）＞0、K（u）＝0、K（u）＜0作為事物具有性質P、既具有又不具有性質P、不具有性質P的判斷準則，并由此給出可拓集合的數學定義，顯然，可拓學不是從事物u變化的內因即內部矛盾（u）與（u）出發去研究矛盾的相互轉化，割裂了事物矛盾運動變化過程中對立統一及其相互轉化的內在聯系，根據文中對立統一與質量互變定理，可見可拓學的數學基礎可拓集合有違唯物辯證法對立統一與質量互變規律.從而出現了“一只腳在門內，一只腳在門外的人屬于‘門內的人’的集合的程度為零”的常識性錯誤.作者在文獻[7、11]中曾指出可拓學的另一類數學錯誤，即關聯函數基本公式的錯誤，最近在文獻[24]中又作了進一步證明，本文不再重述.

5 結 語

在唯物辯證法哲學論著中對立統一、質量互變與否定的否定規律都是以文字語言的方式表達，本文在哲學規律數學化研究方面開始實現馬克思所說的那句“名言”，給出三大規律的嚴密的數學定理.

數學作為一門研究物質世界數量關系與空間形式的學科，是自然科學、工程科學中眾多學科的基礎.但長期以形式邏輯為學科體系的支柱，對于社會科學、人文科學中涉及較多辯證邏輯思維的學科，傳統數學卻常常顯得無能為力.因此數學思維辯證化研究顯得尤為重要，本文給出的唯物辯證法三大基本規律的數學定理，將辯證邏輯思維直接引入數學研究領域，為進一步建立新的數學——可變集奠定基礎.

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