交互式模糊穩健優化設計及其應用

張 旭， 孫 偉， 許 煥 衛， 董 榮 梅

（大連理工大學 精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

穩健設計要求產品系統性能對于制造過程中的波動或其工作環境的變化不敏感，而且盡管零、部件會漂移或老化，系統仍然在其壽命期間以可接受的水平持續工作.通常影響產品質量的因素都具有一定的隨機性和模糊性，實際的工程優化設計中存在著大量的模糊因素，不考慮這些客觀存在的模糊因素的優化設計方法是不全面的.模糊穩健優化設計是指同時考慮實際影響因素的不確定性，將模糊理論應用到穩健優化設計中，使產品在受到各種干擾因素影響下質量仍保持穩定的設計方法.許多學者已對模糊穩健設計問題進行了研究.文獻[1]提出了模糊穩健設計準則，建立了模糊穩健設計的單目標優化模型.文獻[2]將容差和優質品率作為優化目標，建立了雙目標優化模型.該方法以主容差作為優化目標，適用于各容差間難以確定其關系的情況.文獻[3]從不確定因素引起產品質量波動的角度建立模糊穩健設計模型，但采用折中規劃求解時需面臨權值的合理性選擇問題.

另一方面，工程穩健設計通常要求通過調整設計變量與控制其容差來使各種因素對產品質量的影響限制在規定的容許范圍之內[4]，由于受系統復雜性、隨機性和模糊性等限制，設計者往往很難在穩健設計初期就給出其精確的控制信息.因而采用交互式設計方法可以在穩健設計過程中不斷改進其設計要求，有利于提高設計效率，改善設計效果.

本文在文獻[2、3]的基礎上，主要進行如下研究：

（1）針對折中規劃加權系數賦值合理性問題，采用區間加權主容差作為優化目標構造模糊穩健設計模型.

（2）采取物理規劃法建立穩健優化問題的局部偏好模型.

（3）針對一般工程穩健設計問題無法給出先驗信息的問題，建立兩級評價系統，根據折中規劃（CP）結果不斷改進局部偏好模型，實現交互式的穩健設計過程.

1 改進的雙目標模糊穩健優化設計模型

廣義的講，產品質量優劣的評價是模糊的.因此，產品質量指標y可以定義為模糊指標，其隸屬函數為μ珦A（y），珦A為y的優質性的模糊概率描述.f（y）為y的分布密度函數，它同時受系統的可控因素和噪音因素的影響.產品設計方案的優劣或產品設計質量的品質穩健設計準則[1]可表示為

另一方面，設計參數的容差是衡量產品性能和制造成本的一個重要因素.減小容差，雖可提高產品的質量和可裝配性，但是卻大大提高了產品的制造費用.穩健設計中，在考慮產品品質的同時，還應該考慮到產品的可制造性，使產品的制造成本越低越好.采用主容差的最壞情況模型[5]建立的容差穩健設計準則[2]可表示為

該準則沒有考慮容差間相對關系，這意味著對各設計變量的穩健可行域“縮放”程度的控制是置于同一標準下的.實際上，不同設計參數的容差對系統整體穩健特性的影響程度不同，即各容差具有不同重要性.因此，準則（2）僅適用于各設計變量容差間難以確定其關系的情況.考慮各容差間的相對重要程度，容差的穩健設計準則可改寫為如下形式：

其中權重系數ωi表示各容差的相對重要度.

綜上所述，建立模糊穩健設計的雙目標優化模型：

為模糊約束條件所決定的安全事件，其定義如下：

的隸屬函數為μ珟Bk（g k），g k（x，z）的分布密度函數為f k（gk），βk為預定的穩健設計水平.

2 交互式穩健優化方法

傳統的基于權重的優化方法的缺陷是模型中的權重可能無實際物理意義.因此，對于設計者無法清晰判斷各目標間重要性關系的情況，只給定權重取值的可能范圍，比假定其為某一確定值更為合理.針對模型（4），可設ωi的可能范圍為，通過如下規則確定：

其中1≤α≤＋∞，通常取1或2，滿足D最小的ΔX為設計滿意解.

以式（7）作為決策層的評價函數，建立如圖1所示的交互式決策模型，模型分為決策層和分析層.分析層求解得到局部最優解集，提供給決策層評價；決策層根據評價結果將對候選解集的滿意程度反饋給分析層，從而改進分析層的局部偏好，繼續分析.該過程反復進行直至決策者滿意為止.

圖1 交互式決策模型Fig.1 Interactive decision－making model

3 基于物理規劃的交互式設計過程

物理規劃（physical programming）是一種處理多目標優化問題的有效方法，已在穩健設計中得到了應用[7、8].文獻[9]給出了物理規劃的數學模型：

式中：nsc為軟偏好函數的個數，f ij為區間邊界，f imin、f imax、x jmin、x jmax表 示 相 應 的 最 小 值 和 最 大值，f pi（f i（x））為第i個設計目標f i（x）的偏好函數.

利用物理規劃求解模型（4）時，將原目標函數分解為n個容差目標和1個優質品率目標.穩健設計要求容差越大越好，優質品率越高越好，故模糊穩健優化設計共有n＋1個2－S型軟偏好函數，nsc＝n＋1.根據相關法則和設計者經驗構造偏好函數，基于物理規劃的模糊穩健優化設計模型為

以各容差的偏好函數值作為決策層評價的對象，建立基于物理規劃的交互式決策模型見圖2.

圖2中，各容差的偏好函數值pi＝f pi/ωi，pui、p imax為p i的理想解和最差解，D p為衡量p i的尺度函數：

圖2 基于物理規劃的交互式決策模型Fig.2 Physical programming based interactive decision－making model

具體的交互式決策流程主要步驟及相關解釋如下：

（1）根據模糊穩健設計準則，建立模糊穩健優化設計模型.

（2）確定各容差的偏好函數p i和權重參數ωci，建立模糊穩健優化設計的物理規劃模型.求解模型獲得初始解，并改進偏好函數pi.

（3）確定容差權重參數 Δωi、λi，求解模型獲得候選解集.

（4）構造尺度函數D p，對每個候選解評定分值，按照得分進行排序，得到初始最優方案.如果設計者滿意，轉到（7）.

（5）調整Δωi、λi，轉到（3）重新計算.該步驟是在初始最優方案附近的局部搜索，是對原偏好函數的“微調”.Δωi代表決策者主觀的不確定性；λi代表對設計精度的要求.如果設計者無法提供更精確的偏好信息或對優化精度表示滿意，該步驟可以略過.

（6）調整ωci，轉到（2）重新計算；該步驟是對偏好函數的“粗調”過程，即改變原有的優化方向，確定犧牲哪些設計目標而使其他設計目標得到改進，并確定改進或犧牲的程度.

（7）結束.

4 實例分析

以圖3所示的偏置曲柄滑塊機構的穩健設計為例，對提出的算法進行驗證.設各構件的長度服從正態分布，且運動誤差不大于[ε]＝0.25 mm，而考慮模糊因素影響，允許超過該值的最大量為Δε＝0.0125 mm.該機構設計質量的特性指標y（φ）＝S（φ）－S0（φ），令y（φ）為模糊指標.S（φ）、S0（φ）、μ珘y0（y（φ））的定義參見文獻[1].求構件長度a1、a2及其制造公差.

圖3 曲柄滑塊機構運動簡圖Fig.3 Kinematic diagram of a slider－crank mechanism

設各桿的制造誤差為±Δa1、±Δa2，f[y（φ）]為y（φ）的分布密度函數.設計變量xT＝（x1x2x3x4）＝（珘a1珘a2Δa1Δa2），噪聲因素為zT＝（z1z2）＝（珘a3Δa3），y（φ）為x、z和φ的函數.則該問題的模糊穩健優化設計數學模型為

式中產品缺陷率αf＝0.01%.

設（ωci，Δω1，λ1）＝ （0.4，0.15，0.01），確定30組ω1、ω2值，獲得候選解集.根據分值評價結果，得到ω＝（0.320.68）時的結果最優.如果設計者對此結果滿意，優化過程結束.若設計者對本輪最優解不滿意，可通過調整權重控制參數進行重新計算，直至得到滿意解為止.

根據約束條件和設計者的經驗確定設計目標的偏好函數偏好區間邊界值如表1所示，優化后的設計變量如表2所示.通過結果分析可知，當ω的控制參數確定時，通過折中規劃可得唯一的最優解.ω1取值的減小體現了設計者犧牲x4而改進其他設計參量的主觀意圖.另外，文獻[2]方法實際上是本文方法ω取（0.50.5）時的特例.

表2 穩健設計參數的設計結果Tab.2 The results of robust design variables

綜上所述，本文方法具有如下特點：

（1）設計者通過調整局部偏好邊界值和ω兩種方式表達設計意圖，有利于在設計過程中控制多個目標的改進方向.

（2）定義ω的可能性區間，使優化得到的不是一個Pareto解，而是一個候選解集，從而實現最優設計方案的選擇.區間權重參數的控制水平體現了設計者對原決策問題認識的不斷提高和對目標結果偏好逐漸清晰的過程.

（3）利用式（7）進行折中規劃時，理想解由ω的可能性區間確定，因此設計者可以通過調整ω控制參數的方式改變理想點，從而改變對各設計目標的優化方向.

（4）使用物理規劃的難點在于偏好函數邊界值的確定.本文利用物理規劃表達設計者的局部偏好，通過折中規劃與物理規劃的交互，實現對物理規劃偏好函數邊界值的改進.

5 結 論

本文應用物理規劃構造穩健優化設計模型的偏好函數，符合工程穩健設計的真實情況.通過對穩健設計容差模型的改進，不僅表達了各目標函數間的相對重要性，而且將設計者的經驗引入到穩健設計過程中，使設計者能夠在一定程度上控制優化進程，提高了設計效率，改善了設計效果.交互式決策被分為“粗調”和“微調”兩個階段，使設計者可以根據實際情況制訂偏好改進策略，將整個穩健設計過程置于一個更加靈活的框架中.實例證明，本文提出的方法在機械系統穩健設計中的應用是有效的.該方法符合穩健設計理論的本質和現代穩健設計技術的發展方向.

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