超磁機器魚游動數值模擬及其控制

孫 發 明， 徐 新 生， 胡 俊 林， 楊 超

（大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

在醫學領域和工業應用中，越來越迫切需要一種能在水或水介質中平穩靈活移動的新型管道微小型機器人[1].它能在水中被無線驅動，具有很高的機動性和靈活性，能夠安全進入人體并且不會對各個器官造成負面影響.微小型機器人的最大優勢就是能在非常小的空間內靈活工作.比如在醫學方面，利用微小型機器人做一個精密手術能避免對患者手術開刀和縫補傷口，僅僅對受傷害的部位進行操作，而不影響周圍的正常部分，將使患者的傷害減到最小.在工業上，也可利用微小型機器人去維護工業管道.目前有很多類型的微小型驅動器正在被研究，如Carrozza等[2]研究了用于結腸鏡檢查的基于蠕動爬行模式的形狀記憶合金（SMA）驅動器.從仿生學角度看，該驅動器屬于蠕動推進模式.梅濤等[3]模仿水母壓水推進方式提出了仿水母型鐵磁聚合體（FMP）驅動器.Saotome等[4]利用電磁鐵設計了一種驅動器結構，實現了橫向游動.Guo等[5]研制了能仿魚尾擺動的離子傳導聚合體膜（ICPF）驅動器，同時也提出一種能仿魚尾擺動的新型電磁馬達驅動器[6].Yamazaki等[7]設計了外磁場控制旋轉前進的鐵磁（Nd FeB）螺旋型驅動器.Jomie等利用電磁鐵原理，設計出了可轉彎的機器魚驅動器[8].這些裝置可控性和機動性有待改進.隨著超磁致伸縮材料的出現和發展，更好地利用無線控制并設計特殊的機器魚成為一個較好的選擇，此方面的仿生機器魚[9、10]受到關注.然而這些機器魚驅動的關鍵技術和機理有待于進一步研究.

機器魚魚尾的擺動所提供的驅動力和外磁場控制這種擺動是該機器魚設計的關鍵技術，同時也是本文的主要研究內容.

1 機器魚驅動控制方程

1.1 魚尾結構模型

所研究的超磁機器魚由魚體和魚尾組成，魚尾由貼或鍍超磁致伸縮材料的矩形合金薄板構成.由于超磁致伸縮材料具有磁致伸縮特性，即在可變外部磁場作用下，其體積和尺寸會發生相應的改變，故而會對合金薄板產生一種動態荷載分布，由此帶動魚尾產生擺動.

如圖1所示，采用笛卡兒坐標系，矩形魚尾的長為L，寬為b，高為h.且貼或鍍的超磁致伸縮材料（圖1中黑色部分）厚度ξ（x）（板寬度方向均勻）相對合金薄板更薄，即ξ（x）h.

圖1 懸臂夾層薄板參數及坐標系Fig.1 Cantilever interlayer plate parameters and coordinates

參照Clark的研究成果[11]，超磁致伸縮材料的伸縮與外磁場參數有一定的關系.該本構關系可以表示為其中ε代表總應變；SH為柔順系數；σ為應力；d為動態磁致伸縮系數；H為外部磁場強度.而由外部磁場引起的應變為

其中λ表示磁致伸縮系數.該材料具有磁性和彈性雙重性質，并可以退化為單一材料性質，比如考慮純彈性材料，令εH＝0且SH＝1/E即可，E為彈性模量.注意到外部磁場強度與磁感應強度B成線性比例關系，即

其中B0和ω分別為外部磁感應強度的幅值和磁場頻率，μ為磁導率.由于貼或鍍在彈性薄板的超磁材料在可變外磁場作用下出現伸縮現象，其對該板的作用可以歸結為一種剪切力分布，最終可化為一種彎矩分布如下：

其中A為矩形魚尾區域面積，E2為超磁材料的彈性模量.由式（4）可注意到超磁貼層厚度直接影響彎矩分布.根據真實魚類肌肉分布特點，以超磁線性分布作為一階近似模擬，ξ（x）＝－ξ0（1－x/L）－h/2，這里ξ0為一個常數.彎矩分布可以表示為 關 于x的 二 次 函 數， 即

1.2 魚尾擺動力學機理

魚尾由合金板和超磁致伸縮材料組成的夾層薄板構成，是該機器魚的超磁動力驅動器（GMMA）.為揭示其主要力學行為，忽略超磁致伸縮材料層（ξ（x）h）對該結構彎曲剛度的影響，將驅動魚尾簡化成一個懸臂梁模型，如圖1所示.根據微元分析，該模型的振動控制方程可以表示為

其中ρ為合金材料密度，轉動慣性矩J＝bh3/12.在力學模型簡化過程中，假定魚尾沒有扭轉變形，并且魚尾擺動所受的液體阻力近似與其在流場中產生的阻力相等[12、13].根據 Gerhart等[14]在低雷諾數情況下給出的阻力Fd＝αv∞L（其中α為常數，v∞為無窮遠來流速度，L為特征長度），當魚尾擺動時，其微元上產生的阻力為

其 中v∞＝w（x，t）/t，C為 阻 尼 系 數，C＝μ0π2L/2[ln（2L/b）－0.5＋ln 2]，μ0為液體粘性系數.

依據方程（4）～（6），可以得到魚尾擺動的控制方程：

其中γ＝－E1bd B0（ξ0/L）2.模型所對應的邊界條件可以寫成

2 控制方程的求解

求解控制方程（7），采用分離變量方法，即

將式（9）代入式（7），則控制方程可以分離成兩個獨立的常微分方程組[15].

2.1 系統的固有頻率[15]

無阻尼系統的自由振動第j階固有頻率可以表示為

相應的振型函數可以表示為

其中k1＝ 1.875/L；k2＝ 4.694/L；kj＝ （2j－1）π/2L，j≥3.

2.2 控制方程求解

依據振型函數的正交性，將控制方程乘以Yj（x），并沿梁長方向積分，則式（12）有如下形式：

通過簡化，固有頻率式（14）與式（10）是一致的.將控制方程（13）進一步簡化，得

在討論機器魚穩態游動時，控制方程（15）的穩態通解為

從式（9）、（11）和（16）可以得到魚尾擺動的橫向位移函數表達式.在此若為數值計算不妨取n階振型疊加，即

2.3 魚尾擺動驅動力

魚尾在可變外磁場控制驅動下，產生相應的擺動，對應的魚尾擺動橫向位移函數隨魚尾軸向位置和時間的變化而變化.在一個外部磁場變化周期內，魚尾擺動時，其軸向每個微元所受的液體阻力為

因而在一個外部磁場變化周期內，魚尾擺動產生的平均驅動力可以寫成如下形式：

其中Tω＝2π/ω，是外部磁場變化的一個周期.應該指出，機器魚魚尾擺動引起的流場對該魚是有影響的.根據文獻[12、13]對振動板附近的流場分析、數值模擬和實驗的研究結果，阻尼系數隨振動的最大幅值w0降低，此時阻尼系數Cw＝C（1－χw0/L），χ是由實驗等確定的參數.因此在計算式（19）時，應該用Cw代替C，這樣計算是一個迭代的過程.

2.4 機器魚游動速度

考慮機器魚在魚尾擺動向前游動中，其質心在x方向的位移和速度分別為u和v，v＝u，其運動方程可表示為

其中m為魚體質量，Cr為x方向的阻尼系數.討論機器魚穩態游動，方程（20）的穩態解，即速度表達式可被解出：

3 數值結果與分析

為了定性和定量地研究該問題，在這里給出一個具體的數值算例，參數選擇如下：ξ0＝1.0×10－5m，b＝1.0×10－2m，h＝1.0×10－4m.魚尾擺動的液體媒介為甘油，它的動力粘性系數μ0＝1.494 Pa·s.合金薄板采用鋁合金材料（E＝7.0×1010Pa，ρ＝2.6×103kg/m3），超磁致伸縮材料[11]選擇 TbFe2（E1＝9.4×1010Pa，d＝3.77×10－6m/A，B0＝10 T）.采用文獻[12、13]的結果，取參數χ＝1.2.魚尾長度是一個重要的幾何參數，它也直接影響系統的固有頻率.而外磁場頻率接近系統的固有頻率時會有特殊的現象.外磁場頻率為系統的固有頻率時，魚尾長度與平均驅動力的關系如圖2所示.圖中Fn（n＝1，2，…，5）曲線代表外磁場頻率為系統的n階固有頻率時的情況.從圖中可以看出，魚尾較長時平均驅動力則相當的小.當魚尾長度選擇0.22 m時，一階固有頻率響應的平均驅動力最大為0.15×10－6N；二階固有頻率響應的最佳長度為0.09 m，此時平均驅動力最大為1.53×10－6N；三階固有頻率響應的最佳長度為0.11 m，此時平均驅動力最大為0.28×10－6N；四階與五階固有頻率響應的最佳長度分別為0.13 m和0.14 m，對應的平均最大驅動力分別為0.61×10－6N和0.25×10－6N.從圖中還可以看出在限制魚尾不太長的情況下，二階固有頻率響應的最佳長度對應的最大驅動力比其他的幾個都大.也說明在一般情況下外磁場頻率調整為系統的二階固有頻率會達到最佳效果.此外，對于不同的魚尾長度存在一個最佳的外磁場頻率，在此外磁場頻率激勵下平均驅動力最大.

圖2 魚尾長度與平均驅動力關系Fig.2 Relations between lengths of the fishtail and average propulsions

圖3顯示出在給定的魚尾長度下外磁場頻率與平均驅動力的關系曲線.圖3（a）中5個固有頻率分 別 為ω1＝65 Hz，ω2＝407 Hz，ω3＝1141 Hz，ω4＝2236 Hz，ω5＝3696 Hz.圖3（b）中5個固有頻率分別為ω1＝13 Hz，ω2＝83 Hz，ω3＝231 Hz，ω4＝453 Hz，ω5＝748 Hz.從該圖可以看出當外界磁場頻率接近系統固有頻率時，平均驅動力會出現一個峰值.說明在控制機器魚游動時應選取接近系統固有頻率的外界磁場頻率.圖3（a）顯示二階固有頻率響應的平均驅動力比其他幾階情況都大.并且外界磁場頻率為偶數階固有頻率時的平均驅動力要比相鄰奇數階情況要大，這種現象與魚尾擺動的模態（振型）有關.然而并非所有情況都是如此，圖3（b）就給出了不同的結果和現象.由于魚尾相對長一些，此時四階固有頻率響應的平均驅動力相對最大.但從平均驅動力的數值上看其最大值要比圖3（a）最大值小得多.因此圖2討論的最佳魚尾長度在機器魚的設計中有著重要意義.

圖3 外磁場頻率與平均驅動力關系Fig.3 The relationship between the average propulsion and the frequency of the external magnetic fields

圖3（a）、（b）中的第二階和第四階固有頻率響應的平均驅動力是特殊的和關鍵的點.考察其對應的魚尾擺動振型（模態）是必要的.圖4中W為量綱一位移，圖4（a）、（c）給出L＝0.09 m時外界磁場分別在第二階和第四階固有頻率激勵下一個周期內的魚尾擺動振型.圖4（b）、（d）給出L＝0.20 m時相應的情況.從圖4（a）、（c）的比較可以看出，隨著固有頻率階數的增加對應的振型波數也增加.比較圖4（c）、（d），同樣都是第四階固有頻率的激勵，但振動模態差異很大.在擺動過程中，圖4（d）的振型明顯有一個向后傳播的波，而圖4（c）的振型接近于駐波.正是向后傳播的波才使得機器魚向前游動.圖4（a）、（b）也有類似現象.圖4（a）的魚尾擺動模態與自然界魚類巡游模式[16]有同樣的規律.

圖4 在外界磁場激勵下魚尾模態Fig.4 The modals of the fishtail under the external magnetic fields

為了說明圖2中所得到的最佳魚尾長度，以L為0.07、0.09和0.11 m 為例，在外磁場0～1000 Hz頻率段比較和分析其平均驅動力特點，從圖5不難看出它們的最大峰值均對應其第二階固有頻率（674、407、273 Hz）.比較它們峰值處的平均驅動力數值大小，知L＝0.09 m的魚尾驅動力最大.這就說明了比其長或短的魚尾都不能達到最好的游動效果，再次驗證了圖2中存在最佳魚尾長度的結論.對圖2中的其他情況計算有類似的規律和結論.

圖5 不同魚尾長度對應的平均驅動力比較Fig.5 Comparison of average propulsions for different lengths of the fishtail

在機器魚穩態游動中，其尾呈周期性擺動.在這一個周期內，魚體游動速度是不均勻的并有獨特的規律.為說明這種規律，不妨選取參數m/Cr＝4×10－6s和C/Cr＝10－2.由式（21）可得到速度分布.圖3的結果表明對于不同的魚尾長度存在一個最佳的外磁場頻率ωopt，在此外磁場頻率激勵下平均驅動力最大.選取魚尾長度L為0.05、0.10、0.20和0.30 m，圖6（a）給出了其速度分布.從圖中可以看出，魚尾較長時，雖速度分布比較均勻但平均速度較小；魚尾較短時，幅值較大，快慢不均勻，甚至會出現反向的速度（L＝0.05 m）.綜合評價，魚尾長度為0.10 m 的情況相對理想，其平均速度最大.由此可知魚尾過長和過短都不利于機器魚的游動.事實上L＝0.10 m的魚尾比較接近圖2中的最佳魚尾長度0.09 m.所以在機器魚的設計中，魚尾長度是首要問題.當給定了魚尾長度，外磁場頻率也會對一個周期內的速度分布有一定的影響.對照圖3（a），取魚尾長度為0.09 m，考慮圖3（a）峰值情況，即特別考慮外磁場頻率為固有頻率時的特點.圖6（b）給出了外磁場頻率為前5個固有頻率時的速度分布.結果表明對應于高階固有頻率響應的速度分布幅值較小，魚尾游動較均勻，當然平均速度也小；而對應于低階固有頻率響應的速度幅值較大.從圖6（b）還可以看到外磁場在奇數階（第一、第三和第五階）固有頻率激勵下的速度分布中存在反向的速度，這是由對應的振型特征所決定的；外磁場在偶數階（第二和第四）固有頻率激勵下的速度分布中就不存在反向速度問題.因此，在機器魚的設計和控制中應該特別關注這個問題.

圖6 機器魚穩態游動中的速度分布Fig.6 The velocity distribution in the steady swimming of the robot fish

這里應該指出，在討論中薄板（魚尾）的寬度和厚度等是給定的參數，因而最佳的魚尾長度0.09 m是被計算得到的.若這些參數被調整小一些，則可得到對應的最佳魚尾長度.這樣可以同樣設計出小型或微型的超磁機器魚.

4 結 論

通過外磁場控制超磁機器魚的游動是可行的.此設計思想避免了攜帶動力系統，可以實現機器魚的微型化.在外磁場作用下，機器魚魚尾被激勵和擺動.魚尾的擺動模態可以通過調節外部磁場頻率來控制.當外磁場頻率接近魚尾系統固有頻率時，魚尾擺動的模態與系統該階固有頻率對應的模態一致，同時所產生的驅動力達到一個較大的峰值.因此，可以通過調整外磁場頻率達到超磁機器魚游動控制的目的.數值結果表明一般情況下系統的二階固有頻率的響應（魚尾擺動模態）有最佳的工作效率.同時魚尾長度對機器魚的游動也有較大的影響.在魚尾長度增加時，最佳的工作效率會出現在高階的固有頻率響應上.結果說明了各階擺動模態都存在一個最佳魚尾長度.這樣通過改變魚尾的長度，也可以調整機器魚游動的姿態，以適應具體環境.機器魚在穩態游動時，平均游動速度與平均驅動力成線性比例關系.本文研究結果和結論可為設計同類特種機器人提供借鑒.

[1]OTSUKA A.Development of an eating function support system－especially for severely disabled persons[J].Rigaku Ryoho Journal，1991，25：53－57

[2]CARROZZA M C，LENCIONI L，MAGNANI B，etal.The development of a microrobot system for colonoscopy[J].Lecture Notes in Computer Science，1997，1205：777－788

[3]梅 濤，陳 永，張培強，等.鐵磁橡膠執行器與微型游泳機器人的尺度效應[J].光學精密工程，2001，9（6）：523－526

[4]SAOTOME H，OKUBO T，IKEDA Y.A novel actuator with Nd－Fe－B magnets swimming in parallel to the magnetic field [J].IEEE Transactions on Magnetics，2002，38（5）：3009－3011

[5]GUO S X，FUKUDA T，ASAKA K.A new type of fish－like underwater microrobot [J]. IEEE Transactions on Mechatronics，2003，8（1）：136－141

[6]GUO S X，SASAKI Y，FUKUDA T.Development of a novel type of microrobot for biomedical application [J]. Microsystem Technologies，2007，14（3）：307－314

[7]YAMAZAKI A，SENDOH M，ISHIYAMA K，etal.Wireless micro swimming machine with magnetic thin film [J].Journal of Magnetism and Magnetic Materials，2004，272（276）：e1741－e1742

[8]TOMIE M，TAKIGUCHI A，HONDA T，etal.Turning performance of fish－like microrobot driven by external magnetic field [J].IEEE Transactions on Magnetics，2005，41（10）：4015－4017

[9]FUKUDA T， HOSOKAI K， ARAI F. Giant magnetostrictive alloy （GMA）applications to micro mobile robot as a micro actuator without power supply cables [C]// Micro Electro Mechanical Systems， 1991， MEMS ′91， Proceedings. An Investigation of Micro Structures，Sensors，Actuators，Machines and Robots.Nara：IEEE，1991：210－215

[10]張永順，李海亮，劉 巍，等.超磁致伸縮薄膜尾鰭機器魚的仿生游動機理[J].機械工程學報，2006，42（2）：37－42

[11]CLARK A E. Ferromagnetic Material [M].Amsterdam：North－Holland Publishing Company，1980

[12]紀亨騰，范 菊，黃祥鹿.垂蕩板水動力的數值模擬

[J].上海交通大學學報，2003，37（8）：1266－1270[13]HOLMES S，BHAT S，BEYNET P，etal.Heave plate design with computational fluid dynamics[J].Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering，2001，123（1）：22－28

[14]GERHART P M，GROSS R J，HOCHSTEIN J I.Fundamentals of Fluid Mechanics[M].2nd ed.New York：Addison－Wesley，1992

[15]張亞輝，林家浩.結構動力學基礎[M].大連：大連理工大學出版社，2007

[16]SFAKIOTAKIS M，LANE D M J，DAVIES B C.Review of fish swimming modes for aquatic locomotion [J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering，1999，24（2）：237－251