基于損傷可識別性的傳感器優(yōu)化布置方法

孫小猛, 馮 新, 周 晶

(大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室,遼寧大連 116024)

0 引 言

土木工程結構的型式復雜、體量巨大,受現(xiàn)場條件和建造費用的限制,只能在有限的位置上布設一定數(shù)目的傳感器來監(jiān)測結構的健康狀態(tài),因此如何將有限數(shù)目的傳感器布設在結構的合適位置上并獲得結構最接近真實的信息就成為結構健康監(jiān)測系統(tǒng)設計需要解決的關鍵問題之一.近年來,基于振動模態(tài)測試的模型修正和指紋分析方法在結構健康監(jiān)測和損傷識別中得到了廣泛應用,然而其應用仍以有限測點條件下結構模態(tài)參數(shù)的準確獲取為基本前提.由此產生的傳感器優(yōu)化布置問題就需要同時滿足兩個方面的優(yōu)化目標:一方面,傳感器的優(yōu)化布置首先應該保證可觀測的模態(tài)具有一定的準確性和線性無關性;另一方面,傳感器的優(yōu)化布置又要使可觀測的模態(tài)參數(shù)對結構的局部損傷和狀態(tài)退化足夠敏感.

近二三十年來,基于振動模態(tài)測試的傳感器優(yōu)化布置研究逐漸受到重視,并且取得了許多重要的研究進展.早期的研究主要從模態(tài)的可觀測性出發(fā),研究傳感器的優(yōu)化配置.文獻[1～7]通過使Fisher信息矩陣的某種范數(shù)、行列式或跡最大來優(yōu)選傳感器位置.Kammer[8]提出的有效獨立法(effective independence algorithm,簡稱 EI法),從所有可能測點出發(fā),根據(jù)估計誤差的協(xié)方差最小來達到最佳估計的目的,通過計算有效獨立分布狀態(tài)向量,刪除對其秩貢獻最小的自由度,從而優(yōu)化Fisher信息陣而使感興趣的模態(tài)向量盡可能保持線性無關,最終得到一組傳感器優(yōu)化測點.Guyan[9]提出了一種模型縮減法,該方法通過縮減后的模型把那些對模態(tài)反應起主要作用的自由度保留下來作為測點位置.Kim等[10]通過對待測模態(tài)矩陣進行奇異值分解,刪除對Fisher信息矩陣貢獻小的測點,盡量使目標模態(tài)線性獨立,并給出了每次迭代刪除測點的允許數(shù)目.模態(tài)應變能法選擇具有較大模態(tài)應變能的自由度作為傳感器的位置[11].文獻[12、13]利用結構振型矩陣轉置的QR分解選擇初始測點,以模態(tài)置信矩陣的最大非對角元為目標函數(shù),根據(jù)序列法來優(yōu)化傳感器測點.以上基于模態(tài)可觀測性的傳感器優(yōu)化研究中,目標函數(shù)不包含模態(tài)參數(shù)對局部損傷的敏感性信息,無法反映傳感器位置對結構損傷識別的影響.為了滿足結構損傷識別的要求,許多學者研究了以損傷識別為目的的傳感器優(yōu)化方法.Cobb等[14]和Shi等[15]基于結構損傷靈敏度分析,建立了一種針對結構損傷識別的傳感器優(yōu)化模型.然而,結構損傷靈敏度Fisher信息矩陣的逆矩陣不一定存在.因此文獻[16、17]為了避免求損傷靈敏度Fisher信息矩陣的逆,分解每個自由度對Fisher信息陣的跡的貢獻,來確定每個自由度含有損傷信息的多少,從而來選擇最佳測點.

分析國內外研究現(xiàn)狀可知,當前的傳感器優(yōu)化布置研究分別基于兩種不同的優(yōu)化目標單獨進行.優(yōu)化目標的不同必將導致優(yōu)化結果的不一致,即基于模態(tài)獨立性的優(yōu)化結果在某種程度上并不能滿足損傷可識別性最優(yōu)的條件,反之亦然.然而,在以往的研究中并未發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象.同時,以往基于矩陣條件數(shù)最小的優(yōu)化算法與基于信息矩陣最大的優(yōu)化算法在實際計算中存在矛盾,當矩陣條件數(shù)最小時,信息矩陣卻未必能取得最大值,反之亦然.為了解決以上存在的問題,本文推導出一種可以同時滿足模態(tài)可觀測性與損傷可識別性為最優(yōu)的傳感器優(yōu)化模型,并發(fā)展一種協(xié)調Fisher信息矩陣最大與條件數(shù)最小的優(yōu)化算法,以期為結構健康監(jiān)測系統(tǒng)的傳感器優(yōu)化布設提供理論依據(jù).

1 傳感器優(yōu)化模型

近年來,基于模態(tài)可觀測性或損傷可識別性的傳感器優(yōu)化布置方法已經(jīng)廣泛應用于土木工程中,然而作者通過研究發(fā)現(xiàn),在相同條件下兩種方法的優(yōu)化結果不盡相同.前者的結果并不一定滿足損傷可識別性最優(yōu)的要求,而后者的結果也并不一定滿足目標模態(tài)獨立性最優(yōu)的要求.因此發(fā)展一種以損傷可識別性與模態(tài)可觀測性相協(xié)調為目標的傳感器優(yōu)化布置方法對結構健康監(jiān)測有著重要意義.

一個具有n自由度動力系統(tǒng)的運動方程可以表示為

其中M、C、K分別表示結構的質量、阻尼和剛度矩陣分別表示加速度反應、速度反應和位移反應,P(t)表示荷載.由動力分析振型疊加法可知,當出現(xiàn)損傷時,結構的動力反應可以表示為其中Yd為結構損傷時的反應,Υ為結構未損狀態(tài)時的振型,ΔΥ為結構發(fā)生損傷時的振型改變量,q為模態(tài)坐標向量.

假設結構為小阻尼系統(tǒng),結構損傷只引起剛度的變化,而質量和阻尼的特性不發(fā)生變化.根據(jù)文獻[15～18],如果結構的剛度發(fā)生一個小的擾動,ΔΥi可以表示為損傷前結構振型的線性組合,而且假定結構剛度的變化是各單元結構剛度變化的線性疊加,那么ΔΥi可以表示為

其中αk表示單元k的損傷系數(shù)(-1≤αk≤0),Kk表示單元k的剛度,ω為結構的自振頻率,Si為第i階損傷靈敏度(damage sensitivity,DS),δi為結構單元損傷向量.Si和δi可以表示如下:

將式(3)代入式(2)可得

β為一對角陣,且 β=diag{δ,…,δ}.令 Γ=(ΥS),θ=(qβq)T,式(4)可以寫成

定義 Γ為動力反應的靈敏度(dynamic response sensitivity,DRS),其包含了模態(tài)的獨立貢獻與損傷靈敏度信息.

考慮觀測噪聲的影響,損傷結構的動力響應可以近似表示為

其中w是觀測噪聲向量,是一個方差為Χ20的相互獨立的高斯白噪聲.待識別參數(shù)的真實值θ與其估計值 θ的協(xié)方差矩陣為

將式(6)代入式(7)可得

那么可以根據(jù)上式定義Fisher信息矩陣為

如果不考慮結構損傷的影響,式(9)定義的Fisher信息矩陣將退化為如下的形式:

式(10)是Kammer[8]提出的有效獨立法中的傳感器優(yōu)化模型,它不包含結構損傷靈敏度信息,僅僅反映了目標振型中各自由度的貢獻.如果僅考慮損傷對于振型改變的影響,Fisher信息矩陣可以退化為另外一種形式:

式(11)是Cobb等[14]和Shi等[15]所建議的傳感器優(yōu)化模型,它僅僅包含了振型的損傷靈敏度信息.式(11)的優(yōu)化模型隱含了這樣一個假定,即對于所有的自由度均可以得到最優(yōu)的目標振型,然而對于大多數(shù)結構而言,這一假定不一定成立.同時,從式(4)可知,受損結構的動力反應應該包含完好結構的模態(tài)信息和結構損傷靈敏度信息.因此本文定義的傳感器優(yōu)化模型式(9)與式(10)和(11)不同,是兩類信息的疊加:一類是未損傷結構每個自由度的振型信息,另外一類是每個自由度的損傷靈敏度信息.

2 優(yōu)化算法

為了得到式(6)中待識別參數(shù)的良好估計,必須使式(9)中的QΓ取最大值,因此應使Fisher信息矩陣在某種范數(shù)意義下取最大值.然而式(6)中DRS矩陣Γ的條件數(shù)與范數(shù)有關,它刻畫了方程組解的相對誤差大小,當QΓ的某種范數(shù)取最大時,Γ的條件數(shù)可能相對較大.因此為了使Fisher信息矩陣較大,同時使DRS矩陣具有較小的條件數(shù),本文將建立一種協(xié)調Fisher信息矩陣的2-范數(shù)最大和DRS矩陣條件數(shù)最小的優(yōu)化算法.

由矩陣范數(shù)的定義可知,QΓ的2-范數(shù)為

其中λmax(QΓ)為QΓ的最大特征值.那么,當QΓ的2-范數(shù)取得極大值時,QΓ就能夠取得最大.根據(jù)矩陣理論,矩陣的條件數(shù)很大,那么識別結果的精度將會很差,當條件數(shù)接近1,得到的識別精度較高,反之較差.DRS矩陣的條件數(shù)可以表示為

矩陣的奇異值分解不僅可以判斷其向量是否線性相關,而且能夠得到矩陣的2-范數(shù).DRS矩陣的奇異值分解如下:

DRS矩陣的條件數(shù)等于DRS矩陣奇異值分解的最大奇異值與最小奇異值的比值,可以表示為

由式(15)和(16)明顯可知,QΓ的2-范數(shù)取得最大值時,對應的σr未必是最大的,因此DRS矩陣 Γ的條件數(shù)也未必是極小的,反之亦然.

信息矩陣的2-范數(shù)和DRS矩陣的條件數(shù)可以看做是自由度上的兩種量度,顯然這兩種量度具有矛盾性,即如果采用某種方案去改進某一目標時,可能會使另一目標的值變壞(信息矩陣的最大化可能導致較大的條件數(shù)).為了讓QΓ盡可能大的同時,Γ的條件數(shù)也盡可能小,本文構造了一個協(xié)調這兩種量度的目標函數(shù):

由于這兩種量度同等重要,這里取相同的權重因子.式(17)為隱式函數(shù),目標函數(shù)的自變量是結構的自由度.當 ‖QΓ‖2和1/cond2(Γ)同時達到較大值時,目標函數(shù)f才能取得最大值.為了避免‖Q?！?和1/cond2(Γ)在量級上差別過大,要保證它們在同一尺度上,根據(jù)文獻[19]可以通過下式對其進行變換:

其中n為自由度數(shù)目,xij為 ‖Q?！?和1/cond2(Γ)(自變量對目標函數(shù)的貢獻),和分別代表xij對應的最大值和最小值,那么根據(jù)式(18),式(17)可以寫成

其中 γ1和 γ2是 ‖Q?！?和 1/cond2(Γ)根據(jù)式(19)變換后的值,其值在0～1.

在所有自由度內循環(huán),每次刪除一個自由度后根據(jù)式(19a)和(19b)計算自變量在兩種量度上的貢獻 γ1和 γ2,刪除 γ1和 γ2之和最大時對應的自由度,并更新Fisher信息矩陣和DRS矩陣.刪除該自由度后能保證Fisher信息矩陣QΓ相對較大,同時DRS矩陣 Γ的條件數(shù)相對較小.重復以上步驟,最終剩余的自由度使信息矩陣保留盡可能多的信息,而且使DRS矩陣具有較好的性態(tài).根據(jù)以上原理與推導公式,該方法的主要過程可以表示如下:

(1)由有限元方法得到結構的振型矩陣和剛度矩陣;

(2)由式(3a)、(4)和(5)求得結構的DS矩陣S和DRS矩陣Γ;

(3)在所有自由度里進行循環(huán),刪除第j個自由度(自變量),根據(jù)式(18)和(19)計算 γ1+γ2,并降序排列,刪除γ1+γ2最大值對應的自由度;

(4)在剩余自由度里重復第(3)步,最后剩余的自由度即為所求.

3 數(shù)值算例

為了驗證本文提出方法的有效性,對二維六跨簡支桁架進行計算分析.結構幾何特性如圖1所示,桁架包含14個節(jié)點,31個單元,25個自由度,無內節(jié)點.結構的材料特性為彈性模量E=70 GPa,質量密度2770 kg/m3,單元截面積0.001 m2.根據(jù)有限元方法計算得到的桁架模型前3階頻率分別為36.432、76.095、133.810 H z.

3.1 傳感器優(yōu)化布置

根據(jù)Kammer[8]提出的有效獨立法(EI法)以及Shi等[15]提出的損傷靈敏度法(DS法),選取結構前3階模態(tài)信息進行計算.

圖1 桁架結構示意圖Fig.1 Bar truss structure

利用結構前3階振型信息,根據(jù)EI法計算各自由度的有效獨立向量分布如圖2所示,圖中橫坐標表示自由度,縱坐標表示有效獨立向量分布值.利用結構前3階損傷靈敏度信息,根據(jù)DS法計算各自由度對測試矩陣[15]的秩的貢獻分布如圖3所示,圖中橫坐標表示自由度,縱坐標表示測試矩陣的對角元素.圖2和3所示是兩種方法在第一次迭代時的結果,由圖可知兩種方法各自由度對目標函數(shù)的貢獻并不相同.

圖2 有效獨立向量分布Fig.2 Effective independence vector distribution

圖3 對角元素分布Fig.3 Diagonal terms distribution

在結構25個自由度中保留了15個自由度作為傳感器位置,傳感器優(yōu)化結果(自由度、節(jié)點、方向)如表1和2所示.

表1 EI法傳感器優(yōu)化方案Tab.1 Op timum sensor p lacementby EImethod

表2 DS法傳感器優(yōu)化方案Tab.2 Optimum sensor placementby DSmethod

由表1和表2可以看出,EI法和DS法計算得到的傳感器優(yōu)化布置的結果不盡相同,說明基于模態(tài)可觀測性與基于損傷可識別性的傳感器優(yōu)化布置結果只單獨考慮了結構單一反應的影響.因此建立包含振型信息和損傷靈敏度信息的優(yōu)化模型具有一定的理論價值.根據(jù)式(17)和(19),第一次迭代結果見表3.

表3 第一次迭代結果Tab.3 Resu lts o f the first iteration

由表3可以看出,使信息矩陣最大的是刪除第13個自由度,此時對應的γ2為0.11225.而使DRS矩陣條件數(shù)最小的是刪除第16個自由度,此時對應的γ1為0.89686.顯然單獨考慮信息矩陣最大和DRS矩陣條件數(shù)最小的結果不一致,而且信息矩陣最大時DRS矩陣的條件數(shù)并不是最小值(可能是較大值),反之亦然.因此為了協(xié)調以上兩種目標的不一致,按照式(19)中的目標函數(shù),刪除第18個自由度,就能保證信息矩陣較大,而且DRS矩陣的條件數(shù)較小.

按照本文的優(yōu)化算法程序,在25個自由度中同樣保留了15個自由度作為傳感器位置,最終傳感器優(yōu)化布置結果如表4所示.

表4 DRS法傳感器優(yōu)化方案Tab.4 Op timum sensor p lacementby DRSmethod

3.2 三種方法損傷識別比較分析

在現(xiàn)代控制論的系統(tǒng)識別理論中,線性參數(shù)系統(tǒng)的識別可以采用最小二乘估計法.式(3)滿足這一理論,通過結構損傷前后結構振型的變化,可以對結構單元損傷系數(shù)進行有效的估計,其最小二乘解可以表示為該式應滿足所有選擇模態(tài)階次上的方程在廣義最小二乘意義下都成立.

為了與 EI法[8]和 DS法[15]比較,根據(jù)表 1、2、4中的優(yōu)化測點以及式(20)進行損傷識別比較分析.結構損傷考慮以下幾種情況:(1)結構的單元16(腹桿)受損,剛度降低30%;(2)結構的單元13(斜桿)受損,剛度降低30%;(3)結構的單元15(下弦桿)和單元17(上弦桿)同時受損,剛度分別降低20%和30%.

根據(jù)表1、2、4的優(yōu)化結果,在相同條件下,3種方法在考慮3種損傷情況時的識別結果如圖4所示,其中橫坐標為單元數(shù),縱坐標為單元損傷系數(shù).

3種方法(DS、EI、DRS)在單元 16(腹桿)受損30%時,損傷系數(shù) α分別為 0.401、0.476和0.372,如圖4(a)所示,由圖可以看出DRS模型在損傷位置識別結果較精確,而且在損傷位置沒有誤判的現(xiàn)象,而EI法識別結果在無損位置有損傷,這與實際不符,單元 13(斜桿)受損時,見圖4(b),在同等條件下EI法和DS法無法識別出斜桿單元的損傷情況,而DRS法在損傷位置識別損傷系數(shù)為0.355.3種方法在單元15(下弦桿)損傷20%和單元17(上弦桿)損傷30%時識別結果如圖4(c)所示.由圖可以看出,DRS法在損傷位置識別精度較EI法和DS法高,而且在無損位置誤判現(xiàn)象沒后兩者明顯.

圖4 三種方法結構損傷識別結果比較Fig.4 Com parisons of damage detection for threemethods

4 結 論

為了滿足結構健康監(jiān)測和損傷識別的要求,本文由結構運動方程出發(fā),考慮損傷對結構響應的影響,建立了同時包含模態(tài)獨立性信息和損傷靈敏度信息的傳感器優(yōu)化模型.同時考慮到系統(tǒng)識別問題的不適定性,發(fā)展了一種協(xié)調信息矩陣最大與條件數(shù)最小的優(yōu)化算法.

二維簡支桁架數(shù)值算例結果表明,由于Fisher信息矩陣不同,結構每個自由度對目標函數(shù)的貢獻分布也不盡相同,基于模態(tài)可觀測性與基于損傷可識別性的傳感器優(yōu)化布置結果并不一致.本文發(fā)展的QΓ模型包含振型和損傷靈敏度信息,克服了以往QΥ模型和QS模型的局限性,能夠滿足健康監(jiān)測和損傷識別的要求.而且協(xié)調信息矩陣最大和條件數(shù)最小的優(yōu)化算法兼顧了敏感性和魯棒性,數(shù)值結果驗證了本文方法能夠利用有限的測點數(shù)據(jù)獲得較高的損傷識別精度.

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